高美平

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000)

本文繼續(xù)對(duì)M-矩陣A與其逆矩陣A-1的Hadamard積的最小特征值τ(A°A-1)的下界進(jìn)行研究，得到關(guān)于τ(A°A-1)的不等式.

1 符號(hào)與引理

記N={1,2,…,n}；Rn×n表示實(shí)n階矩陣所成的集合；ρ(p)表示n×n階非負(fù)矩陣P的Perron根；τ(A°A-1)表示非奇M-矩陣A與其逆矩陣A-1的Hadamard積最小特征值.

為了敘述方便，給出以下記號(hào)：

引理1[6]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，A-1=(bij)，則|bji|≤sji|bii|,j≠i.

引理5[7]設(shè)A=(aij)∈Rn×n,是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的M-矩陣，A-1=(bij)，則bji≤mjibii,j≠i.

引理6[10]設(shè)A=(aij)∈Rn×n,是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，A-1=(bij)，則bji≤vjibii,j≠i.

設(shè)A=(aij)是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，A-1=(bij)，易得mki≤ri,，于是vji≤mji.從而vi≤mi.

2 主要結(jié)果

文獻(xiàn)[1-10]中分別給出了M-矩陣A與其逆矩陣A-1的Hadamard積的最小特征值τ(A°A-1)下界的一些結(jié)果.下面給出關(guān)于τ(A°A-1)的新下界:

推論1 設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，A-1=(bij)是雙隨機(jī)矩陣，則

證明由定理1的證明和引理4知定理2成立.證畢

3 例子

對(duì)τ(A°A-1)的下界進(jìn)行估計(jì)：由文獻(xiàn)[2-10]的結(jié)果分別得τ(A°A-1)≥0.500 0，τ(A°A-1)≥0.662 4，τ(A°A-1)≥0.799 9，τ(A°A-1)≥0.800 9，τ(A°A-1)≥0.8250，τ(A°A-1)≥0.825 0.由本文定理1得：τ(A°A-1)≥0.884 1;事實(shí)上τ(A°A-1)=0.975 5.以上表明，本文所得的結(jié)果改進(jìn)了Feidler和Markham的猜想和文獻(xiàn)[1-10]的結(jié)果.

4 結(jié)語(yǔ)

對(duì)M-矩陣與其逆的Hadamard積的最小特征值的下界進(jìn)行了研究，得到了τ(A°A-1)的2個(gè)新下界.一方面，結(jié)果改進(jìn)了文獻(xiàn)[2-8]的結(jié)果.另一個(gè)方面，由數(shù)值算例表明本文所得的結(jié)果改進(jìn)了文獻(xiàn)[1-10]的結(jié)果.因此，所得的結(jié)果是對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)的一個(gè)有益補(bǔ)充.

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