賈玉生，楊 紅

(青島濱海學(xué)院 文理基礎(chǔ)學(xué)院，山東 青島 266555 )

Chua等[1]在1988年首先提出細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)理論，目前有很多學(xué)者研究其理論和應(yīng)用[2-12]，細(xì)胞非線性網(wǎng)絡(luò)是當(dāng)今計(jì)算機(jī)科學(xué)、電子工程、數(shù)學(xué)、信息科學(xué)等學(xué)科和領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在人工智能、認(rèn)知科學(xué)、生物分子學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，1991年美國學(xué)者Pinter教授等[2]首先提出并聯(lián)限制細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(SICNNs),從那時(shí)開始，很多學(xué)者研究了并聯(lián)限制細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，現(xiàn)在它在數(shù)據(jù)壓縮、模糊信息處理、圖像處理及優(yōu)化設(shè)計(jì)等眾多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用.考慮的時(shí)滯并聯(lián)限制細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始模型如下：cij表示在(i,j)位置的細(xì)胞，其在t時(shí)刻的狀態(tài)方程為：

(1)

其中xij(t)是細(xì)胞cij在t時(shí)刻的活動(dòng)狀態(tài)函數(shù)，Lij(t)表示外部輸入函數(shù)，激活函數(shù)f(xkl)是連續(xù)函數(shù)且是正的，Nr(i,j)是細(xì)胞cij的一個(gè)r-鄰域：

Nr(i,j)={ckl:max(|k-i|,|l-j|≤r,1≤k≤m,1≤l≤n}.

從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)現(xiàn)有的實(shí)際應(yīng)用出發(fā)，其收斂的動(dòng)力學(xué)行為研究的較多，人們總認(rèn)為動(dòng)力學(xué)行為最終獲得的信息是抓得住的形式，既穩(wěn)定狀態(tài)的平衡點(diǎn)，這種穩(wěn)定狀態(tài)的獲取在模式識(shí)別、組合優(yōu)化等方面很有用，如果我們利用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是穩(wěn)定的，則我們的目的比較容易達(dá)到，所以在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)和分析中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是極為重要的且是非常有實(shí)際意義的.

另一方面，在實(shí)際模型的設(shè)計(jì)時(shí),需要考慮一些重要數(shù)據(jù)的變化范圍和重要的系統(tǒng)參數(shù)的取值界限,比如在電路設(shè)計(jì)中，系統(tǒng)參數(shù)的擾動(dòng)是必須要考慮的具體問題，因此，研究系統(tǒng)在參數(shù)的某些變化內(nèi)的穩(wěn)定性也就是系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性是非常重要的，我們研究如下的并聯(lián)限制細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

(2)

其中，τ是一個(gè)有界非負(fù)常數(shù)，f(xkl)是連續(xù)的函數(shù)且是正的、有界的，根據(jù)實(shí)際情況，在文中我們研究Lij(t)=Lij為常數(shù)的情況，根據(jù)激活函數(shù)的實(shí)際意義，研究并聯(lián)限制細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)有假設(shè)H1：

|f(x)-f(y)|≤μ|x-y|.

文獻(xiàn)[13]給出了系統(tǒng)(2)的一個(gè)與時(shí)滯無關(guān)的全局魯棒穩(wěn)定性的充分條件，

在實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用時(shí)時(shí)滯往往不是固定的而是隨時(shí)間變化的，應(yīng)該說常時(shí)滯僅為變時(shí)滯的特殊情況，所以我們研究變時(shí)滯并聯(lián)限制細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局穩(wěn)定性更具實(shí)際意義.

考慮變時(shí)滯并聯(lián)限制細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

(3)

其中，根據(jù)實(shí)際情況我們認(rèn)為τ(t)是非負(fù)有界的連續(xù)函數(shù)，即存在正數(shù)τ>0，0≤τ(t)≤τ，在文中我們研究Lij(t)=Lij為常數(shù)的情況，在以往的研究中[9-10,14]，都是假設(shè)f(xkl)是正的連續(xù)有界函數(shù)，這在某種程度上限制了實(shí)際應(yīng)用，而我們研究具有一般激活函數(shù)的情形，我們僅要求If=infx∈Rf(x)存在即可, 這是比較新的嘗試，我們研究并且得到了其全局穩(wěn)定的充分條件.

1 主要結(jié)果

下面給出具一般激活函數(shù)的變時(shí)滯并聯(lián)限制細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局穩(wěn)定性的充分條件.

定理1 若x*是系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)，當(dāng)假設(shè)H2:

成立時(shí)，則

證明若x*是系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)，則x*滿足

成立，則系統(tǒng)(3)存在唯一的平衡點(diǎn).

證明假設(shè)x=x*是系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)，那么滿足

所以映射F是映射D到D的連續(xù)自映射，由Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理知映射在D上至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x=x*，從而系統(tǒng)(3)至少有1個(gè)平衡點(diǎn).

又對(duì)任意的X,Y∈D, 有

由H3顯然可得0<λ<1，所以映射F為壓縮映射，由壓縮映射原理知存在唯一的x*滿足F(x*)=x*，因此，系統(tǒng)(3)有唯一的平衡點(diǎn).

定理3 假設(shè)H4：τ(t)可微,且存在正數(shù)τ>0，使得0≤τ(t)≤τ，1≥1-τ′(t)≥ζ>0，有

成立，則系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)是全局魯棒穩(wěn)定的，其中γ如引理1所規(guī)定.

(4)

要證明定理3，只要證明系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)是全局魯棒穩(wěn)定的即可.

由Lypounov穩(wěn)定性理論知系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)是全局魯棒穩(wěn)定的,所以系統(tǒng)(3)的穩(wěn)定點(diǎn)是全局魯棒穩(wěn)定的，即定理成立.

推論1 若τ(t)=τ為常數(shù)，且假設(shè)H1,H2,H3,H4成立，則系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)是全局魯棒穩(wěn)定的.

2 結(jié)語

研究了具有一般激活函數(shù)的變時(shí)滯并聯(lián)限制細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局穩(wěn)定性，這是一個(gè)比較新的嘗試，并且給出了全局魯棒穩(wěn)定的一個(gè)充分條件，為其應(yīng)用提供了更為廣泛的理論依據(jù).

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