李 迪,熊良林,和曉萍,程碧輝

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,云南 昆明 650500)

線性時變周期系統(tǒng)在科學(xué)研究與實際工程問題中經(jīng)常出現(xiàn),物理和工程技術(shù)中有許多問題最終也都能轉(zhuǎn)化為具有周期系數(shù)的線性微分方程組.用非線性微分方程組描述的周期運動,許多實際方法也是圍繞研究帶有周期系數(shù)的線性微分方程[1]來討論的，故周期系數(shù)線性方程組穩(wěn)定性的研究具有重要意義.而在周期系數(shù)線性系統(tǒng)中,周期系數(shù)情形起著非常重要的作用.

目前,線性時變周期系統(tǒng)的穩(wěn)定性在很多文獻中都作了深入研究[2-3], 而本文的目的, 在于從周期系數(shù)線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣入手, 在文獻[1]的基礎(chǔ)上,對周期系統(tǒng)中的矩陣的穩(wěn)定性進行改進,我們的思想是把矩陣穩(wěn)定的條件減弱為擬穩(wěn)定,結(jié)果得到相應(yīng)的周期系統(tǒng)的平凡解由指數(shù)穩(wěn)定變?yōu)榱朔€(wěn)定的判據(jù).該判據(jù)比原有判據(jù)所涉及的情形更普遍,也更具有適用性.最后,本文使用仿真例子對所給判據(jù)進行驗證.

1 預(yù)備知識

本文主要考慮具有周期系數(shù)的線性系統(tǒng)[1]:

(1)

其中x∈Rn為狀態(tài)向量,A(t)∈Rn×n,A(t+T)=A(t).

為了后面結(jié)論的推導(dǎo)與證明方便,特引入如下定義與引理：

引理1[1]系統(tǒng)(1)的平凡解穩(wěn)定的充要條件是它的Cauchy矩陣K(t,t0)(t≥t0)有界.

引理2[4]X(t)=X(kT+t1)=

X((k-1)T+t1+T)=X((k-1)T+t1)X(T)=

X((k-2)T+t1+2T)=X((k-2)T+t1).

X2(T)=…=X(t1)Xk(T) .

(2)

2 主要結(jié)果

本文在文獻[1]的基礎(chǔ)上,對周期系統(tǒng)中的矩陣的穩(wěn)定性進行改進,放寬條件為擬穩(wěn)定,得到當矩陣擬穩(wěn)定時,周期系統(tǒng)平凡解穩(wěn)定性的判據(jù).下面在給出幾類特殊的周期系數(shù)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性[2-3]判據(jù)之前, 引入如下表示:

定理1 若周期系數(shù)系統(tǒng)式(1)滿足:

1)A(t)∈μ*:={A(t)|W(1)(t)≡0,?t};

則式(1)的平凡解穩(wěn)定.

設(shè)t∈[kT,(k+1)T],t=kT+t1,由(2)式可知:

X(t)=X(t1)Xk(T)=X(t1)ek(B(T)-B(0)).

(3)

由(3)式及條件2)知,存在常數(shù)M>0,使得:

故式(1)的Cauchy矩陣有界,再根據(jù)引理1,可得式(1)平凡解穩(wěn)定.證畢.

定理2 若周期系數(shù)系統(tǒng)式(1)滿足:

1)A(t)∈μ**:={A(t)|W(1)(t)≠0,W(2)(t)≡0,?t};

則式(1)平凡解穩(wěn)定.

(4)

(5)

的Cauchy矩陣,由于W(1)(t)∈μ*,故:

(6)

由條件3)及式(4),式(5),有:

因為W(1)(t)是以T為周期的周期函數(shù),故以下證明類似于定理1的證明,證畢.

定理3 若周期系數(shù)系統(tǒng)式(1)滿足定理2的條件1),2),且滿足:

則式(1)平凡解穩(wěn)定.

故式(1)的Cauchy矩陣有界,由引理1 ,可知式(1)平凡解穩(wěn)定.證畢.

定理4 若周期系數(shù)系統(tǒng)式(1)滿足:

2)A2:=e-A1t0[A(t0)-A1]exp(A1t0),A1A2=A2A1;

3)矩陣A1+A2擬穩(wěn)定；

則式(1)平凡解穩(wěn)定.

證明對于等式：

(7)

左乘以e-A1(t-t0),右乘以eA1(t-t0)得:e-A1(t-t0)A1A(t)eA1(t-t0)-e-A1(t-t0)A(t)A1eA1(t-t0)=

A(t)=eA1(t-t0)A(t0)e-A1(t-t0).

(8)

再作變換:x(t)=eA1(t0)y(t),可得:

故有:x(t)=eA1teA2(t-t0)e-A1t0x(t0) .

(9)

從而式(1)的Cauchy矩陣為:x(t)=eA1teA2t=e(A1+A2)t

因為矩陣A1+A2擬穩(wěn)定,故存在常數(shù)M>0,使得:

再由引理1 ,故該定理的結(jié)論成立.證畢.

定理5 若周期系數(shù)系統(tǒng)式(1)滿足:

1)定理4的條件1)、2成立；

2)矩陣A1和A2=e-A1t0[A(t0)-A1]eA1t0擬穩(wěn)定；

則式(1)平凡解穩(wěn)定.

證明由定理4的式(7)、(8)、(9),有式(1)的Cauchy矩陣為:

x(t)=eA1teA2t=e(A1+A2)t.

因為矩陣A1和A2=e-A1t0[A(t0)-A1]eA1t0擬穩(wěn)定,故存在常數(shù)M1>0,M2>0,使得:

故式(1)的Cauchy矩陣有界,再根據(jù)引理1,可得式(1)平凡解穩(wěn)定.證畢.

以上5個定理,是在文獻[1]的基礎(chǔ)上,將相關(guān)條件由穩(wěn)定放寬為擬穩(wěn)定得到的結(jié)論，從而擴展了周期系數(shù)線性系統(tǒng)的理論成果.在下一節(jié)的數(shù)值仿真實例中,將驗證所得結(jié)果的時效性.

3 數(shù)值實例

為了驗證定理的時效性,特給出如下仿真例子予以說明:

例1 判定下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性:

證明顯然該系統(tǒng)的系數(shù)矩陣:

因為Reλ(B(2π)-B(0))≤0,由定義[1]知矩陣B(2π)-B(0)是擬穩(wěn)定的,故此周期系統(tǒng)是穩(wěn)定的.給定初始條件x(0)=[-10,25],利用Matlab仿真,可得到系統(tǒng)狀態(tài)運行圖(圖1)和系統(tǒng)相圖(圖2).

由仿真圖1和圖2可以看出,在給定初始條件時,所給周期系統(tǒng)是穩(wěn)定的,從而驗證了本文結(jié)論的有效性.

4 結(jié)論

將矩陣穩(wěn)定的條件放寬為擬穩(wěn)定后,通過計算系統(tǒng)的柯西矩陣并討論其有界性,得到了一系列相關(guān)的穩(wěn)定性結(jié)論.從最后的仿真實例可以看出,結(jié)論具有一定的可行性.

參考文獻:

[1] 廖曉忻.穩(wěn)定性的理論、方法和應(yīng)用[M].2版.武漢:華中科技大學(xué)出版社,2010,37-41.

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[3] BALAS M J,YUNG J L.Controller design of linear periodic time-varying systems[C]//American Control Conference.USA：Albuquerque,1997,5:2667-2671.

[4] 張勁夫,余躍慶.考慮運動副間隙的曲柄滑塊機構(gòu)運動穩(wěn)定性研究[J].機械科學(xué)與技術(shù),2004,23(4):533-5361.