劉 魁，李 欣,孫運(yùn)其

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

單擺是處理擺動(dòng)問題的經(jīng)典模型.李元杰[1]研究了單擺的自由、束縛及界軌運(yùn)動(dòng)，并闡明了單擺系統(tǒng)蘊(yùn)含著隨機(jī)性，一定條件下可以產(chǎn)生混沌.劉延柱、陳立群[2]詳細(xì)介紹了非線性振動(dòng)的研究對(duì)象和研究方法，并介紹了關(guān)于分岔理論和混沌振動(dòng)的基礎(chǔ)知識(shí).謝柏松[3]用Melnikov方法研究了具有弱阻尼與參數(shù)激勵(lì)的單擺及倒擺運(yùn)動(dòng)的同宿軌道分岔、次諧分岔和混沌現(xiàn)象.郎和[4]研究了受保守單擺系統(tǒng)中的KAM環(huán)面的變形、扭曲、破裂及混沌出現(xiàn)的過程.楊青勇[5]采用相圖方法和龐加萊截面法研究了單擺中分岔、混沌等非線性特征.曹剛等[6]利用雅克比橢圓函數(shù)法研究了單擺的線性與非線性運(yùn)動(dòng).何松林等[7]利用平均法研究了弱阻尼條件下的單擺振動(dòng).鄧永菊等[8]利用Fortran語言編程，研究了大擺角單擺的非線性振動(dòng).但是有關(guān)單擺的Duffing振子的動(dòng)力學(xué)問題研究較少，對(duì)單擺動(dòng)力系統(tǒng)具體的分岔分析通向混沌道路的研究也較少，本文以單擺關(guān)于Duffing振子的動(dòng)力學(xué)模型為研究對(duì)象，利用數(shù)值法研究振幅和Duffing振子恢復(fù)率對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響.

1 單擺非線性動(dòng)力學(xué)模型及其微分方程

在單擺模型實(shí)驗(yàn)中，單擺在空氣中來回?cái)[動(dòng)時(shí)，總會(huì)受到空氣阻力和其他一些外界因素的作用，因此，在考慮實(shí)際的單擺模型時(shí)，往往需要考慮外界的作用，我們現(xiàn)在討論小阻尼運(yùn)動(dòng)和外加作用力時(shí)的情況，當(dāng)小阻尼運(yùn)動(dòng)時(shí)，阻力大小和物體速度大小成正比.可以得到運(yùn)動(dòng)方程：

兩端同除以ml得到

(2)

(3)

討論非線性振子時(shí)，主要討論含有立方項(xiàng)恢復(fù)力的非線性振子，為了方便討論，稱之為Duffing振子.

(4)

將式(4)代入式(3)，可得：

(5)

(6)

在任意大振幅下，方程(1)的解變得十分復(fù)雜，下面利用計(jì)算機(jī)模擬，分別討論單擺運(yùn)動(dòng)隨其參數(shù)變化的周期運(yùn)動(dòng)和其混沌運(yùn)動(dòng).

2 非線性動(dòng)力學(xué)特性的分析

將式(6)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程如下：

(7)

2.1 單擺的外激勵(lì)幅值的影響

利用Matlab軟件對(duì)單擺的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程進(jìn)行數(shù)值求解，系統(tǒng)量綱歸一化后轉(zhuǎn)角隨振幅f的分岔圖如圖1所示，其相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)如圖2所示，由圖2可以看出，當(dāng)f∈[20,34.2]時(shí)，其Lyapunov指數(shù)小于0，所以單擺為穩(wěn)定的的周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)f=20時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為穩(wěn)定的周期6運(yùn)動(dòng)，當(dāng)f≥20.8時(shí)系統(tǒng)發(fā)生逆周期倍化分岔變?yōu)橹芷?運(yùn)動(dòng)，但是f≥24.3時(shí)系統(tǒng)又發(fā)生倍化分岔重又變?yōu)橹芷?運(yùn)動(dòng)，f≥26.4時(shí)發(fā)生逆倍周期分岔系統(tǒng)再次恢復(fù)為周期3運(yùn)動(dòng)，f=30時(shí)系統(tǒng)周期3運(yùn)動(dòng)的龐加萊截面圖如圖3(a)所示.當(dāng)f≥31.5時(shí)，系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)，經(jīng)周期倍化分岔轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷?運(yùn)動(dòng),f=33時(shí)系統(tǒng)周期6運(yùn)動(dòng)的龐加萊截面圖如圖3(b)所示.f≥33.9時(shí)系統(tǒng)的周期6運(yùn)動(dòng)經(jīng)周期倍化分岔轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷?2運(yùn)動(dòng)直至f=34.2，當(dāng)f=34時(shí)，其龐加萊截面圖如圖3(c)所示.當(dāng)f∈[34.2,38.4]時(shí)，其Lyapunov指數(shù)大于0,系統(tǒng)此時(shí)進(jìn)入了混沌，f=37.5時(shí)系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的龐加萊截面圖如圖3(d)所示.但是當(dāng)f≥38.4時(shí)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)小于0，結(jié)合分岔圖可知系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)再次進(jìn)入穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng),f=40時(shí)的系統(tǒng)周期9運(yùn)動(dòng)的龐加萊截面圖如圖3(e)所示.總體來說，振幅f不斷增大時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)歷了6-3-6-3-6-12周期直至混沌響應(yīng)的變化，說明由于受Duffing振子恢復(fù)率和阻尼的影響，當(dāng)振幅變化時(shí)，系統(tǒng)由倍周期分岔通向混沌運(yùn)動(dòng).

圖1 角位移隨振幅f的分岔圖

圖2 振幅f的Lyapunov指數(shù)

2.2 單擺的Duffing振子恢復(fù)率影響

其他參數(shù)與上節(jié)相同，保持參數(shù)f=37.5，改變Duffing振子恢復(fù)率ξ的值，分析系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的變化.

Duffing振子恢復(fù)率ξ的分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖如圖4～5所示，從圖中可以看到，當(dāng)ξ∈[0.2,0.83]時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)小于0，所以系統(tǒng)為穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，ξ=0.2時(shí)，系統(tǒng)為穩(wěn)定的周期3簡諧運(yùn)動(dòng)，ξ=0.3時(shí)系統(tǒng)周期3運(yùn)動(dòng)龐加萊截面圖如圖6(a)所示，ξ>0.43時(shí)，系統(tǒng)由周期3運(yùn)動(dòng)變?yōu)橹芷?運(yùn)動(dòng)，圖6(b)為ξ=0.45時(shí)系統(tǒng)周期6運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)圖.ξ≥0.51系統(tǒng)發(fā)生逆倍周期分岔，系統(tǒng)又有周期6運(yùn)動(dòng)變?yōu)橹芷?運(yùn)動(dòng).當(dāng)ξ≥0.73時(shí)，系統(tǒng)又倍化分岔為周期6運(yùn)動(dòng)，但是當(dāng)ξ∈[0.83,1.04]時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，圖6(c)是ξ=1時(shí)龐加萊截面圖.ξ≥1.04時(shí)，其Lyapunov指數(shù)再次小于0，系統(tǒng)又重新進(jìn)入穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng).如圖6(d)所示，當(dāng)ξ=1.1時(shí)處于周期9運(yùn)動(dòng).

圖4 Duffing振子恢復(fù)率ξ的分岔圖

圖5 Duffing振子恢復(fù)率ξ的Lyapunov指數(shù)

3 結(jié)論

本試驗(yàn)利用Matlab對(duì)單擺關(guān)于Duffing振子的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了數(shù)值求解，給出了系統(tǒng)隨參數(shù)變化的分岔圖、Lyapunov指數(shù)圖，并結(jié)合龐加萊截面圖分析了振幅和Duffing振子恢復(fù)率變化時(shí)，單擺系統(tǒng)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.研究發(fā)現(xiàn)，隨著系統(tǒng)振幅或者是Duffing振子恢復(fù)率的逐漸增大，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)經(jīng)Feigenbaum倍化序列進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，然后其混沌運(yùn)動(dòng)又退化為周期運(yùn)動(dòng)，本試驗(yàn)的研究結(jié)果對(duì)工程實(shí)際中選擇合理的振幅和Duffing振子恢復(fù)率有一定的指導(dǎo)意義.

圖6 龐加萊截面圖

參考文獻(xiàn):

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