雷 靖，黃俊嬌

(1.云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500；2.云南大學(xué) 云南省軟件工程重點實驗室，云南 昆明 650091)

在現(xiàn)實世界中,任何物理系統(tǒng)都具有非線性特性,非線性現(xiàn)象無處不在.鑒于非線性系統(tǒng)的多樣性、復(fù)雜性以及與線性系統(tǒng)的本質(zhì)差別，非線性控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計已經(jīng)成為挑戰(zhàn)性很強的研究課題[1].近年來在非線性系統(tǒng)控制領(lǐng)域出現(xiàn)了一些有價值的研究，如Isidon[2]側(cè)重于微分幾何方法；文獻[3]中介紹了非線性系統(tǒng)的無源性、耗散性、增益穩(wěn)定性等問題；文獻[4]中系統(tǒng)地介紹了應(yīng)用遞歸設(shè)計思想；文獻[5-6]側(cè)重于跟蹤控制和自適應(yīng)方法；文獻[7]從應(yīng)用角度介紹了若干非線性控制方法.與此同時，非線性系統(tǒng)的控制律設(shè)計也引起了控制界的極大注意.幾何技術(shù)的引入，特別是反饋線性化方法促進了非線性系統(tǒng)控制律設(shè)計的發(fā)展；一些研究者引入了自適應(yīng)調(diào)節(jié)技術(shù)去控制參數(shù)不確定系統(tǒng)使其穩(wěn)定,例如模型參考自適應(yīng)控制[8]，對于復(fù)雜的工業(yè)對象和過程,引入自適應(yīng)策略能夠提高控制精度,提高生產(chǎn)效率,降低成本.

對非線性控制系統(tǒng)的研究，到20世紀40年代，已取得一些明顯的進展，主要的分析方法有：相平面法、李雅普諾夫法和描述函數(shù)法等，這些方法都已經(jīng)被廣泛用來解決實際的非線性系統(tǒng)問題.但是這些方法都有一定的局限性，都不能成為分析非線性系統(tǒng)的通用方法.例如，用相平面法雖然能夠獲得系統(tǒng)的全部特征，如穩(wěn)定性、過渡過程等，但大于三階的系統(tǒng)無法應(yīng)用.李雅普諾夫法則僅限于分析系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性問題，而且要求非線性元件的特性滿足一定條件.雖然這些年來，國內(nèi)外有不少學(xué)者一直在這方面進行研究，也研究出一些新的方法，如頻率域的波波夫判據(jù)、廣義圓判據(jù)、輸入輸出穩(wěn)定性理論等.但總的來說，非線性控制系統(tǒng)理論目前仍處于發(fā)展階段，遠非完善，很多問題都還有待研究解決，領(lǐng)域十分寬廣.

1 問題描述

考慮非線性控制系統(tǒng)

(1)

其中，f:D→Rn是從D?Rn到Rn的連續(xù)可微映射.假設(shè)原點x=0在D內(nèi)，且為系統(tǒng)的一個平衡點，即f(0)=0.根據(jù)均值定理

(2)

其中zi是連接x與原點之間的線段上的一點.前面的等式對于任意一點x∈D都成立，從而使連接x到原點的線段全部在D內(nèi).由f(0)=0可寫出

(3)

因此

f(x)=Ax+Bu+g(x).

(4)

其中

函數(shù)gi(x)滿足

(5)

(6)

這就是說在原點的一個小鄰域內(nèi)，可以用對系統(tǒng)在原點的線性化方程

(7)

其中

(8)

2 李雅普諾夫第一方法控制律設(shè)計

2.1 反饋控制

對于非線性系統(tǒng)(1)經(jīng)過線性化后得到的線性系統(tǒng)(6)設(shè)計基于李雅普諾夫第一方法的控制律u，加入控制u使系統(tǒng)變得穩(wěn)定或漸近穩(wěn)定.

反饋控制：在自動控制系統(tǒng)中將被控量以負反饋的形式與輸入量進行比較，并利用偏差來不斷消除偏差的控制過程.反饋控制通?？梢苑譃闋顟B(tài)反饋與輸出反饋2種形式.圖1為狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖.

狀態(tài)反饋控制是采用狀態(tài)控制律：

u=-Kx.

(9)

其中K∈Rm×n為反饋增益矩陣，則狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為

(10)

式中：AK=A-BK.本文以狀態(tài)反饋為例對系統(tǒng)(1)的線性化方程(7)設(shè)計控制律，使其穩(wěn)定或漸近穩(wěn)定.

2.2 李雅普諾夫第二方法穩(wěn)定性判據(jù)

穩(wěn)定是一個系統(tǒng)正常運行的首要條件.若系統(tǒng)不穩(wěn)定，則必須運用外部控制設(shè)法讓其穩(wěn)定.本文的目的是確定增益矩陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)(10)漸近穩(wěn)定.首先，我們需要介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性定理以便證明閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

設(shè)連續(xù)時間非線性時變自治系統(tǒng)：

(11)

其中，x為n維狀態(tài).并且，對所有t∈[t0,∞)成立f(0,t)=0，即狀態(tài)空間原點x=0為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài).

引理[9-10](李雅普諾夫穩(wěn)定性定理) 對于定常系統(tǒng)(11),如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)V(x)，V(0)=0，并且對于狀態(tài)空間X中的一切非零x滿足如下條件：

1)V(x)為正定；

則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的.

由此，若選擇李雅普諾夫函數(shù)

V(x)=xTPx.

(12)

其中P為待定的對稱正定矩陣，則根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，系統(tǒng)(11)漸近穩(wěn)定的充要條件是李雅普諾夫函數(shù)(12)對時間的導(dǎo)數(shù)為負定，即

(13)

這樣，我們可以通過確定P和K,使得標量函數(shù)V(x)=xTPx對時間的導(dǎo)數(shù)是負定的來確定控制律(9).

2.3 控制律設(shè)計

對李雅普諾夫函數(shù)(12)沿著閉環(huán)系統(tǒng)(10)求導(dǎo)，得到

(14)

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，欲使閉環(huán)系統(tǒng)(11)漸近穩(wěn)定，式(14)需滿足條件(13)，也即存在一個正定對稱矩陣P，使得

(A-BK)TP+P(A-BK)<0.

(15)

由于不等式方程(15)為P和K耦合的非線性矩陣方程，通常難以求解.為此，我們利用線性矩陣不等式方法先將(15)式展開寫成

PA+ATP-KTBTP-PBK<0.

(16)

對(16)式兩邊左乘P-1、右乘P-1，則得到對稱矩陣

AP-1+P-1AT-(P-1KT)BT-B(KP-1)<0.

(17)

記

X=P-1>0，Y=KP-1.

(18)

得到

AX+XAT-YΤBT-BY<0.

(20)

不等式(20)是一個關(guān)于矩陣變量X、Y的線性矩陣不等式.

如果能從(20)式確定X、Y(X是正定對稱矩陣)，則Y=KP-1是系統(tǒng)(7)的一個鎮(zhèn)定狀態(tài)反饋增益矩陣，X-1=P>0是閉環(huán)系統(tǒng)(11)相應(yīng)的一個李雅普諾夫矩陣.這樣，我們得到本文的主要結(jié)果：

定理考慮非線性定常系統(tǒng)(1)，則狀態(tài)反饋控制(9)能夠使非線性系統(tǒng)(1)在原點漸近穩(wěn)定，其中反饋增益K和李雅普諾夫矩陣P由(20)確定.

證明將狀態(tài)反饋控制(9)代入系統(tǒng)(1)，根據(jù)(4)得到原點線性化閉環(huán)系統(tǒng)

(21)

由(21)確定反饋增益K及李雅普諾夫矩陣P.則李雅普諾夫函數(shù)(12)沿(21)的導(dǎo)數(shù)為

(22)

由(15)可知(A-BK)TP+P(A-BK)<0，令(A-BK)TP+P(A-BK)=-Q，其中Q為正定矩陣，則(22)為

(23)

3 仿真示例

考慮非線性系統(tǒng)

(24)

其開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡如圖2所示.設(shè)計控制律u=-2x2對系統(tǒng)(21)進行狀態(tài)反饋控制后的狀態(tài)運動軌跡圖如圖3所示.

從圖2我們可以看出，系統(tǒng)在沒有施加控制時(即開環(huán)系統(tǒng))，其狀態(tài)呈發(fā)散趨勢，系統(tǒng)為不穩(wěn)定.但從狀態(tài)反饋控制律作用下閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)圖3可以看到，此時的系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的增加逐漸趨向于0，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.由此說明本文提出的非線性連續(xù)系統(tǒng)基于李雅普諾第一方法的控制律設(shè)計是有效的.

4 結(jié)語

本文研究了基于李雅普諾夫第一方法對非線性連續(xù)系統(tǒng)進行了線性化，然后利用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理、運用求解矩陣不等式的方法設(shè)計了狀態(tài)反饋控制律.仿真示例表明，該控制律有效鎮(zhèn)定了原不穩(wěn)定系統(tǒng)，從而證明了該方法的有效性和簡便性.

參考文獻:

[1] 馮純伯，張倪健.非線性系統(tǒng)魯棒控制[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[2] ISIDON A. Nonlinear control systems[M]. New York:Springer-Verlag，1995.

[3] NIJMEIJER H, VAN DER SCHAFT A. Nonlinear dynamical control systems[M]. New York:Springer, 1990.

[4] KRSTIC M, MODESTINO J W, DENG H, et al. Stabilization of nonlinear uncertain systems[M]. New York：Springer-Verlag, 1998.

[5] MARINO R, TOMEI P. Nonlinear control design：geometric, adaptive and robust[M]. London:Prentice Hall International (UK) Ltd, 1996.

[6] NARENDRA K, ANNASWAMY A. Stable adaptive systems[M]. New York：DoverPublications, 2012.

[7] SLOTINE J J E, LI W. Applied nonlinear control[M]. New Jersey：Prentice hall, 1991.

[8] 韓曾晉.自適應(yīng)控制[M].北京：清華大學(xué)出版社，1995.

[9] 鄭大鐘.線性系統(tǒng)理論[M].2版.北京：清華大學(xué)出版社，2012.

[10] 胡壽松.自動控制原理[M].4版.北京：科學(xué)出版社，2008.