潘 桔, 陸 媛

(沈陽大學 師范學院, 遼寧 沈陽 110044)

我國古代算書《孫子算經(jīng)》中有這樣一個“物不知數(shù)”問題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問物幾何?”[1]由現(xiàn)代數(shù)學語言描述,就是求整數(shù)n滿足同余方程組

《孫子算經(jīng)》中給出了它的解法,它可推廣成一般的同余方程組求解. 其結(jié)果是:設(shè)m1,m2,…,mr是兩兩互素的正整數(shù), 任給正整數(shù)a1,a2,…,ar必有正整數(shù)x使

x≡ai(modmi),i=1,2,…,r

有解. 這一結(jié)果被稱為孫子定理, 也稱為中國剩余定理[2].

中國剩余定理是我國古代數(shù)學家為世界數(shù)學的發(fā)展做出的巨大貢獻, 在數(shù)論中占據(jù)重要地位, 它的思想在數(shù)論、多項式理論和編碼學等方面有廣泛的應用[3]. 本文討論了這一定理在交換環(huán)上的幾種推廣形式, 并得到了比較圓滿的結(jié)果.

1 交換環(huán)的相關(guān)理論

定義1[4]設(shè)p是環(huán)A的一個素理想, 則S=A-p是A的乘法封閉集, 用Ap來表示S-1A, 由A得到Ap的過程被稱作局部化.

可以驗證Ap是一個局部環(huán).

定義2 設(shè)R是環(huán),I1,I2是R的理想, 若I1+I2=R,則稱I1和I2互素.

易知I1,I2互素??a∈I1,b∈I2使a+b=1.

定義3[5]設(shè)由A-模和A-模同態(tài)組成的序列

稱為正合序列,如果Imfi=kerfi+1對每個i都成立. 其中Imfi表示映射fi的象集,kerfi+1表示映射fi+1的核．

引理1[6]123-135設(shè)A是維數(shù)為1的Noether局部整環(huán),m是它的極大理想,k=A/m是分式域,則下列說法等價:

①A是離散賦值環(huán);②每個理想都是m的冪;③存在x∈A,滿足每個非零理想都是(xk)(k≥0)的形式.

引理2[6]125-127設(shè)A是維數(shù)為1的Noether整環(huán),則下列條件等價:

①A整閉;②A中準素理想是素理想的冪;③Ap(p∈SpecA,p≠0)是離散賦值環(huán).

2 中國剩余定理在交換環(huán)上的形式

定理1 設(shè)A是交換幺環(huán),I1,I2,…,In是A的理想φ:A→A/I1×A/I2×…×A/In是環(huán)同態(tài)映射,?x∈A,定義φ(x)=(x+I1,x+I2,…,x+In), 則φ是滿射?Ii,Ij互素.

證明 若φ是滿射, 則對于(1+I1,0+I2,…,0+In)∈A/I1×A/I2×…×A/In, 存在a∈A, 使

因此1-a∈I1,a∈Ii,i=2,3,…,n, 從而1=(1-a)+a∈I1+Ii. 故I1+Ii=A, 即I1與Ii(2≤i≤n)互素. 同理可證Ii與Ij(1≤i

反之,由I1+Ii=A知?ai∈Ii, 使1-ai∈I1,(2≤i≤n). 設(shè)1-ai=bi∈I1. 令a=a2a3…an, 則

a=(1-b2)(1-b3)…(1-bn)=1+c,

其中c∈I1.

d=d1+d2+…+dn,

則有

即φ是滿射.

定理2 設(shè)A是一個交換環(huán)(不一定含單位元),I1,I2,…,In是A的理想, 且

A2+Ii=A,Ii+Ij=A,?i≠j.

如果b1,b2,…,bn∈A, 那么

(1) 同余方程b≡bi(modIi)在A中有解;

(2)c∈A,c≡bi(modIi)?b-c∈I1∩I2∩…∩In.

證明 (1) 由I1+I2=A,I1+I3=A,有

因為A=A2+Ii,i=1,2,…,n,于是A?I1+(I1+I2∩I3)=I1+I2∩I3?A,所以

A=I1+I2∩I3.

c-bi=(c-b)+(b-bi)=-a+ai∈Ii.

即有c≡bi(modIi).

定理3 設(shè)A是Dedekind整環(huán),I1,I2,…,In是A的理想,x1,x2,…,xn∈A, 則同余方程x≡xi(modIi),(1≤i≤n)在A中有解?xi≡xj(modIi+Ij),(i≠j).

φ(x)=(x+I1,x+I2,…,x+In),

?y∈Ap,φp(y)=(y+〈xk1〉,y+〈xk2〉,…,y+〈xkn〉), 那么ψp(φp(y))的(i,j)-分量為y-y+〈xki〉+〈xkj〉=0+〈xki〉+〈xkj〉,即ψp(φp(y))=0.所以Imφp?kerψp.

反之,?(y+〈xk1〉,y+〈xk2〉,…,y+〈xkn〉)∈kerψp, 令km=max{k1,k2,…,kn}, 則yi-ym∈〈xki〉+〈xkm〉.故?ai,bi∈Ap, 使yi-ym=-aixki+bixkm, 即

yi+aixki=ym+bixkm.

令y=ym+(b1+…+bm-1+bm+1+…+bn)xkm∈Ap, 則

y-yi=

[(b1+…+bm-1+bm+1+…+bn)xkm-ki+ai]xki∈

〈xki〉.

于是φp(y)∈kerψp. 從而kerψp?Imφp, 故Imφp=kerψp,?p∈SpecA都成立.因此Imφ=kerψ. 這說明序列①正合.

進而有,若同余方程x≡xi(modIi), (1≤i≤n)在A中有解, 即存在x∈A, 使φ(x)=(x+I1,x+I2,…,x+In)=(x1+I1,x2+I2,…,xn+In), 則

ψ(φ(x))=ψ(x1+I1,x2+I2,…,xn+In)=0,

即xi-xj+Ii+Ij=0,(i≠j), 從而xi-xj∈Ii+Ij. 故xi≡xj(modIi+Ij),(i≠j).

反之,若xi≡xj(modIi+Ij),(i≠j), 則(x1+I1,x2+I2,…,xn+In)∈kerψ=Imφ.那么?x∈A, 使φ(x)=(x1+I1,x2+I2,…,xn+In). 即x≡xi(modIi).

3 結(jié) 論

針對交換幺環(huán)、不一定含單位元的交換環(huán)和Dedekind整環(huán)分別討論了中國剩余定理在其上的推廣形式,并且對不同的同余方程組給出了其有解的充要條件.中國剩余定理在三種交換環(huán)上的推廣形式可以使其更方便地應用于定義在交換環(huán)上編碼的研究中.

參考文獻:

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(Qiao Hao. The Application of the Chinese Remainder Theorem[D]. Beijing:Peking University, 2006:15-19.)

[6]Atiyah M F, MacDonald I G. Introduction to Commutative Algebra[M]. New York: Addsion-Wesley Publishing Company, 1982.