張 鵬，張逸菲

(武漢科技大學(xué)管理學(xué)院， 湖北 武漢，430081)

投資組合是分散投資風(fēng)險(xiǎn)的有效途徑。20世紀(jì)50年代，Markowitz使用方差來(lái)度量投資風(fēng)險(xiǎn)，提出了均值-方差單階段投資組合理論，奠定了現(xiàn)代金融學(xué)的基礎(chǔ)，但其模型不能很好地滿足實(shí)踐需求，故許多學(xué)者試圖尋求新的風(fēng)險(xiǎn)度量標(biāo)準(zhǔn)以及在新準(zhǔn)則下的投資組合模型。20世紀(jì)80年代，針對(duì)不同類型的資產(chǎn)在度量風(fēng)險(xiǎn)時(shí)要使用不同方法這一缺陷，摩根大通公司的風(fēng)險(xiǎn)管理人員提出了管理資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的VaR(Value at Risk)方法[1]。Alexander等[2]將VaR與均值-方差聯(lián)系起來(lái)分析，驗(yàn)證了均值-VaR投資組合選擇標(biāo)準(zhǔn)與效用最大化的不一致性。Consigli[3]研究了肥尾分布情況下均值-VaR投資組合模型。國(guó)內(nèi)也有許多學(xué)者研究了單階段單均值-VaR投資組合模型，并探討了其有效前沿的結(jié)構(gòu)特征[4-8]。

上述研究?jī)H考慮靜態(tài)(或單階段)的投資組合問(wèn)題，然而機(jī)構(gòu)投資者的投資行為往往是長(zhǎng)期的。長(zhǎng)期投資者將隨著投資環(huán)境的變化適時(shí)地調(diào)整投資組合頭寸,這就是多階段投資組合選擇。直到20世紀(jì)末,一般的多階段投資組合模型都是效用函數(shù)模型,而收益-風(fēng)險(xiǎn)型多階段投資組合選擇模型卻很少被研究。均值-方差分析在現(xiàn)代金融理論中有著重要的地位,從一開(kāi)始就受到高度重視。由于多階段均值-方差模型的目標(biāo)函數(shù)不具有可分離性，因此其求解是很困難的。Li等[9]在這方面的研究首先取得突破，他們用嵌入的方法把多階段均值-安全首要投資組合模型轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)能用動(dòng)態(tài)規(guī)劃處理的問(wèn)題,從而得到了最優(yōu)投資策略及有效前沿的解析表達(dá)式。此后多位學(xué)者對(duì)其研究進(jìn)行了相應(yīng)的拓展[10-16]。

本文提出完全市場(chǎng)情況下終期財(cái)富最大化的均值-VaR多階段投資組合模型，擬采用嵌入式方法將該模型不可分離的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為可分離的，并運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求其解析解及有效前沿。

1 多階段均值-VaR投資組合模型

(1)

模型(1)可以簡(jiǎn)化為

(2)

假設(shè)E(rt(rt)′)是正定矩陣，即

E(rt(rt)′)=

(3)

根據(jù)式(3)可得

(4)

由式(4)可得

?t

(5)

和

(6)

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR是指在一定的置信度(概率水平)下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來(lái)特定的一段時(shí)間內(nèi)最大的可能損失[2]。

定義1設(shè)投資組合的期望收益率為rp, 稱

P(rp<-VaR)≤1-c

(7)

為VaR約束，式中:c為常數(shù)(1/2≤c≤1)。式(7)表示投資組合的收益率超過(guò)-VaR的概率不低于c。

單個(gè)資產(chǎn)的收益率一般不服從正態(tài)分布，但當(dāng)資產(chǎn)數(shù)目較多(n≥128)時(shí)，資產(chǎn)組合的收益率基本服從正態(tài)分布[17]。

定理1當(dāng)投資組合中n種資產(chǎn)的收益率服從正態(tài)分布時(shí)，式(7)可化為

VaR≥Ф-1(c)σp-rp

(8)

式中：Ф(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，Ф-1(c)是置信度為c的正態(tài)分布函數(shù)的下分位點(diǎn)。

定理證畢。

完全市場(chǎng)情況下期終財(cái)富最大化的多階段均值-VaR投資組合模型為

maxE(ST)

(9)

minVaR(ST)

(10)

式中：σ(σ≥ 0)和ε(ε≥ 0)分別是給定VaR(ST) 和E(ST)的預(yù)期值。

模型(9)和模型(10)可以轉(zhuǎn)化為

maxU(E(ST),σ2(ST))=

(11)

式中：ω1≥0。

假設(shè)模型(11)的最優(yōu)解為Π*，即Π*={π|π是模型(11)的最優(yōu)解}。模型(11)的目標(biāo)函數(shù)不具有可分離性，不能直接運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解，故將模型(11)嵌入到一個(gè)輔助問(wèn)題中，再運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解。

2 輔助模型的構(gòu)建

考慮模型(11)的輔助問(wèn)題為

maxU2(E(ST),σ2(ST))=

E(ST)-ωσ2(ST)

(12)

式中：ω≥ 0。

假定UE和Uσ2分別為U關(guān)于E(ST)和σ2(ST)的偏導(dǎo)數(shù)，則

(13)

對(duì)于模型(13)的ω*(ω*>0)最優(yōu)值的一階必要條件為

(14)

(15)

由式(14)和式(15)可得

定理證畢。

盡管模型(12)比模型(11)更加簡(jiǎn)單，但是模型(12)還是不具有可分離性。因此將模型(12)嵌入到以下輔助模型中：

(16)

證明：模型(16)可以轉(zhuǎn)化為

(17)

(18)

對(duì)于模型(18)的λ*/ω*(λ*/ω*>0)最優(yōu)值的一階必要條件為

=0

(19)

(20)

由式(19)和式(20)可得：

λ*/ω*=

[-UE(π*)/Uσ2(π*)+2E(ST)]|π*=

定理證畢。

3 多階段均值-VaR投資組合優(yōu)化

運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法可以得到模型(17)的最優(yōu)投資策略如下[9]：

(21)

式中：

γ=λ/ω

(22)

(23)

t=1,…,T

(24)

邊界值為

(25)

第t期財(cái)富值為

t=1,…,T

(26)

由于(et,Pt)和St在統(tǒng)計(jì)上是獨(dú)立的，因此對(duì)式(26)兩邊取期望可得

E(St+1(γ))=

t=1,…,T

(27)

將式(26)兩邊平方可得

(28)

對(duì)式(28)兩邊取期望可得

t=1,…,T

(29)

設(shè)

t=1,…,T

(30)

t=1,…,T

(31)

t=1,…,T

(32)

(33)

(34)

根據(jù)式(30)～式(34)，式(27)和式(29)可轉(zhuǎn)化為

(35)

(36)

由式(35)和式(36)可得

(37)

假設(shè)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

則式(35)和式(36)可轉(zhuǎn)化為

E(ST)=μS1+vγ

(43)

(44)

定理5模型(11)的有效前沿在{E(ST),VaR(ST)}空間為

VaR(ST)=Φ-1(c)·

(45)

證明：根據(jù)式(43)可得

(46)

將式(46)代入式(44)可得

VaR(ST)=Φ-1(c)·

定理證畢。

將式(43)和式(44)代入模型(11)中的目標(biāo)函數(shù)可得

U=(1+ω1)(μS1+vγ)-

(47)

式(47)左右兩邊對(duì)γ求導(dǎo)可得

則

γ*=bS1+

(48)

將式(48)代入式(22)～式(25)可得模型(11)的最優(yōu)投資策略，也可以得到每期末財(cái)富值。

4 算例

E(rt)=[0.122,0.206,0.188]′,t=1,2,3,4

t=1,2,3,4

將A作為參照風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，計(jì)算可得:

E(Pt)=E[rB-rA,rC-rA]′=[0.084,0.066]′，

E(rArB)=Cov(rA,rB)+E(rA)E(rB)=1.4666，

E(rArC)=Cov(rA,rC)+E(rA)E(rC)=1.4414，

E(rBrC)=Cov(rB,rC)+E(rB)E(rC)=1.5404，

[0.1017，0.0766]。

多階段均值-VaR投資組合模型的最優(yōu)投資策略為

其中，

投資組合終期財(cái)富的期望收益率和VaR分別為

E(S4)=2.1623,σ2(S4)=0.1356。

5 結(jié)語(yǔ)

本文將VaR風(fēng)險(xiǎn)度量方法拓展到多階段投資組合模型，運(yùn)用嵌入式方法將不可分離的模型轉(zhuǎn)化為可分離的，并運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法得到模型的解析解和有效前沿，為投資者提供投資決策支持。后續(xù)將進(jìn)一步研究摩擦市場(chǎng)情況下終期財(cái)富最大化多階段投資組合決策問(wèn)題。

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