□□ ，小兵，

(廣東理工職業(yè)學(xué)院，廣東 廣州 510091)

引言

風(fēng)荷載是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)所需考慮的一類重要的隨機(jī)動(dòng)力荷載。與地震作用相比，高層、超高層建筑、高聳結(jié)構(gòu)、大跨度結(jié)構(gòu)等在風(fēng)荷載作用下的效應(yīng)，對結(jié)構(gòu)的安全性和適用性甚至起著決定性的影響。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)計(jì)算考慮風(fēng)荷載時(shí)，除了在平均風(fēng)作用下對建筑結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力計(jì)算外，有時(shí)還需對脈動(dòng)風(fēng)荷載下建筑結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行分析[1]。對于重要的結(jié)構(gòu)，通常采用風(fēng)洞試驗(yàn)的方法來測試其動(dòng)力響應(yīng)，但風(fēng)洞試驗(yàn)方法耗時(shí)耗資巨大，目前尚無法在工程設(shè)計(jì)分析領(lǐng)域中普遍使用。而通過計(jì)算機(jī)模擬脈動(dòng)風(fēng)荷載，可以很好地幫助工程人員掌握實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的風(fēng)振特性。事實(shí)上，考慮到在實(shí)際的大氣邊界層紊流風(fēng)場中，脈動(dòng)風(fēng)速不僅是時(shí)間的函數(shù)，而且隨空間位置而變化，是一個(gè)隨機(jī)場，數(shù)值模擬方法反而比實(shí)際記錄更具有代表性，因而在實(shí)際工程中被廣泛使用[2-6]。

1 風(fēng)場的基本特性

大氣中氣流的運(yùn)動(dòng)形成風(fēng)。根據(jù)大量的風(fēng)場實(shí)測資料可知，在風(fēng)的順風(fēng)向時(shí)程曲線中包含脈動(dòng)風(fēng)和平均風(fēng)兩部分。平均風(fēng)周期通常在10 min以上，對建筑結(jié)構(gòu)的作用可按靜力考慮，而脈動(dòng)風(fēng)周期通常只有幾分之一秒，且其速度和運(yùn)動(dòng)方向在時(shí)空上隨機(jī)，會(huì)引起建筑結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)。通常用功率譜和相關(guān)函數(shù)這兩個(gè)函數(shù)來描述脈動(dòng)風(fēng)。

1.1 常用風(fēng)速功率譜

脈動(dòng)風(fēng)的風(fēng)速功率譜主要反映脈動(dòng)風(fēng)中各種頻率成分對應(yīng)的能量分布規(guī)律。按方向可分為水平脈動(dòng)風(fēng)速功率譜和垂直脈動(dòng)風(fēng)速功率譜，目前使用最廣泛的是水平風(fēng)速功率譜，其中Davenport譜[7]、Harris譜[8]不考慮湍流積分尺度隨高度的變化情況，而Simiu譜[8]、Hino譜[9]、Kaimal譜[8]等考慮了近地表層不同高度時(shí)湍流積分尺度的變化。

上述各種常用水平風(fēng)速譜的表達(dá)式見(1)式至(11)式，其中Davenport譜也是GB 50009—2012《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》[10]采用的水平脈動(dòng)風(fēng)譜。

Davenport譜：

(1)

(2)

Harris譜：

(3)

(4)

Simiu譜：

(5)

(6)

當(dāng)c>0.2時(shí)，?。?/p>

(7)

Hino譜：

(8)

(9)

Kaimal譜：

(10)

(11)

1.2 脈動(dòng)風(fēng)相關(guān)性

在紊流風(fēng)場環(huán)境中，各點(diǎn)之間的風(fēng)速大小及風(fēng)向并不完全一致，甚至是完全無關(guān)的。脈動(dòng)風(fēng)在不同時(shí)間和空間上的相關(guān)程度，在時(shí)域上采用相關(guān)函數(shù)、在頻域上采用相干函數(shù)來描述。

相關(guān)函數(shù)分為自相關(guān)函數(shù)Rxx(τ)和互相關(guān)函數(shù)Rxz(τ)。為了更直觀了解風(fēng)場各點(diǎn)之間相關(guān)性的大小，引入自相關(guān)系數(shù)ρxx(τ)和互相相關(guān)系數(shù)ρxz(τ)：

(12)

(13)

在頻域上采用相干函數(shù)Coh(r,f)來表示空間點(diǎn)之間的相關(guān)程度，對于高層建筑那樣需要同時(shí)考慮高度和寬度方向的情況，Davenport A G曾給出Coh(r,f)指數(shù)形式的經(jīng)驗(yàn)公式[11]：

Coh(r,f)=Rxz(x1,x2,z1,z2,f)=e-c

(14)

(15)

2 脈動(dòng)風(fēng)時(shí)程數(shù)值模擬方法

多年以來，眾多學(xué)者針對前述脈動(dòng)風(fēng)速功率譜，從不同的角度用隨機(jī)過程方法模擬脈動(dòng)風(fēng)荷載時(shí)程，且滿足了樣本采集上的統(tǒng)計(jì)特征，在實(shí)際的工程應(yīng)用中被廣泛采用。脈動(dòng)風(fēng)荷載的模擬方法大體上可分為兩類，即線性濾波法和諧波疊加法。線性濾波法是基于線性濾波技術(shù)的一種方法，如自回歸法(AR)、滑動(dòng)平均法(MA)和滑動(dòng)自回歸平均法(ARMA)；諧波疊加法是基于譜分解和三角級數(shù)疊加求和來模擬脈動(dòng)風(fēng)時(shí)程，如常數(shù)波疊加法(CAWS)和加權(quán)波疊加法(WAWS)。

2.1 線性濾波法

線性濾波法也稱為白噪聲濾波法或時(shí)間系列法，其基本思想是將均值為零的白噪聲隨機(jī)序列通過濾波器，使其輸出具有指定譜特征的隨機(jī)過程。

若采用線性濾波法的ARMA技術(shù)，在白噪聲w(f)激勵(lì)下，滑動(dòng)自回歸平均模型的輸出為x(f)，則模型輸入及輸出關(guān)系的時(shí)域表達(dá)可寫成[12]：

(16)

式中：G為系統(tǒng)增益；ai及bi為模型待定系數(shù)。當(dāng)ai=0時(shí)，就成了MA模型；當(dāng)bi=0時(shí)，就是AR模型。

2.2 諧波疊加法[12]

諧波疊加法也稱為頻譜表示法，這種方法算法簡單直觀，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)嚴(yán)密，其基本思想是采用以離散譜逼近目標(biāo)隨機(jī)過程的隨機(jī)模型的一種離散化數(shù)值模擬方法。

如采用WAWS方法模擬多個(gè)相關(guān)脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程，考慮一組n維零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程：

(17)

該隨機(jī)過程的互譜密度函數(shù)矩陣為：

(18)

式中：Sjj(f)為自譜密度函數(shù)；Sjk(f)為互譜密度函數(shù)(j≠k)，且j,k=1,2,3…n。

Sjk(f)的表達(dá)式為復(fù)數(shù)形式：

(19)

式中：ch(f)為相干函數(shù)，其具體計(jì)算公式見(14)式和(15)式；φ(f)為相位角。

φ(f)的計(jì)算公式為：

(20)

顯然，互譜密度矩陣S(f)是一個(gè)對稱矩陣，將其進(jìn)行cholesky分解：

S(f)=H(f)·H*(f)

(21)

其中H(f)為下三角矩陣，H*(f)是H(f)的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，由于S(f)通常情況下為復(fù)矩陣，且不一定正定，因此，H(f)通常也是復(fù)矩陣，其對角元素為實(shí)數(shù)，非對角元素為復(fù)數(shù)，H(f)的矩陣形式如下：

(22)

H(f)中的元素具有如下關(guān)系：

(23)

式中：Im[·]和Re[·]分別為Hjk(f)的虛部和實(shí)部。

根據(jù)Shinozuka理論，(17)式所表示的隨機(jī)過程向量y(t)的樣本可由(24)式來模擬：

(j=1,2,…,n) (24)

3 結(jié)語

脈動(dòng)風(fēng)荷載時(shí)程的模擬是建筑結(jié)構(gòu)風(fēng)致振動(dòng)控制仿真分析中非常基礎(chǔ)且重要的一步，多年以來，國內(nèi)外眾多學(xué)者在相關(guān)方面做了大量的工作。本文介紹了近地表層風(fēng)場的基本特性，闡述了脈動(dòng)風(fēng)場模擬時(shí)的脈動(dòng)風(fēng)速功率譜和空間相關(guān)函數(shù)這兩個(gè)特征參數(shù)。對實(shí)際工程應(yīng)用過程中的兩類脈動(dòng)風(fēng)時(shí)程數(shù)值模擬方法，即線性濾波法和諧波疊加法的原理進(jìn)行了介紹，特別是對諧波疊加法模擬脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程的數(shù)學(xué)形成過程進(jìn)行了較深入的研究。

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