董鋒斌， 皇金鋒， 侯 波， 邊鵬江

(陜西理工學(xué)院 電氣工程學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

0 引 言

系統(tǒng)模型是系統(tǒng)本質(zhì)屬性的抽象描述，系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)形式表示的輸出對(duì)輸入的響應(yīng)關(guān)系，它是定量分析的基礎(chǔ)，是設(shè)計(jì)反饋控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。從控制理論的角度分析，要使一個(gè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)更好地控制，必須建立其數(shù)學(xué)模型。三相三橋臂電壓型逆變器是一種廣泛應(yīng)用于交流調(diào)速、不間斷電源、感應(yīng)加熱電源、太陽(yáng)能及風(fēng)能發(fā)電等領(lǐng)域的功率變換器，如果能建立其合理的數(shù)學(xué)模型，對(duì)逆變器分析和閉環(huán)設(shè)計(jì)將具有十分重要的意義[1-4]。

就三相電壓型逆變器系統(tǒng)主拓?fù)涠?，主要是由多個(gè)全控型開(kāi)關(guān)器件、二極管和濾波電感、電容等組成。由于開(kāi)關(guān)存在開(kāi)通和關(guān)斷兩種工作狀態(tài)，導(dǎo)致三相電壓型逆變器是一個(gè)變結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，且開(kāi)通時(shí)的電路拓?fù)浜完P(guān)斷時(shí)的電路拓?fù)渫耆灰恢?，二極管、開(kāi)關(guān)管又是非線性器件，一相橋臂上的開(kāi)關(guān)導(dǎo)通與關(guān)斷會(huì)對(duì)其它兩相負(fù)載的電壓產(chǎn)生影響，這些決定了三相電壓型逆變器的電路本質(zhì)是時(shí)變的、耦合的、多輸入、多輸出的非線性系統(tǒng)[1-3]。對(duì)這樣一類系統(tǒng)，一般采用的建模方案總體上可分為兩類，一類是數(shù)值法，一類是解析法。數(shù)值法主要用于計(jì)算機(jī)仿真， 解析建模方法主要包括：狀態(tài)空間平均法和切換系統(tǒng)模型等。切換系統(tǒng)模型是從切換系統(tǒng)理論出發(fā)，建立了三相逆變器的切換系統(tǒng)模型，該模型能真實(shí)地反映逆變器的實(shí)際物理工作過(guò)程。對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析有一定的作用，但是切換系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立十分困難，且不具有一定的普遍性[4-5]。對(duì)設(shè)計(jì)閉環(huán)控制系統(tǒng)，人們更關(guān)心的是能正確地反映系統(tǒng)輸入、輸出之間基本關(guān)系的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，因此空間平均法應(yīng)用更為廣泛[6-7]。

在文獻(xiàn)[6]中，討論過(guò)用狀態(tài)空間平均法建立了三相電壓型PWM逆變器的數(shù)學(xué)模型，并討論了三相電壓型PWM逆變器的開(kāi)關(guān)周期平均數(shù)學(xué)模型和小信號(hào)交流模型，其模型中所帶負(fù)載為阻性負(fù)載。文獻(xiàn)中未討論阻感性負(fù)載的工況情況，沒(méi)有討論為設(shè)計(jì)反饋控制系統(tǒng)所需要的從控制輸入到逆變器輸出的傳遞函數(shù)。在文獻(xiàn)[8-9]中雖討論過(guò)帶阻感性負(fù)載的工況，但是在理想狀況下，沒(méi)有考慮濾波電容的電阻和濾波電感電阻。受文獻(xiàn)[6]建模思路啟發(fā)，本文對(duì)考慮寄生電阻的三相電壓型逆變器進(jìn)行了建模分析，建立了三相逆變器非理想工況下帶阻感性負(fù)載的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)這些寄生參數(shù)對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響進(jìn)行了討論，得到了一些有用的結(jié)論，對(duì)三相電壓型逆變器分析和閉環(huán)設(shè)計(jì)提供一些理論基礎(chǔ)。

1 三相電壓型逆變器的建模研究

三相電壓型逆變器的拓?fù)淙鐖D1所示，skj為全控型電力電子開(kāi)關(guān)，其中k∈{a,b,c},j∈{p,n}。Lf 1、Lf 2、Lf 3為濾波電感，Cf 1、Cf 2、Cf 3為濾波電容，r1、r2、r3是考慮濾波電感的等效串聯(lián)電阻,rc1、rc2、rc3是濾波電容的等效串聯(lián)電阻。實(shí)際應(yīng)用中，一般三相參數(shù)基本對(duì)稱，于是有Lf 1=Lf 2=Lf 3=Lf，Cf 1=Cf 2=Cf 3=Cf，r1=r2=r3=r，rc1=rc2=rc3=rc。zA=zB=zC為三相對(duì)稱負(fù)載。雖然6個(gè)開(kāi)關(guān)有64種組合，但為保證不造成電壓源或電容的短路、電流源或電感的開(kāi)路，逆變器僅有8種有效組合。任一瞬時(shí)每相中只有一個(gè)開(kāi)關(guān)器件導(dǎo)通。定義相開(kāi)關(guān)函數(shù)sk，k∈{a,b,c}，當(dāng)sk=1時(shí)，表示與p相連，sk=0時(shí)，表示與n相連。相應(yīng)線開(kāi)關(guān)函數(shù)為sab=sa-sb，sbc=sb-sc，sca=sc-sa。依據(jù)6個(gè)開(kāi)關(guān)的8種狀態(tài)中直流側(cè)、交流側(cè)電量與開(kāi)關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系[6]和基爾霍夫定律可以得到：

(1)

圖1 三相電壓型逆變器電路拓?fù)?/p>

定義虛擬線電流iab=ia-ib，ibc=ib-ic，ica=ic-ia。由三相對(duì)稱性可得：

(2)

依據(jù)基爾霍夫定律有

(3)

如果三相負(fù)載滿足F(iA,uAB)=0，F(xiàn)(iB,uBC)=0，F(xiàn)(iC,uCA)=0，F(xiàn)(·,·)=0是隨負(fù)載性質(zhì)變化的隱函數(shù)方程。對(duì)A相有：

(4)

綜合(1)、(2)、(3)和(4)式，有

(5)

由式(5)可以看出，模型中出現(xiàn)未知函數(shù)，不便做深入討論。未知函數(shù)是由負(fù)載而定的，當(dāng)負(fù)載一定時(shí)，模型中就不會(huì)出現(xiàn)未知函數(shù)，阻感性負(fù)載是一類典型的負(fù)載，這里以阻感負(fù)載為例，繼續(xù)討論模型分析。三相電壓型逆變器帶三相對(duì)稱阻感負(fù)載的拓?fù)淙鐖D2所示。圖中Lo為負(fù)載電感，Ro為負(fù)載電阻。

在圖2中，根據(jù)基爾霍夫定律有：

圖2 三相電壓型逆變器帶阻感負(fù)載電路拓?fù)?/p>

(6)

將式(6)帶入式(5)中，雖不會(huì)出現(xiàn)未知函數(shù)，但模型中存在不連續(xù)的開(kāi)關(guān)函數(shù)，此系統(tǒng)為離散的，引入開(kāi)關(guān)周期平均算子式(7)[7]，將系統(tǒng)變換成連續(xù)的系統(tǒng)，其中Ts為開(kāi)關(guān)周期，x(t)為電路中的某電量,

(7)

一般有開(kāi)關(guān)頻率遠(yuǎn)大于電路中電量的變化頻率，因此在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)電感電流、電容電壓和直流側(cè)電壓這些連續(xù)量變化較小，于是有如下近似關(guān)系：

(8)

對(duì)線開(kāi)關(guān)函數(shù)求開(kāi)關(guān)周期平均后，有

(9)

式中da為a相上橋臂開(kāi)關(guān)管在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期的占空比，db為b相上橋臂開(kāi)關(guān)管在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期的占空比。

定義線間占空比dab=da-db，dbc=db-dc，dca=dc-da，其取值范圍在+1到-1之間。經(jīng)開(kāi)關(guān)周期平均后，有式(10)成立，其中除線間占空比外，其余各變量均保持原有書(shū)寫(xiě)格式:

(10)

公式(10)雖然較為準(zhǔn)確地表征了系統(tǒng)中各個(gè)物理參數(shù)之間的約束關(guān)系，但對(duì)設(shè)計(jì)閉環(huán)控制系統(tǒng)，人們更關(guān)心的是能正確地反映系統(tǒng)輸入、輸出之間基本關(guān)系的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，具體地說(shuō)是從控制輸入到逆變器輸出的傳遞函數(shù)。從上式中可以看出，存在乘積項(xiàng)，系統(tǒng)為非線性的，利用拉普拉斯變換求解系統(tǒng)傳遞函數(shù)有一定的難度[10]。這里應(yīng)用小信號(hào)擾動(dòng)法來(lái)繼續(xù)討論系統(tǒng)模型。

將穩(wěn)態(tài)值和擾動(dòng)量代入式(10)，消去穩(wěn)態(tài)值并忽略二階無(wú)窮小量，可得

(11)

可以看出式(11)是一個(gè)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，取拉氏變換后，可得到如下的傳遞函數(shù)為(12)式：

(12)

其中傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式分別為：

num=rcLoCfs2+(rcCfRo+Lo)s+Ro，

den= 3LfCfLos3+[3LfCf(Ro+rc)+(3r+rc)CfLo]s2+

[3rrcCf+(3r+rc)RoCf+3Lf+Lo]s+(3r+Ro),

當(dāng)rc=0，r≠0，即忽略濾波電容的電阻時(shí)，傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式分別變?yōu)椋?/p>

num1=Los+Ro，

den1=3LfCfLos3+(3LfCfRo+3rCfLo)s2+(3rRoCf+3Lf+Lo)s+(3r+Ro),

當(dāng)rc=0，r=0，即忽略濾波電容的電阻和濾波電感的電阻時(shí)，傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式分別變?yōu)椋?/p>

num2=Los+Ro，

den2=3LfCfLos3+3LfCfRos2+(3Lf+Lo)s+Ro,

其模型和文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果一致。

從以上的建模過(guò)程知，對(duì)同一個(gè)系統(tǒng)有3種數(shù)學(xué)模型，包括式(5)的開(kāi)關(guān)函數(shù)模型、式(10)的線間占空比函數(shù)模型和公式(12)的傳遞函數(shù)模型。其中開(kāi)關(guān)函數(shù)模型未作任何假設(shè)，屬于大信號(hào)數(shù)學(xué)模型。線間占空比函數(shù)模型是在忽略開(kāi)關(guān)頻率及其邊頻帶、開(kāi)關(guān)頻率諧波及其邊頻帶的條件下建立的低頻大信號(hào)數(shù)學(xué)模型。傳遞函數(shù)模型是小信號(hào)數(shù)學(xué)模型。對(duì)于大信號(hào)模型，可以作為非線性控制方法的基礎(chǔ)，而小信號(hào)模型則是采用經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)。

2 小信號(hào)數(shù)學(xué)模型分析

從輸入到輸出的傳遞函數(shù)為應(yīng)用成熟的反饋設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。但由于濾波電容的電阻和濾波電感的電阻在逆變器工作時(shí)不好測(cè)量，是否考慮這些因素，這些因素究竟對(duì)系統(tǒng)的分析和閉環(huán)設(shè)計(jì)有多大影響，這是工程設(shè)計(jì)人員所關(guān)心的，對(duì)其進(jìn)行分析如下。

2.1 模型階數(shù)

比較den、den1和den2，可以看出系統(tǒng)模型的階數(shù)均為3階，與忽略rc和r無(wú)關(guān)?？紤]rc和r時(shí)，改變的是s2、s1和s0項(xiàng)前面的系數(shù)，s3項(xiàng)前面的系數(shù)不變。這說(shuō)明系統(tǒng)模型的階數(shù)與儲(chǔ)能元件的種類與個(gè)數(shù)有關(guān)，而與是否考慮rc和r無(wú)關(guān)。

2.2 頻率特性比較

為說(shuō)明它們頻率特性的差異，選擇一組數(shù)據(jù)繪制其Bode圖曲線進(jìn)行比較[11]。一般Lf、Cf濾波器的轉(zhuǎn)折頻率為開(kāi)關(guān)頻率的1/10，通常狀況下開(kāi)關(guān)頻率多半取到10 kHz以上，因此取1 kHz作為L(zhǎng)f、Cf濾波器的轉(zhuǎn)折頻率，對(duì)應(yīng)可取Lf=1 mH和Cf=25 μF。其余參數(shù)為：r=1 Ω，rc=0.5 Ω，udc=400 V，Ro=20 Ω，Lo=0.5 mH。將上述參數(shù)帶入式(12)中，以占空比輸入到線電壓輸出的傳遞函數(shù)為例，得到：

利用MATLAB軟件分別繪制其Bode圖曲線[12]，如圖3所示。

圖3 Bode圖曲線

針對(duì)以下3種情況繪制不同的Bode圖，得到如表1的數(shù)據(jù)：(1)設(shè)rc=0，r=0時(shí)系統(tǒng)頻率特性；(2)設(shè)r≠0，只改變r(jià)c，分析其對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響；(3)設(shè)rc≠0，只改變r(jià)，分析其對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響。

表1 參數(shù)變化時(shí)頻率特性信息

從表1中可以得到以下結(jié)論：

(1)當(dāng)rc=0，r=0時(shí)，Bode圖諧振峰值最大，相角裕度最小，系統(tǒng)穩(wěn)定性最差，截止頻率最小;

(2)當(dāng)r≠0，隨著rc增大，Bode圖諧振峰值減小，相角裕度增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性增強(qiáng)，截止頻率增大;

(3)當(dāng)rc≠0，隨著r的增大，Bode圖諧振峰值減小，相角裕度增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性增強(qiáng)，截止頻率在減小，但變化不大。

上述結(jié)論是在一組數(shù)據(jù)下得到的，如改變參數(shù)值仍有上述結(jié)論。

從以上分析可以得到：考慮濾波電容的電阻和濾波電感寄生電阻得到的數(shù)學(xué)模型能夠更加準(zhǔn)確地反映出逆變器的工作特性，但從控制的角度出發(fā)，不考慮寄生電阻的數(shù)學(xué)模型其系統(tǒng)穩(wěn)定性最差。也就是說(shuō)按照不考慮寄生參數(shù)的小信號(hào)數(shù)學(xué)模型來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)，實(shí)際上是按照最壞的情況下來(lái)設(shè)計(jì)閉環(huán)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)出的調(diào)節(jié)規(guī)律能滿足系統(tǒng)要求。

3 結(jié) 論

本文針對(duì)三相電壓型逆變器這類耦合的、多輸入、多輸出的非線性系統(tǒng)，利用開(kāi)關(guān)函數(shù)、開(kāi)關(guān)平均算子等建立了其大小信號(hào)模型，得到了以下結(jié)論：

(1)大信號(hào)模型包含系統(tǒng)信息較為全面，但存在非線性項(xiàng)，可以作為非線性控制方法的基礎(chǔ)；采用小信號(hào)擾動(dòng)法建立的模型則可以作為經(jīng)典線性控制方法的基礎(chǔ)。

(2)考慮濾波電容的電阻和濾波電感電阻得到小信號(hào)數(shù)學(xué)模型的階數(shù)，和不考慮寄生參數(shù)的小信號(hào)數(shù)學(xué)模型的階數(shù)相同，說(shuō)明系統(tǒng)模型的階數(shù)與儲(chǔ)能元件的種類與個(gè)數(shù)有關(guān)，而與是否考慮rc和r無(wú)關(guān)。

(3)從控制的角度出發(fā)，不考慮寄生電阻的數(shù)學(xué)模型，其系統(tǒng)穩(wěn)定性最差。也就是說(shuō)按照不考慮寄生參數(shù)的小信號(hào)數(shù)學(xué)模型來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)，實(shí)際上是按照最壞的情況下來(lái)設(shè)計(jì)閉環(huán)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)出的調(diào)節(jié)規(guī)律能滿足系統(tǒng)要求。

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