唐 玲,林志超

(1.安徽建筑大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 合肥 230601;2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230009)

亞式期權(quán)是一種強(qiáng)路徑依賴(lài)期權(quán),也是當(dāng)今金融衍生品市場(chǎng)上交易最為活躍的新型期權(quán)之一,在衍生資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)管理中起著舉足輕重的作用[1].但亞式期權(quán)與標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)不同,其到期收益取決于期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)在某段時(shí)間內(nèi)的平均價(jià)格,這種平均可以是幾何平均,也可以是算術(shù)平均;可以是離散的,也可以是連續(xù)的;執(zhí)行價(jià)格可以是固定的,也可以是浮動(dòng)的.亞式期權(quán)的路徑依賴(lài)性,使得其定價(jià)比標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)要復(fù)雜得多,雖然有很多學(xué)者討論了其定價(jià),但幾乎都是在Black-Scholes模型下股票波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)下進(jìn)行的[2-3],然而實(shí)證表明Black-Scholes模型對(duì)波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)與市場(chǎng)實(shí)際不符,波動(dòng)率往往會(huì)表現(xiàn)出“微笑或傾斜”現(xiàn)象.相應(yīng)的改進(jìn)模型主要有兩個(gè)方面:一是在基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的動(dòng)態(tài)模型中引入跳躍風(fēng)險(xiǎn)[4-5];二是允許基礎(chǔ)資產(chǎn)的波動(dòng)率隨機(jī)變化[6].對(duì)于波動(dòng)率非常數(shù)的亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題,以往的文獻(xiàn)中以跳擴(kuò)散模型居多.由于亞式期權(quán)路徑的復(fù)雜性,對(duì)于隨機(jī)波動(dòng)率模型下的定價(jià),主要探討的是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和波動(dòng)率受同一布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下的定價(jià)[7-10].本文擬考慮兩種隨機(jī)源驅(qū)動(dòng)下的亞式期權(quán)定價(jià).

1 模型及假設(shè)

對(duì)于隨機(jī)波動(dòng)率模型,它的一般形式是假設(shè)市場(chǎng)上風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格St滿(mǎn)足如下條件:

式中,過(guò)程w1,t,w2,t是概率空間(Ω,F,P)上的兩個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),過(guò)程zt是不可觀測(cè)的狀態(tài)變量.相應(yīng)的濾子(Ft)t≥0是w1,w2生成的自然σ域流的完備化,記Ft=σ(w1,s,w2,s)(0≤s≤t).若γ(zt)=0,則市場(chǎng)是完備的,期權(quán)定價(jià)唯一.由于式(1)和式(2)具有相當(dāng)廣泛的代表性,因此,大部分學(xué)者討論的是其特殊情形[5,7,9].本文主要考慮波動(dòng)率的平方服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)模型.

假設(shè)市場(chǎng)只有兩種資產(chǎn),一種是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券,一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)股票.

對(duì)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券,其價(jià)格過(guò)程分別滿(mǎn)足如下條件:

dP(t)=rP(t)dt,P(0)=1.

式中,r是常數(shù)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.

對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)股票,其價(jià)格過(guò)程St滿(mǎn)足如下隨機(jī)微分方程:

定義[13]若市場(chǎng)可行,且每一未定權(quán)益可達(dá),則稱(chēng)市場(chǎng)為完備的,否則稱(chēng)為不完備的.

2 固定執(zhí)行價(jià)格亞式期權(quán)定價(jià)

首先根據(jù)資產(chǎn)定價(jià)基本定理,證明隨機(jī)波動(dòng)率模型下市場(chǎng)是不完備的.

定理1 上述測(cè)度變換中若取λ2=0,此時(shí)定義的Q是關(guān)于P的最小等價(jià)鞅測(cè)度[16].在測(cè)度Q下,式(3)和式(4)相應(yīng)地為

(9)

式中,

同理,方差

代入式(10)即得式(9).

代入式(9)即得價(jià)格的近似解為

定理3 若股票價(jià)格過(guò)程滿(mǎn)足式(3)和式(4),則具有固定執(zhí)行價(jià)格K的幾何平均亞式看跌期權(quán)的價(jià)格近似解為

3 結(jié) 語(yǔ)

本文在股價(jià)價(jià)格波動(dòng)率符合市場(chǎng)實(shí)際的隨機(jī)波動(dòng)率模型下,采用測(cè)度變換法和最小鞅測(cè)度方法,給出了固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)的近似解析公式,推廣了波動(dòng)率為常數(shù)的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.本文的結(jié)果還可以推廣到復(fù)合期權(quán)和美式期權(quán)的定價(jià)研究中.

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