鄒 廣 玉

(長春工程學(xué)院 理學(xué)院,吉林 長春 130012)

近年來,一些學(xué)者在不同條件下,研究了對數(shù)律的一階矩完全收斂的精確速度,如文獻(xiàn)[1-3]分別研究了獨立同分布、PA和NA序列對數(shù)律的精確漸近性,其中已得到的一個結(jié)論如下:

本文針對獨立同分布序列生成的線性過程,得到了如式(1)所示的結(jié)果,這就將獨立同分布序列對數(shù)律的一階矩完全收斂性的精確漸近性推廣至由獨立同分布序列生成線性過程對數(shù)律的矩完全收斂性的精確漸近性,豐富了線性過程矩完全收斂性的精確漸近性的結(jié)果.本文的主要結(jié)果如下:

1 幾個引理

在本文中,記{W(t),(t≥0)}為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程,N表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量,C在不同的位置表示不同的正常數(shù).

引理1 對任意的x>0,有

當(dāng)x→0時

特別地,因為W(1)=N,故有

證明見文獻(xiàn)[3]中的引理2.1.

引理2 在定理的條件下,有

證明 定理中的條件滿足文獻(xiàn)[4]中引理2.1的條件,于是可得本引理的結(jié)論.

證明可由文獻(xiàn)[5]中的式2.2推得.

2 定理的證明

不失一般性,不妨設(shè)τ=1.令

b(ε)=[eMε2],

定理可由以下幾個命題推得.

證明 由引理1可得

命題2 在定理的條件下,有

證明 記

由引理2知Δn→0(n→+∞).由Toeplitz引理[6],易得:

進(jìn)而

命題3 對任意的α>-1,有

證明見文獻(xiàn)[3]中的引理3.2.

命題4 在定理的條件下,有

證明 由引理1和引理3,有

故

先令ε→∞,再令M→+∞,即得本命題的結(jié)論.

由命題1～命題4和三角不等式可知式(2)成立,從而定理得證.

參考文獻(xiàn):

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