劉明, 趙永強(qiáng), 徐冬梅, 李瑰賢

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

國內(nèi)外對多級行星齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)特性的研究多集中在航空和船舶領(lǐng)域。

孫智民等[1]對航空用2級封閉行星傳動系統(tǒng)進(jìn)行了動載荷的研究;鮑和云、朱如鵬等[2]對航空用2級星型齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行了均載及動態(tài)特性的研究,但所研究的對象仍屬于定軸輪系范疇;趙永強(qiáng)[3]考慮了行星輪位置相角的時變性,對艦船用2級串聯(lián)混合行星傳動系統(tǒng)進(jìn)行了非線性動力學(xué)的研究,但沒有提出具體的設(shè)計指導(dǎo)建議。秦大同等[4]建立了盾構(gòu)用3級行星齒輪傳動的純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型,計算了嚙合相位關(guān)系,用梯形波表示時變嚙合剛度,考慮了時變嚙合剛度、誤差等因素,求解了傳動系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng),分析了傳動系統(tǒng)各構(gòu)件的振動響應(yīng)和齒輪振動加速度的時域和頻域曲線。文獻(xiàn)[5]中基于平移-扭轉(zhuǎn)耦合模型,對復(fù)式行星傳動系統(tǒng)的固有特性進(jìn)行了研究,計算了傳動系統(tǒng)的固有頻率和振動矢量,歸納總結(jié)了復(fù)式行星傳動系統(tǒng)的振動模態(tài)。文獻(xiàn)[6]對船舶減速器用封閉式人字齒輪行星系統(tǒng)的固有特性進(jìn)行了研究,得出了封閉式人字齒輪行星系統(tǒng)5種振動模態(tài),并分析了輸入轉(zhuǎn)速對固有頻率的影響。朱自冰等[7]建立了2級星型傳動系統(tǒng)的非線性純扭轉(zhuǎn)模型,研究了傳動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性,分析了在不同參數(shù)條件和不同的激振頻率下,系統(tǒng)通往混沌的道路:單周期通向混沌、倍周期激變?yōu)榛煦绾蛿M周期通向混沌的道路。潘博等[8]基于純扭轉(zhuǎn)模型,建立了空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)3級減速器的動力學(xué)模型,計算了3級減速器的動力學(xué)特性,分析了齒輪精度、關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速以及負(fù)載對傳動系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。

Guo和Parker在文獻(xiàn)[9]中研究了復(fù)合行星傳動系統(tǒng)固有特性的參數(shù)敏感度,分析了改變系統(tǒng)參數(shù)時(如剛度參數(shù)、慣性參數(shù))固有頻率和振型的變化。

上述文獻(xiàn)針對各自的研究對象,均從整個系統(tǒng)的角度出發(fā),建立了系統(tǒng)的動力學(xué)模型,進(jìn)行了相關(guān)的動力學(xué)研究。如果改變系統(tǒng)傳動形式,就需要重新建立相對應(yīng)的動力學(xué)模型,再進(jìn)行研究。此種建模方法稱為整體式建模方法,這種建模方法不便于通過動態(tài)性能分析快速選取傳動方案,模型不具有通用性,不僅復(fù)雜耗時,而且在重建模型過程中極易出現(xiàn)錯誤。為克服上述缺點(diǎn),本文采用模塊化建模思想,建立通用的模塊化系統(tǒng)動力學(xué)模型,使其不局限于某一種傳動形式,有助于傳動方案的快速選取和動力學(xué)特性的研究。

1 模塊化動力學(xué)模型的建立

1.1 傳動方案及計算模型

本文研究的傳動系統(tǒng)采用多級2K-H行星傳動的串聯(lián),傳動方案簡圖如圖1所示,每級2K-H行星傳動均由太陽輪s、行星輪p、齒圈r和行星架H組成。上一級的行星架與下一級的太陽輪相連接。輸入構(gòu)件為第1級太陽輪軸,輸出構(gòu)件為第N級行星架。

圖1 多級行星傳動系統(tǒng)傳動方案

圖2為多級行星傳動系統(tǒng)第i級2K-H行星傳動修正的扭轉(zhuǎn)模型,由于傳動方案中每級組成均相同,所以只給出單級計算模型。

圖2 單級集中參數(shù)計算模型

傳遞扭轉(zhuǎn)運(yùn)動是N級2K-H行星傳動系統(tǒng)的核心功能,聚焦扭轉(zhuǎn)振動可以合理簡化仿真過程,突出核心功能。但在力求精簡的同時,還需要與實(shí)際振動符合,不能只單純追求簡單,因此圖2所示的集中參數(shù)計算模型采用了修正的扭轉(zhuǎn)模型。修正的扭轉(zhuǎn)模型不但考慮了各構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)自由度,還考慮了行星輪沿行星架切向的平移自由度以及行星輪軸的切向支撐剛度。

1.2 模塊化思想

將系統(tǒng)劃分為4級模塊模型,通過調(diào)用每級模塊模型建立通用的行星齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型。

每級模塊模型的具體組成如下所示:

1) 1級模塊模型的建立

1級模塊為1對齒輪的嚙合,具體包括內(nèi)嚙合(齒圈與行星輪)和外嚙合(太陽輪與行星輪)?；谛拚呐まD(zhuǎn)模型,在每個齒輪構(gòu)件各自坐標(biāo)系中,考慮各構(gòu)件扭轉(zhuǎn)方向和行星輪沿行星架切向的自由度,建立1對齒輪的動力學(xué)模型。建模時需要確定嚙合變形力、嚙合阻尼力和摩擦力。

2) 2級模塊模型的建立

2級模塊包括多對齒輪嚙合模塊和行星架模塊。多對齒輪嚙合模塊為太陽輪與多個行星輪和齒圈與多個行星輪的嚙合,行星輪的個數(shù)受裝配條件的限制?？紤]各行星輪軸的影響和軸連接關(guān)系,建立行星架模塊的動力學(xué)模型。其中軸連接包括行星架與中心輪軸之間的連接和雙聯(lián)行星輪間的軸連接。

3) 3級模塊模型的建立

調(diào)用1級模塊和2級模塊,可建立起3級模塊,即多級行星傳動系統(tǒng)中某單級傳動的動力學(xué)模型。單級行星傳動系統(tǒng)不局限于某一種行星傳動類型,可根據(jù)設(shè)計需要在上幾級模塊中調(diào)用選取。調(diào)用1級模塊和2級模塊后,形成的第i級行星傳動動力學(xué)模型。

4) 4級模塊模型的建立

考慮每個模塊自身及模塊間的耦合連接,依次調(diào)用前3級模塊,即可建立多級行星齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學(xué)微分方程組,即4級模塊。

同時,通過對相應(yīng)邊界條件的適當(dāng)界定,上述4級模塊模型便可用于建立含定軸輪系的傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型,使其不局限于多級2K-H行星傳動系統(tǒng)。具體劃分如圖3所示。

圖3 多級行星傳動系統(tǒng)模塊化劃分

1.3 模塊化動力學(xué)模型

按照劃分的模塊,考慮時變嚙合剛度、阻尼等因素,對各部件進(jìn)行受力分析,建立各模塊的動力學(xué)方程。

1) 1、2級模塊

由于1級模塊只是1對齒輪的嚙合,它包括在2級模塊中,所以直接給出2級模塊動力學(xué)方程建立過程。篇幅限制,2級模塊中只給出行星輪與多個中心輪的動力學(xué)方程,其他構(gòu)件的動力學(xué)方程參見文獻(xiàn)[3]。

行星輪受力主要由行星輪與太陽輪嚙合的彈性變形力和嚙合阻尼力,行星輪與齒圈嚙合的彈性變形力、嚙合阻尼力及切向支撐力組成。

得到行星輪切向和扭轉(zhuǎn)方向運(yùn)動微分方程為:

(1)

(2)

2) 3、4級模塊

調(diào)用1級模塊和2級模塊,可建立多級行星傳動中第i級單級傳動的動力學(xué)模型。

(3)

考慮每級傳動之間的耦合連接,在定坐標(biāo)系下建立多級行星齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學(xué)微分方程組,即4級模塊:

(4)

式中：M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣;C為系統(tǒng)的阻尼矩陣;K為系統(tǒng)的剛度矩陣;T為驅(qū)動和負(fù)載力矩對應(yīng)的當(dāng)量力向量;F為內(nèi)激勵力向量;q為系統(tǒng)的廣義自由度。

廣義自由度的具體表示如(5)式所示:

(5)

需要說明的是,對于一般的多級行星傳動,求解時調(diào)用1、2級通用模塊,考慮模塊間的連接關(guān)系,即可求解3、4級模塊的系統(tǒng)微分方程。

2 模塊化數(shù)值求解

對應(yīng)模塊化動力學(xué)模型,使用Matlab編制相對應(yīng)的M文件,形成模塊化M函數(shù)。

4級模塊的組成如圖3所示,其中1級模塊,包含內(nèi)嚙合(齒圈與行星輪)函數(shù)和外嚙合(太陽輪與行星輪)函數(shù)。其中內(nèi)嚙合函數(shù)與外嚙合函數(shù),如圖4所示,需要確定嚙合變形力力、嚙合阻尼力和嚙合摩擦力。

圖4 齒輪外(內(nèi))嚙合M函數(shù)的組成

2級模塊包括多對齒輪嚙合模塊和行星架模塊。其中行星架模塊M函數(shù)組成如圖5所示。

圖5 行星架受力函數(shù)模塊組成

通過調(diào)用1級和2級模塊,可建立單級行星齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型,即3級模塊。3級模塊中中心輪(太陽輪與齒圈)受力函數(shù)組成如圖6所示,行星輪受力函數(shù)組成如圖7所示。

圖6 中心輪模塊受力函數(shù)組成

圖7 行星輪模塊受力函數(shù)組成

考慮每級傳動之間連接,調(diào)用3級模塊,形成4級模塊,即多級行星齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)微分方程組,其中每級行星傳動級間連接的耦合力函數(shù)(coupling)由耦合變形力和耦合阻尼力組成。

3 計算結(jié)果與比較

采用數(shù)值積分方法對多級行星傳動系統(tǒng)動力學(xué)微分方程進(jìn)行求解。

以空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)用4級2K-H行星傳動系統(tǒng)為例(表1所示,只給出基本參數(shù)),輸出扭矩1 000 N·m、輸出轉(zhuǎn)速0.5 r/min,對其動力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值求解,得到系統(tǒng)的響應(yīng)特性。由于篇幅限制,只給出第4級行星輪的動態(tài)響應(yīng)結(jié)果,如圖8所示。

圖8 第4級行星輪響應(yīng)結(jié)果

從響應(yīng)結(jié)果中,可以了解各構(gòu)件的響應(yīng)幅值、振動規(guī)律以及相互聯(lián)系,在此不再贅述。

為驗(yàn)證模塊化模型的正確性,將模塊化模型的動態(tài)響應(yīng)結(jié)果與已經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證并且成熟的整體建模方法得到的動態(tài)響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行比較,如圖9所示。

圖9 第1級行星架動態(tài)響應(yīng)結(jié)果對比

圖9為第1級行星架模塊化建模方法和整體建模方法求得的動態(tài)響應(yīng)結(jié)果對比。實(shí)線表示使用模塊化方法建模求解得到的傳動系統(tǒng)各構(gòu)件的動態(tài)響應(yīng),“°”表示使用整體建模方法求解得到的傳動系統(tǒng)各構(gòu)件的動態(tài)響應(yīng)。

在[0,0.01]的仿真時間內(nèi),隨著時間的增加,吻合情況沒有仿真開始階段吻合程度好。這是因?yàn)榍蠼舛嗉壭行莻鲃酉到y(tǒng)微分方程采用的是ODE45求解器,此求解器采用的是變步長的4、5階Runge-Kutta方法,步長是根據(jù)容許誤差自動確定的。求解2種不同建模方法建立的動力學(xué)微分方程組時,步長大小不完全一樣,導(dǎo)致產(chǎn)生的截斷誤差不相等,產(chǎn)生的誤差隨著仿真時間的增加逐漸累積,使得動態(tài)響應(yīng)結(jié)果沒有完全吻合。

從上述分析可以看出,模塊化建模方式求解的動態(tài)響應(yīng)結(jié)果與整體建模方式求解的動態(tài)響應(yīng)結(jié)果基本吻合,具有一致性,模塊化模型具有有效性。導(dǎo)致模塊化建模和整體建模求解得到的動態(tài)響應(yīng)結(jié)果對比吻合不一致的主要原因是數(shù)值計算誤差,包括截斷誤差(由變步長引起)和擬合誤差。

表1 系統(tǒng)基本參數(shù)

另外一種使得結(jié)果不完全吻合的原因?yàn)閿M合誤差。本文使用數(shù)值積分法對動力學(xué)微分方程組進(jìn)行求解,當(dāng)使用MATLAB軟件的plot函數(shù)將數(shù)值結(jié)果以圖形的形式展示時,需要對數(shù)值點(diǎn)進(jìn)行擬合,會產(chǎn)生如圖9局部放大部分所示的擬合誤差。

表2 嚙合參數(shù)

4 結(jié) 論

1) 突破傳統(tǒng)建模方法,采用模塊化思想,將系統(tǒng)劃分為4級子模塊,集成各級子模塊,建立了多級行星傳動系統(tǒng)模塊化動力學(xué)模型,方便系統(tǒng)的動力學(xué)分析及傳動方案的快速選取。

2) 建立與各模塊對應(yīng)的M函數(shù),調(diào)用各級子模塊,形成系統(tǒng)動力學(xué)方程組,使用ODE45求解器對其進(jìn)行數(shù)值求解,得到了系統(tǒng)的時域及頻域響應(yīng)。

3) 對整體式建模與模塊化建模所得響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行了對比驗(yàn)證,驗(yàn)證了模塊化模型的有效性,并分析了2種建模方法所得結(jié)果不完全吻合的原因。

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