王奎龍

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州310036）

由于在原子光學(xué)、量子光學(xué)、微觀粒子的激光操作和醫(yī)學(xué)方面的廣泛應(yīng)用，中心光強(qiáng)為零的空心光束在實(shí)驗(yàn)和理論上都受到了很多的關(guān)注［1－4］．實(shí)驗(yàn)上提出了多種方法來(lái)產(chǎn)生空心光束，都獲得了較好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果．理論上提出了TEM＊01光束、貝塞爾－高斯光束、高階馬丟光束和空心高斯光束等多種模型描述空心光束．后來(lái)，Wu等在實(shí)驗(yàn)中觀察到了一種橢圓對(duì)稱(chēng)的異?？招墓馐?，其中間帶一個(gè)橢圓形的實(shí)心核，為研究線(xiàn)性和非線(xiàn)性粒子動(dòng)力學(xué)中的橫向不穩(wěn)定性提供了一種重要的工具［5］．2007年，Cai提出了描述這種異?？招墓馐睦碚撃Ｐ停⒀芯苛诉@種光束在自由空間的傳輸特性［6］．隨后，異?？招墓馐诓煌鈱W(xué)系統(tǒng)下的傳輸特性受到廣泛研究［7－11］．

然而，在實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)中，光束的傳輸總要受到光闌的限制，同時(shí)光學(xué)系統(tǒng)的失調(diào)普遍存在，因此，研究光束在帶有光闌的失調(diào)光學(xué)系統(tǒng)中的傳輸具有重要意義．本文研究了異?？招墓馐ㄟ^(guò)一個(gè)帶圓形光闌的失調(diào)傍軸光學(xué)系統(tǒng)的傳輸，通過(guò)把光闌函數(shù)展開(kāi)為復(fù)高斯函數(shù)的方法推導(dǎo)出橢圓異?？招墓馐ㄟ^(guò)光闌失調(diào)傍軸ABCD光學(xué)系統(tǒng)的近似傳輸公式．作為數(shù)值計(jì)算的實(shí)例，研究了異常空心光束通過(guò)帶圓形硬邊光闌失調(diào)薄透鏡系統(tǒng)的傳輸特性．

1 異?？招墓馐ㄟ^(guò)光闌失調(diào)傍軸光學(xué)系統(tǒng)的傳輸

考慮異?？招墓馐ㄟ^(guò)如圖1所示的失調(diào)光學(xué)系統(tǒng)，其中：RP1和RP2是準(zhǔn)直參考平面，RP1m和RP2m是失調(diào)參考平面，ε是橫向偏移量，ε′是傾斜角度．A、B、C和D是從RP1到RP2的準(zhǔn)直光學(xué)系統(tǒng)的矩陣元．一個(gè)半徑為a的圓形光闌放置在輸入平面RP1上．圓形光闌的窗口函數(shù)可表示為

在直角坐標(biāo)下，Z軸為光束傳輸軸，Z＝0入射面內(nèi)的異常空心光束的電場(chǎng)分布，可以描述為

式中w0x和w0y分別表示像散高斯光束在x和y方向的束腰寬度，當(dāng)w0x＝w0y時(shí)為圓對(duì)稱(chēng)異?？招墓馐?/p>

在傍軸條件下，異?？招墓馐ㄟ^(guò)光闌失調(diào)系統(tǒng)后出射場(chǎng)的分布可由直角坐標(biāo)下的Collins積分公式得到

其中k＝2π／λ，λ為波長(zhǎng)．E、F、G和H分別定義為

其中：εx，εy，ε′x，ε′y分別是ε和ε′在x和y方向的二維分量，αT、βT、γT和δT與變換矩陣元的關(guān)系為

上式中，l為輸入平面與輸出平面間的軸上距離．

圖1 兩維失調(diào)光學(xué)系統(tǒng)示意圖Fig．1 Misaligned diagram for a two－dimensional forward－going system

圖2 帶圓形硬邊光闌透鏡系統(tǒng)Fig．2 Propagation of anomalous hollow beam passing through a lens

硬邊光闌函數(shù)可拓展為一組復(fù)高斯函數(shù)之和

式中An和Bn分別為拓展的復(fù)系數(shù)，可從計(jì)算機(jī)優(yōu)化中得到［12］，N取10足夠近似，因此在下面的計(jì)算中取N＝10．將式（2）和（6）代入式（3），經(jīng)過(guò)復(fù)雜積分后，可以得到異?？招墓馐ㄟ^(guò)硬邊光闌失調(diào)傍軸光學(xué)系統(tǒng)的場(chǎng)分布的解析表達(dá)式

其中

式（7）為異?？招墓馐ㄟ^(guò)帶圓形光闌的失調(diào)傍軸ABCD光學(xué)系統(tǒng)的一般表達(dá)式，當(dāng)取ε＝ε′＝0時(shí)，簡(jiǎn)化為帶圓形光闌的準(zhǔn)直ABCD光學(xué)系統(tǒng)的傳輸，當(dāng)a＝∞時(shí)，簡(jiǎn)化為無(wú)光闌失調(diào)系統(tǒng)的傳輸．

2 數(shù)值模擬和分析

作為具體應(yīng)用的例子，考慮異?？招墓馐ㄟ^(guò)如圖2所示的一個(gè)帶圓形光闌的失調(diào)透鏡系統(tǒng)．

透鏡系統(tǒng)的矩陣可表示為

其中：s為輸入面到透鏡的距離，f是透鏡的焦距，z1是輸出面到透鏡焦平面的距離．將式（10）中A、B、D代入式（7），通過(guò)模擬計(jì)算可以得到不同觀察面上的異?？招墓馐臍w一化光強(qiáng)分布．在下面的計(jì)算中，取λ＝632．8 nm，f＝500mm，s＝300mm，圓對(duì)稱(chēng)光束取w0x＝w0y＝1mm，橢圓對(duì)稱(chēng)光束取w0x＝1mm，w0y＝0．5mm．

圖3 無(wú)光闌準(zhǔn)直透鏡系統(tǒng)中的歸一化光強(qiáng)分布Fig．3 Normalized intensity distribution in a alignment lens optical system without aperture

圖4 圓對(duì)稱(chēng)異?？招墓馐ㄟ^(guò)光闌失調(diào)透鏡系統(tǒng)后焦平面上的歸一化光強(qiáng)分布（εx＝εy＝1mm，a＝1mm）Fig．4 Normalized intensity distribution of an circular symmetric anomalous hollow beam through an apertured misaligned lens system at the focusing plane withεx＝εy＝1mm，a＝1mm

圖5 光闌失調(diào)透鏡系統(tǒng)中不同距離處的歸一化光強(qiáng)分布（a＝1mm）Fig．5 Normalized intensity distribution at different propagation distances plane in an apertured misaligned lens system with a＝1mm

圖3所示為圓對(duì)稱(chēng)和橢圓對(duì)稱(chēng)異?？招墓馐ㄟ^(guò)無(wú)光闌準(zhǔn)直透鏡系統(tǒng)的3D歸一化強(qiáng)分布和等高分布圖，圖3（a）（b）和圖3（c）（d）為圓對(duì)稱(chēng)橢圓對(duì)稱(chēng)異常空心光束在輸入面和焦平面處的歸一化光強(qiáng)分布．從圖3中可以看出，異?？招墓馐ㄟ^(guò)透鏡系統(tǒng)后，其中心光強(qiáng)變?yōu)樽畲笾?，而環(huán)繞中心核的光強(qiáng)逐漸減弱，但沒(méi)有完全消失，從圖3（c）（d）可以看出，橢圓對(duì)稱(chēng)異常空心光束通過(guò)透鏡系統(tǒng)后，其長(zhǎng)軸和短軸會(huì)發(fā)生交換．圖4和圖5所示為異?？招墓馐ㄟ^(guò)光闌失調(diào)透鏡系統(tǒng)后的歸一化光強(qiáng)分布，其中光闌寬度為a＝1mm，圖4所示為在焦平面上不同失調(diào)量時(shí)的歸一化光強(qiáng)分布，圖5所示為在失調(diào)量為εx＝εy＝1mm和ε′x＝ε′y＝0．001rad時(shí)不同傳輸距離處的歸一化光強(qiáng)分布．從圖4和圖5中可以看出，異?？招耐ㄟ^(guò)失調(diào)光闌系統(tǒng)后，變?yōu)橐粋€(gè)離軸光束，當(dāng)存在角偏移時(shí)，離軸光束的偏移量進(jìn)一步加大（見(jiàn)圖4（b）），在相同的失調(diào)量下，光束的偏移量隨著傳輸距離的增大而增大（比較圖4（b）和圖5）．圖6和圖7為圓對(duì)稱(chēng)和橢圓對(duì)稱(chēng)異常空心光束通過(guò)不同光闌寬度的光闌失調(diào)透鏡系統(tǒng)后的歸一化光強(qiáng)分布，其失調(diào)量為εx＝εy＝1mm和ε′x＝ε′y＝0．001rad．從圖3—圖7可以看出，光闌對(duì)異?？招墓馐ㄟ^(guò)光闌失調(diào)透鏡系統(tǒng)后的光強(qiáng)分布有很大影響，比較圖3（b）、圖4和圖5可以看出，由于光闌的衍射作用，光束的分布出現(xiàn)多個(gè)旁瓣，而中心光強(qiáng)逐漸減小，在較遠(yuǎn)距離處，旁瓣數(shù)量減小，光強(qiáng)增大．從圖6和圖7可以看出，在z1＝50mm處，隨著光闌寬度的增大，光束光強(qiáng)逐漸集中，而當(dāng)光闌寬度增大到一定程度，光強(qiáng)分布變化減小，如圖6（b）和（c），圖7（b）和（c）所示，從a＝2mm到a＝5mm，光束分布基本不變，但強(qiáng)度有所增強(qiáng)，而光闌寬度5mm以上，光闌作用基本消失．從圖3、圖6和圖7還可以看出，圓形光闌對(duì)圓對(duì)稱(chēng)和橢圓對(duì)稱(chēng)異?？招墓馐膫鬏斢绊懖煌捎跈E圓對(duì)稱(chēng)光束的不對(duì)稱(chēng)，受光闌的限制也不對(duì)稱(chēng)，光闌對(duì)光束分布的影響比較復(fù)雜，具有不規(guī)則性．

圖6 不同光闌寬度的光闌失調(diào)透鏡系統(tǒng)中的歸一化光強(qiáng)分布（z1＝50mm）Fig．6 Normalized intensity distribution at z1＝50mm plane in an apertured misaligned lens system at z1＝50mm plane

圖7 橢圓對(duì)稱(chēng)異?？招墓馐诠怅@失調(diào)透鏡系統(tǒng)中的歸一化光強(qiáng)分布（z1＝50mm）Fig．7 Normalized intensity distribution of elliptical symmetric anomalous hollow beam at z1＝50mm plane in an apertured misaligned lens system at z1＝50mm plane

3 結(jié) 論

運(yùn)用光闌函數(shù)的復(fù)高斯展開(kāi)和廣義衍射積分公式，推導(dǎo)出了異?？招墓馐ㄟ^(guò)帶硬邊圓形光闌失調(diào)ABCD光學(xué)系統(tǒng)的近似傳輸公式．作為應(yīng)用的特例，數(shù)值研究了異?？招墓馐ㄟ^(guò)帶圓形光闌失調(diào)薄透鏡系統(tǒng)的傳輸特性．結(jié)果表明，異常空心光束通過(guò)系統(tǒng)后成為一離軸光束，其偏離中心量與傳輸距離、位置和角度偏移量ε和ε′有正相關(guān)，結(jié)果還表明，光闌尺寸對(duì)光束的光強(qiáng)分布及傳輸規(guī)律有明顯影響，并且對(duì)圓對(duì)稱(chēng)和橢圓對(duì)稱(chēng)光束的影響結(jié)果不同．其結(jié)果對(duì)異?？招墓馐膽?yīng)用和光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)有實(shí)際參考價(jià)值．

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