秦 蕊

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

環(huán)R為Boolean-like環(huán),如果R是特征為2的交換環(huán)并且對所有a,b∈R都有ab(1-a)(1-b)=0.早在1946年Foster就將Boolean環(huán)推廣為Boolean-like環(huán)[1],之后Swaminathan對其進(jìn)一步完善[2].而在1951年,Samuel Bourne對Jacobson根有了初步說明[3].

文章將Boolean-like環(huán)擴(kuò)展為J-Boolean like環(huán),即設(shè)J(R)是環(huán)R的Jacobson根,如果對環(huán)R中任意元素a,b都有(a-a2)(b-b2)∈J(R),那么R稱為J-Boolean like環(huán).之后又研究了J-Boolean like環(huán)的性質(zhì)以及與廣義矩陣環(huán)、冪級數(shù)環(huán)和Morita Context環(huán)間的關(guān)系.

文中所有的環(huán)都是有單位元的環(huán)(交換環(huán)或非交換環(huán)),C(R)表示環(huán)R的中心,J(R)、U(R)分別表示環(huán)R的Jacobson根和單位元.

這樣,Ms(R)在R上構(gòu)成一個廣義矩陣環(huán)[4].

定義2設(shè)R是有單位元的環(huán), 若取R中任意元素a,b,都有(a-a2)(b-b2)∈J(R),那么R稱為J-Boolean like環(huán).

證明見參考文獻(xiàn)[5].

定理1在環(huán)R中任取s∈J(R)∩C(R), 則R為J-Boolean like環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Ms(R)為J-Boolean like環(huán).

這里

P=(a-a2-sbc)(a′-a′2-sb′c′)+s(b-ab-bd)(c′-c′a′-d′c′)=

(a-a2)(a′-a′2)-(a-a2)sb′c′-sbc(a′-a′2)+sbcsb′c′+s(b-ab-bd)(c′-c′a′-d′c′),

Q=s(c-ca-dc)(b′-a′b′-b′d′)+(d-d2-scb)(d′-d′2-sc′b′)=

s(c-ca-dc)(b′-a′b′-b′d′)+(d-d2)(d′-d′2)-(d-d2)sc′b′-scb(d′-d′2)+scbsc′b′,

由于R是J-Boolean like環(huán), 可得(a-a2)(a′-a′2)∈J(R),(d-d2)(d′-d′2)∈J(R),而s∈J(R)∩C(R),所以P∈J(R),Q∈J(R).根據(jù)引理1可以得到(A-A2)(B-B2)∈J(Ms(R)),也就是環(huán)Ms(R)是一個J-Boolean like環(huán).

引理2[6]在冪級數(shù)環(huán)R[[x]]中,J(R[[x]])={f(x)∈R[[x]]|f(0)∈J(R)}.

定理2R是J-Boolean like環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)冪級數(shù)環(huán)R[[x1,x2,…,xn]]也是J-Boolean like環(huán).

證明(?)只需證n=1時的情況.在環(huán)S=R[[x]]中任取

f=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…,h=b0+b1x+b2x2+…+bnxn+…,

可以得到

進(jìn)而

(?)任取a,b∈R, 顯然a,b∈R[[x]],進(jìn)而有(a-a2)(b-b2)∈J(R),進(jìn)一步由歸納法可知,R[[x1,x2,…,xn]]是J-Boolean like環(huán).

推論1設(shè)環(huán)R中,(x)是x生成的主理想整環(huán), 則R是J-Boolean like環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)

是J-Boolean like環(huán).

例1設(shè)Z4是一個J-Boolean like環(huán), (x)是x生成的主理想整環(huán), 則M(x)(Z4[[x]])是一個J-Boolean like環(huán).

眾所周知, 廣義矩陣環(huán)是Morita Context環(huán)的特殊形式, 以下來討論Morita Context環(huán)的有關(guān)內(nèi)容及若干與J-Boolean like環(huán)的聯(lián)系.

定義3若(R,S,V,W,ψ，φ)包含了兩個環(huán)R,S,兩個雙模RVS,SWR,和一對雙模同態(tài)ψ:V?SW→R,φ:W?RV→S,滿足條件:

1)ψ是R-雙模,中間S-線性映射.即有

Rψ(v?Sw)=ψ(Rv?Sw),ψ(v?Sw)R=ψ(v?SwR),ψ(vS?Sw)=ψ(v?Sw).

2)φ是S-雙模,中間R-線性映射.即有

Sφ(w?Rv)=φ(Sw?Rv),φ(w?Rv)S=φ(w?RvS),φ(wR?Rv)=φ(w?Rv).

3)ψ(v?Sw)v′=vφ(w?Rv′),φ(w?Rv)w′=wψ(v?Sw′).

作為一個環(huán), 稱為Morita Context環(huán)[7].

引理3在Morita Context環(huán)T=(R,S,M,N,φ,ψ)中,當(dāng)φ=ψ=0時,有

引理4在Morita Context環(huán)T=(R,S,M,N,φ,ψ)中, 當(dāng)φ=ψ=0時, 有

引理5設(shè)e是環(huán)R中的冪等元, 則有eJ(R)e=J(eRe)[8].

引理6設(shè)R是J-Boolean like環(huán),e是環(huán)R中的冪等元, 那么eRe也是一個J-Boolean like環(huán).

證明任取eae∈eRe,ebe∈eRe, 從而eae,ebe∈R, 由于R是J-Boolean like環(huán), 所以有(eae-(eae)2)(ebe-(ebe)2)∈J(R),因此(eae-(eae)2)(ebe-(ebe)2)=e(eae-(eae)2)(ebe-(ebe)2)e∈eJ(R)e,由引理5,(eae-(eae)2)(ebe-(ebe)2)∈J(eRe),所以eRe是J-Boolean like環(huán).

定理3在Morita Context環(huán)T=(R,S,M,N,φ,ψ)中, 如果φ=ψ=0, 那么R,S都是J-Boolean like環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)T也是J-Boolean like環(huán).

因?yàn)镽,S是J-Boolean like環(huán), 所以(a-a2)(c-c2)∈J(R),(b-b2)(d-d2)∈J(S).再由引理3知(A-A2)(B-B2)∈J(T),所以T是J-Boolean like環(huán).

引理7設(shè)R是一個J-Boolean like環(huán), 那么R的任意一個同態(tài)像都是J-Boolean like環(huán).

推論3環(huán)R是J-Boolean like環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R[[x]]/(xn)也是一個J-Boolean like環(huán).

證明(?)由已知,R是J-Boolean like環(huán),根據(jù)定理2有,R[[x]]即是J-Boolean like環(huán),再由引理7得到,R[[x]]/(xn)也是一個J-Boolean like環(huán).

(?) 設(shè)

顯然,σ是定義良好且保持單位元, 下證σ保持加法, 保持乘法.

任取R[[x]]中元素g(x)=b0+b1x+…bnxn+…,則有f(x)+g(x)=(a0+b0)+(a1+b1)x+…(an+bn)xn+…,進(jìn)而

所以σ保持加法.f(x)g(x)=c0+c1x+…cnxn+…,這里ck=akb0+ak-1b1+ak-2b2+…+a0bk,k=0,1,2,…,所以

從而σ保持乘法, 進(jìn)而σ是環(huán)同態(tài), 且為滿同態(tài).根據(jù)環(huán)同構(gòu)定理有R[[x]]/Kerσ?Tn(R).

下證Kerσ=(xn).

Kerσ={f(x)|σ(f(x))=0}={f(x)=a0+a1x+…+anxn+…|σ(f(x))=0}=

{f(x)=a0+a1x+…+anxn+…|a0=a1=…=an-1=0}=

{f(x)=anxn+an+1xn+1+…}={f(x)=xnF(x)}=(xn).

這里F(x)為關(guān)于x的多項(xiàng)式, 所以R[[x]]/(xn)?Tn(R).由于R[[x]]/(xn)是J-Boolean like環(huán), 所以Tn(R)是J-Boolean like環(huán), 再由推論2知,R是J-Boolean like環(huán).

ψ:V?BW→A,ψ(V,W)=VW,φ:W?AV→B,φ(W,V)=WV,

[1] Foster A L.The theory of Boolean-like rings [J].Transactions of the American Mathematical Society, 1946, 59(1):166-187.

[2] Swaminathan V.On Foster’s Boolean-like rings [J].Math Seminar Note, 1980, 8(2):347-367.

[3] Samuel Bourne.The Jacobson radical of a semiring [J].Proc Natl Acad Sci USA, 1951, 37(3):163-170.

[4] Tang G H, Zhou Y Q.Staong cleanness of generalized matrix rings over a local ring [J].Linear Algebra and Its Applications, 2012, 437:2346-2559.

[5] Krylov P A, Tuganbaev A A.Modules over formal matrix rings [J].Math Sci, 2010,171(2):248-295.

[6] Lam T Y.A first course in noncommutative rings, GTM131 [M].2nd ed.New York:Spring-Verlag, 2001:78.

[7] 盧燕驊.關(guān)于Morita Context環(huán)的若干研究 [D].杭州：浙江大學(xué), 2007.

[8] Rowen L H.Ring theory:Vol I[M].New York :Academic Press, 1988:183.