劉遠(yuǎn)模

(成都艾立特螺紋工具有限公司，成都 610512)

0　引言

本文從三針?lè)y(cè)量外螺紋和量球法測(cè)量?jī)?nèi)螺紋時(shí)的空間笛卡爾坐標(biāo)系，阿基米德螺旋面的參數(shù)方程出發(fā)，由測(cè)量接觸點(diǎn)的單位法向量并用向量和關(guān)系求出該點(diǎn)曲線坐標(biāo)和測(cè)量關(guān)系式導(dǎo)出檢驗(yàn)計(jì)算和測(cè)試計(jì)算步驟，提供了用于數(shù)據(jù)驗(yàn)證的計(jì)算程序。

1　外螺紋的三針量法和內(nèi)螺紋的量球測(cè)量法

外螺紋尤其是精密螺紋(如螺紋塞規(guī))單一中徑常用三針量法測(cè)量，如圖1所示。測(cè)量時(shí)圓柱形狀的量針軸線與螺紋軸線處于空間交叉位置，且量針與螺紋兩牙側(cè)曲面(軸向截型為直線的阿基米德螺旋面)分別接觸于一點(diǎn)，求出其曲線坐標(biāo)及相關(guān)的計(jì)算方法。

圖1　用三針跨線測(cè)量外螺紋

圖2　用量球測(cè)量?jī)?nèi)螺紋

內(nèi)螺紋尤其是精密螺紋(如螺紋環(huán)規(guī))單一中徑可用量球法測(cè)量，如圖2所示。測(cè)量時(shí)量球與螺紋兩牙側(cè)曲面分別接觸于一點(diǎn)，求出其曲線坐標(biāo)及相關(guān)的計(jì)算方法。

1.1　空間坐標(biāo)系的建立

在螺紋的一側(cè)槽中放置單根量針，在直徑對(duì)面的兩個(gè)對(duì)稱槽中放置另兩根相同直徑的量針，用適當(dāng)?shù)臏y(cè)力測(cè)量這三根量針之間的跨線距離M，就可計(jì)算所述單根量針?biāo)谖恢玫穆菁y單一中徑。在圖1中，建立笛卡爾空間坐標(biāo)系Oxyz：沿螺紋軸線建立OZ軸，單個(gè)量針的軸線在OZ軸上的投影點(diǎn)O作為坐標(biāo)系原點(diǎn)，兩軸線為空間交叉直線，其距離為A，從點(diǎn)O沿垂直于量針軸線的方向建立OX軸，按右旋系統(tǒng)建立Y軸。顯然，OX軸同時(shí)垂直于上述兩軸線。OX軸與OZ軸的交點(diǎn)為O，與量針軸線的交點(diǎn)為O′，線段OO′=A(=m/2)。

沿OX軸并垂直于量針軸線的平面與量針的截形為直徑ω的圓，在量針和螺紋都為剛體情況下，量針與螺紋的兩螺旋面的接觸點(diǎn)分別為點(diǎn)a和b，他們是量針的圓柱面與螺紋左右牙側(cè)螺旋面的交點(diǎn)，每一個(gè)測(cè)量接觸點(diǎn)都有一個(gè)公切面也就有一條公法線，根據(jù)靜力學(xué)原理，這是交點(diǎn)的支承反力方向。顯然，在XOZ平面中量針截形為橢圓，且不與螺紋截形接觸，盡管螺紋截形為軸向截形。

在圖2中，建立笛卡爾空間坐標(biāo)系Oxyz：沿螺紋軸線建立OZ軸，量球球心為O＇，它在OZ軸上的投影點(diǎn)O作為坐標(biāo)系原點(diǎn)，線段OO′=A(=m/2)，沿OO′方向建立OX軸，按右旋系統(tǒng)建立Y軸。

螺紋的左牙側(cè)角為a1，右牙側(cè)角為a2，導(dǎo)程為L(zhǎng)，螺距為P，線數(shù)為n，顯然L=nP。

在以后式中出現(xiàn)雙號(hào)±或?,上號(hào)用于外螺紋,下號(hào)用于內(nèi)螺紋。

由△cde和△dgf分別得

(1)

(2)

1.2　曲線坐標(biāo)的計(jì)算

右旋左右側(cè)螺旋面表達(dá)式分別為

(3)

(4)

式中，l 為螺旋參數(shù)，l =L/(2p )，它是動(dòng)點(diǎn)繞螺紋軸線轉(zhuǎn)動(dòng)單位弧度沿螺紋軸線所移動(dòng)的距離。當(dāng)l =0時(shí)，式(3)和(4)表示V型圓環(huán)槽的左右側(cè)圓錐面表達(dá)式，這是螺紋曲面在l =0時(shí)的特例。

式(3)、(4)分別是左、右側(cè)螺旋面上動(dòng)點(diǎn)在高斯坐標(biāo)系中的曲線坐標(biāo)(r，θ)、(r1，θ1)與直角坐標(biāo)之間關(guān)系式。對(duì)于坐標(biāo)曲線r和θ，當(dāng)r=常數(shù)時(shí)，坐標(biāo)曲線θ為一條螺旋線；當(dāng)θ=常數(shù)時(shí)，坐標(biāo)曲線r為一條螺紋軸向截形直線。坐標(biāo)曲線r1，θ1情況類似。

左右側(cè)單位法向量N和N1[3]分別為

(5)

式中

(5a)

(6)

式中

(6a)

上述兩式中，i、j和k分別是笛卡爾坐標(biāo)系X、Y和Z軸的單位向量。

1.2.1左側(cè)曲線坐標(biāo)的計(jì)算

由向量和Oa+aO′=OO′可得(xi+yj+zk)+0.5ωN=Ai，于是

(7)

(7a)

(7b)

由式(7a)得

(8)

顯然，由式(8)可知θ為正，這對(duì)于外螺紋是毋庸置疑的，即使對(duì)于內(nèi)螺紋也是對(duì)的，因?yàn)閞>ω/2且T>tana1，所以分母也為正。由式(7b)可得

(9)

1.2.2右側(cè)曲線坐標(biāo)的計(jì)算

由向量和Ob+bO′=OO′可得(x1i+y1j+z1k)+0.5ωN1=Ai，于是

(9a)

(9b)

(9c)

由式(9b)可得

(10)

由式(10)可知，當(dāng)分母為正時(shí)θ1為負(fù)，對(duì)于外螺紋分母當(dāng)然為正，對(duì)于內(nèi)螺紋因?yàn)閞1>ω/2且T1>tana2，所以分母也為正。

式(9a)與(9b)聯(lián)解，即sinθ1×(9a)-cosθ1×(9b)再代入式(9a)得

(11)

由式(9c)和式(1)分別得

(11a)

r01=[r0(tana1+tana2)-

(11b)

1.3　運(yùn)算

1.3.1迭代運(yùn)算的初始化

令l =0，由式(8)和式(10)可知θ=0和θ1=0，這是V型圓環(huán)槽，于是由式(5a)、(6a)、(9)分別得

T=seca1，T1=seca2

r=r01±0.5ωcosa1cota1

(11c)

又由式(7)與(9a)聯(lián)解得

r1=r±0.5ω(sina1-sina2)

(11d)

再由式(11a)、(11b)、(11d)和(7)可得

r02=r1?0.5ωcosa2cota2

(11e)

(11f)

A=r±0.5ωsina1

(11g)

用量針對(duì)V型圓環(huán)槽的三針跨線測(cè)量見(jiàn)圖3，用量球?qū)型圓環(huán)槽的測(cè)量見(jiàn)圖4。用此兩圖不難證明上述式(11c)～(11g)是正確的。這也旁證了螺紋測(cè)量公式的正確性，因?yàn)閂型圓環(huán)槽的三針跨線測(cè)量和量球測(cè)量分別是螺紋三針跨線測(cè)量和螺紋量球測(cè)量的特例。

圖3　V型圓環(huán)槽的三針跨線測(cè)量

圖4　用量球測(cè)量V型圓環(huán)槽

三針跨線測(cè)量計(jì)算可分為兩種：檢驗(yàn)計(jì)算是根據(jù)中徑d2求跨線測(cè)量值M或m；測(cè)試計(jì)算是根據(jù)跨線測(cè)量值M或m求實(shí)測(cè)中徑d2。前者主要用于加工檢驗(yàn)和成批驗(yàn)收檢驗(yàn)，后者主要用于校準(zhǔn)或標(biāo)定檢驗(yàn)。

1.3.2檢驗(yàn)計(jì)算

已知螺紋類型、d2(D2)、a1、a2、n、P、ω按下述順序計(jì)算：

1)初始值計(jì)算：式(2)計(jì)算r0→式(11f)、(11c)、(11d)和(11e)計(jì)算r01、r、r1和r02初始值。

2)迭代計(jì)算：以θ=0作為初始值代入式(9)然后與式(8)迭代→將達(dá)到某一準(zhǔn)確度(例如1×10-7)的r和θ值代入式(7)計(jì)算A→代入式(11)迭代計(jì)算出r1，代入式(10)得θ1值→代入式(11b)計(jì)算r01→再按式(9)與(8)重復(fù)進(jìn)行迭代計(jì)算直到r01達(dá)到某一準(zhǔn)確度為止。

于是此時(shí)兩測(cè)量接觸點(diǎn)(圖中a和b點(diǎn))的曲線坐標(biāo)分別為(r，θ)和(r1，θ1)。所獲得的A值是滿足兩測(cè)量接觸點(diǎn)的量針軸線與螺紋軸線之間距離或量球球心與螺紋軸線之間距離。

三針跨線測(cè)值或量球跨球測(cè)值M為

M=2A±ω

(12)

令l =0，將式(11c)、(11f)和式(2)代入式(11g)并令A(yù)0=A得

再代入式(12)得M0

(12a)

M0=d2±C

(12b)

式中：C為三針測(cè)量常數(shù)，按下式計(jì)算

(12c)

顯然

m=2A

(12d)

(12e)

斜置誤差Δ為

Δ=M-M0=m-m0

(13)

M=M0+Δ=d2+C+Δ

(14)

(14a)

d2=M-Δ-C

(15)

(15a)

檢驗(yàn)計(jì)算由式(12a)和(12)分別求出跨線(球)測(cè)量值M0和M或(12e)和(12d)分別求出量球或跨線中心距m0和m，用式(13)獲得斜置誤差Δ，對(duì)于外螺紋Δ為正值，對(duì)于內(nèi)螺紋Δ為負(fù)值，再由式(14)計(jì)算M或用式(14a)計(jì)算m，實(shí)際測(cè)量時(shí)對(duì)M或m的偏差就是中徑d2的偏差。

1.3.3測(cè)試計(jì)算

測(cè)試計(jì)算由測(cè)得的M或m用下式計(jì)算A

A=(M?ω)/2=m/2

(15b)

類似于式(11)的證明可得

(15c)

測(cè)試計(jì)算步驟：用式(11g)和(11d)分別求出初始值r和r1→用式(15c)迭代求解r，代入式(8)得θ→用式(7b)計(jì)算r01→用式(11)迭代求解r1，代入式(10)得θ1→由式(11a)計(jì)算r02→又用式(1)和(2)計(jì)算中徑d2。斜置誤差用式(12a)或(12e)和(13)計(jì)算。

1.4　討論

1.4.1兩種計(jì)算的關(guān)系

檢驗(yàn)計(jì)算d2→M；測(cè)試計(jì)算M→ d2。正計(jì)算與反計(jì)算的已給值和所求值應(yīng)該是可逆的，理論上應(yīng)該相同，但由于四舍五入誤差，在準(zhǔn)確到小數(shù)后四位時(shí)，有0.0001mm的誤差是可能的。

1.4.2Berndt公式結(jié)果差異原因

由圖1或圖2可知，量針或量球與兩牙側(cè)接觸各有一個(gè)接觸點(diǎn)，于是他們的曲線坐標(biāo)分別為(r，θ)和(r1，θ1)，求出這些曲線坐標(biāo)值就能為正確獲得所需答案提供有效途徑。但是Berndt公式[2]在計(jì)算鋸齒螺紋時(shí)只有一個(gè)輔助角θ，因此這是其計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)差異的原因。

1.4.3對(duì)稱螺紋表達(dá)式

如果a1=a2=a /2，即對(duì)于對(duì)稱螺紋代入上述各式就可得所求。對(duì)于V型圓環(huán)槽即l =0，由式(12c)、(12a)分別得

M0=d2±ω[1+1/sin(a /2)]?0.5Pcot(a /2)

由式(11f)、(1)和(2)可得

由式(11d)和(11c)得

迭代時(shí)初始值用上述r1、r、θ=0和θ1=0，于是迭代后的結(jié)果r1=r，θ和θ1絕對(duì)值相等但符號(hào)相反。因此可一側(cè)迭代計(jì)算獲得結(jié)果。

跨線測(cè)量時(shí)，量針的跨線距離M與量針軸線距離m之間關(guān)系為

m=M-ω=2A；M=m+ω= 2A+ω

Berndt公式是用測(cè)值m計(jì)算實(shí)測(cè)中徑d2。

2　程序簡(jiǎn)介

為了進(jìn)一步理解前面的論述，有必要舉出有代表性的計(jì)算實(shí)例說(shuō)明。應(yīng)用作者所編圖5所示程序可以方便的得出數(shù)據(jù)，其中作者所述方法在此稱為“準(zhǔn)確” 方法，另外兩種方法用人名稱謂，Berndt和蘇宗康公式將另文討論。

圖5

程序“螺紋單一中徑的計(jì)算”

程序見(jiàn)圖5。斜置誤差Δ1按下述公式計(jì)算

Δ1=m-m0

(16)

=M-M0

(17)

=d20-d2

(18)

式(17)一般用于外螺紋跨線測(cè)量，也可用于內(nèi)螺紋，式(16)內(nèi)外螺紋測(cè)量都適用。對(duì)于外螺紋Δ1為正值，對(duì)于內(nèi)螺紋為負(fù)值。測(cè)試計(jì)算可用式(18)計(jì)算，也可用式(16)計(jì)算。

測(cè)力所引起的壓陷誤差Δ2[1]，斜置測(cè)力綜合誤差Δ12按下式計(jì)算

Δ12=Δ1﹢Δ2

修正量k是誤差Δ的反號(hào)值。修正量用于測(cè)試計(jì)算，誤差用于檢驗(yàn)計(jì)算。

程序中有4個(gè)框架：螺紋類型用于選擇內(nèi)或外螺紋；螺紋種類用于選擇公制或英制螺紋，公制螺紋要求輸入螺距，英制螺紋要求輸入牙數(shù)/25.4，但其它長(zhǎng)度尺寸單位仍為mm；計(jì)算類型選擇測(cè)試計(jì)算或檢驗(yàn)計(jì)算；計(jì)算方法三種方法之一，即“準(zhǔn)確”、“Berndt”或“蘇宗康”。下面的用于輸入數(shù)字的文本框，當(dāng)某一文本框輸入后，按“Enter”鍵光標(biāo)跳到下一個(gè)文本框中準(zhǔn)備繼續(xù)輸入，當(dāng)然也可用鼠標(biāo)點(diǎn)擊獲得焦點(diǎn)。當(dāng)光標(biāo)跳到測(cè)力文本框后，如果只了解斜置誤差情況，不必輸入測(cè)力，對(duì)于外螺紋如果計(jì)算方法是“Berndt”或“蘇宗康”之一，輸入測(cè)力值也沒(méi)用，輸入值會(huì)變?yōu)?，對(duì)于內(nèi)螺紋一般測(cè)力較小且是比較測(cè)量所以測(cè)力為0，焦點(diǎn)在測(cè)力文本框中(即光標(biāo)在該框中閃耀)，按Enter鍵焦點(diǎn)進(jìn)入“輸入確認(rèn)”命令按鈕，按Enter鍵焦點(diǎn)進(jìn)入“計(jì)算”按鈕，再按Enter鍵于是在計(jì)算結(jié)果文本框中顯示所需內(nèi)容。

3　結(jié)束語(yǔ)

三針跨線或量球測(cè)量的準(zhǔn)確計(jì)算是根據(jù)量針或量球與牙側(cè)曲面接觸點(diǎn)的高斯坐標(biāo)系中曲線坐標(biāo)與笛卡爾空間坐標(biāo)系之間關(guān)系，應(yīng)用該點(diǎn)接觸相切獲得單位公法線向量并應(yīng)用向量和的簡(jiǎn)單關(guān)系，求解曲線坐標(biāo)，進(jìn)而求出所需關(guān)系式得出檢驗(yàn)計(jì)算或測(cè)試計(jì)算所需答案。

本文推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單，所得公式是通式，適用于鋸齒螺紋和對(duì)稱螺紋，螺旋升角很大的多頭螺紋和很小的單頭螺紋，也適用于用V型圓環(huán)槽推導(dǎo)的測(cè)量[4]。給出程序便于應(yīng)用。

計(jì)算示例及其相應(yīng)的結(jié)論將另文詳述，該文還將詳細(xì)討論Berndt公式和蘇宗康公式。

作者給出了“螺紋單一中徑的計(jì)算”程序，方便讀者應(yīng)用。該軟件可向電子郵箱yuanmoliu@163.com免費(fèi)索取。

[1]劉遠(yuǎn)模.三針測(cè)量螺紋的測(cè)力壓陷計(jì)算公式的推導(dǎo).機(jī)械工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)化與質(zhì)量.2011(4):27-31

[2]EA Guidelines on the Determination of Pitch Diameter of Parallel Thread Gauges by Mechanical Probing EA-10/10，P10，P20

[3]數(shù)學(xué)手冊(cè)編寫組.數(shù)學(xué)手冊(cè).北京:人民教育出版社，1979:415-416

[4]劉遠(yuǎn)模.鋸齒螺紋的三針測(cè)量.計(jì)量技術(shù)雜志，2011(11)