顧培英,鄧 昌,湯 雷

(1.南京水利科學(xué)研究院材料結(jié)構(gòu)研究所,江蘇 南京 210029; 2.水利部水科學(xué)與水工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇 南京 210029)

目前,許多混凝土結(jié)構(gòu)承擔(dān)著生命線工程的重任,其失事所造成的直接、間接經(jīng)濟(jì)損失不可估量。我國(guó)很多混凝土結(jié)構(gòu)已進(jìn)入中老年期,往往存在各種損傷與病害。此外,若混凝土結(jié)構(gòu)遭受地震及其他意外事故,局部破壞在所難免,那么局部破壞對(duì)整體安全性的影響以及是否會(huì)導(dǎo)致整體倒塌等破壞是目前還無(wú)法準(zhǔn)確回答的問(wèn)題，所以有必要開(kāi)展水工混凝土結(jié)構(gòu)整體安全性研究。

混凝土結(jié)構(gòu)損傷狀況一般是通過(guò)外觀破損調(diào)查,并借助于多種無(wú)損或局部有損專(zhuān)項(xiàng)檢測(cè)技術(shù)來(lái)獲得,但從某種意義上講僅依據(jù)局部檢測(cè)結(jié)果還難以真正達(dá)到整體安全性評(píng)價(jià)的目的。顧培英等[1]提出了一種基于重整化群理論的混凝土結(jié)構(gòu)整體安全性評(píng)價(jià)新方法。重整化群方法是美國(guó)威爾遜在量子場(chǎng)理論中提出來(lái)的,他把量子場(chǎng)論中的重整化群方法應(yīng)用于臨界現(xiàn)象研究,提出重整化群在不動(dòng)點(diǎn)附近的性質(zhì)決定了體系的臨界行為,建立了相變臨界現(xiàn)象理論,這是臨界現(xiàn)象研究領(lǐng)域的重大突破,1982年威爾遜也因此獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)[2-4]。相變基本特點(diǎn)是系統(tǒng)變量連續(xù)變化會(huì)造成系統(tǒng)宏觀參數(shù)的不連續(xù)變化(突變)。重整化群方法可處理各種相變和臨界點(diǎn)問(wèn)題,其利用了標(biāo)度不變性,先在最小標(biāo)度上研究較為簡(jiǎn)單的相互作用系統(tǒng),然后將問(wèn)題重整化,進(jìn)一步在大的標(biāo)度下利用同樣系統(tǒng)研究大的相互作用系統(tǒng),過(guò)程不斷重復(fù)[5]。重整化群方法主要有3個(gè)方面的應(yīng)用:①多孔介質(zhì)中的滲流;②巖石破碎;③斷層破裂。

重整化群方法成功地解釋了各種相變和臨界點(diǎn)問(wèn)題,得到尺度越來(lái)越大情況下的原胞破壞概率遞推公式,建立的是局部與整體的關(guān)系,該方法已在巖石破碎和斷層破裂等方面得到應(yīng)用[6-16]。由于混凝土與巖石均屬脆性材料,性能較為相似,所以可以將重整化群方法“嫁接”到混凝土結(jié)構(gòu)。顧培英等[17]建立了基于小單元、大單元試驗(yàn)結(jié)果的混凝土局部損傷概率確定方法,并針對(duì)數(shù)值仿真成果,提出混凝土局部損傷概率服從二參數(shù)的Weibull分布。顧培英等[1]還針對(duì)正方體的水工混凝土結(jié)構(gòu),建立了不等局部損傷概率與整體安全性之間的關(guān)系,但一般水工混凝土結(jié)構(gòu)不具備正方體的條件,經(jīng)常包含斜面或曲面,需分別對(duì)結(jié)構(gòu)體和單元體進(jìn)行處理,建立符合實(shí)際水工混凝土結(jié)構(gòu)的整體破壞概率數(shù)學(xué)模型。

重整化群方法處理大體積塊體結(jié)構(gòu)具有優(yōu)越性,適宜應(yīng)用于重力壩的整體安全性評(píng)價(jià)。重力壩基本剖面呈三角形,為適應(yīng)地基變形、溫度變化和混凝土的澆筑能力,用橫縫將壩體分隔成若干個(gè)獨(dú)立工作壩段?？蓪⒚總€(gè)壩段作為一個(gè)整體加以分析,壩段呈三棱柱體結(jié)構(gòu),所以需推導(dǎo)三棱柱單元的混凝土結(jié)構(gòu)整體破壞概率,其他斜面或曲面結(jié)構(gòu)可通過(guò)等效、補(bǔ)償處理,綜合利用三棱柱單元和正方體單元數(shù)學(xué)模型得到整體破壞概率。本文在基于正方體單元巖石破碎概率模型的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)基于三棱柱單元的結(jié)構(gòu)整體破壞概率模型,得到導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體破壞的單元破壞概率臨界值,并對(duì)實(shí)際工程的原胞級(jí)數(shù)取值進(jìn)行分析。

1 正方體單元巖石破碎概率模型

根據(jù)文獻(xiàn)[1,5],正方體單元巖石破碎情況如圖1所示。圖1中破碎單元用正方體角上的黑點(diǎn)表示,a、b、c、d、e、f分別為某破碎單元數(shù)不變情況下的不同組合形式,數(shù)字為破碎單元個(gè)數(shù),括號(hào)內(nèi)的數(shù)字表示出現(xiàn)該破碎情況的次數(shù)。圖1(n)(q)(s)(t)(u)(v)是6種巖石整體破碎情況。

圖1所示的模型假定8個(gè)單元的破碎概率相等,用p0表示,分別得出6種情況下各自的破碎概率，并求和， 6種巖石破碎情況下1級(jí)原胞破碎概率p1與1級(jí)單元破損概率p0之間存在以下關(guān)系[1,5]:

(1)

重整化后,可以將同樣的方法應(yīng)用于更高級(jí)原胞,將式(1)中的下標(biāo)1、0替換成n+1、n,有

(2)

如果1級(jí)原胞特征長(zhǎng)度為2h,則第n級(jí)原胞的特征長(zhǎng)度為2nh。

圖1 正方體單元巖石破碎情況示意圖

2 三棱柱單元混凝土整體破壞概率模型

2.1 公式推導(dǎo)

圖2為三棱柱單元混凝土3級(jí)原胞三維模型示意圖。與正方體單元巖石破碎假設(shè)類(lèi)似[1,5],原胞中每個(gè)單元要么破碎,要么完整,如果原胞兩面之間有一不破壞的“支柱”相連,則認(rèn)為原胞是完整的。此模型也是8個(gè)單元組成1級(jí)原胞，每個(gè)原胞破壞狀況也有256種情況,去掉重復(fù)情況,從拓?fù)鋵W(xué)角度共有36種不同情況,三棱柱單元混凝土破壞情況如圖3所示(編號(hào)含義同圖2)。圖3(F)(H)(I)(J)是4種原胞破壞情況。圖4為6c6和6d6三棱柱單元混凝土原胞示意圖,圖4中空白部分表示破壞單元,陰影部分表示完整單元。6c6具有用陰影部分表示的非破壞“支柱”,因而認(rèn)為是完整的,而6d6任兩個(gè)面之間沒(méi)有由完整單元組成的“支柱”支撐,是一個(gè)破壞原胞。

圖2 三棱柱單元混凝土3級(jí)原胞三維模型示意圖

圖3 三棱柱單元混凝土破壞情況示意圖

圖4 6c6和6d6三棱柱單元混凝土原胞示意圖

(3)

重整化后,可以將同樣的方法應(yīng)用于更高級(jí)數(shù),將式(3)中的下標(biāo)1、0替換成n+1、n,有

(4)

2.2 不動(dòng)點(diǎn)分析

圖5為基于三棱柱單元混凝土整體破壞概率模型pn+1與pn的關(guān)系曲線。為了研究不動(dòng)點(diǎn),將式(4)改寫(xiě)成

f(x)=x6(5x2-16x+12)

(5)

圖5 基于三棱柱單元混凝土整體破壞概率模型pn+1與pn的關(guān)系曲線

令f(x)=x,可得到不動(dòng)點(diǎn)。在0

為說(shuō)明式(4)的迭代過(guò)程,考慮一特定情況：當(dāng)p0=0.70時(shí),由圖5可得p1=0.382 4、p2=0.020 7、p3=9.18×10-10,p3接近零,當(dāng)?shù)^續(xù)下去時(shí),p∞=0,因此,p0=0.70時(shí)不會(huì)發(fā)生整體破壞。當(dāng)p0=0.95時(shí),p1=0.964 8、p2=0.981 9、p3=0.995 0,p3→1。p*=0.924是一個(gè)臨界點(diǎn),它對(duì)應(yīng)于混凝土發(fā)生突變式的破壞。所以,對(duì)于小于臨界值的概率,即0

3 原胞級(jí)數(shù)取值討論

若最大級(jí)原胞對(duì)應(yīng)于某一有限的三棱柱混凝土結(jié)構(gòu)體,每個(gè)單元破壞概率相等且已知,則可通過(guò)式(4)遞推得到該結(jié)構(gòu)整體破壞概率。理論上講,原胞級(jí)數(shù)趨于無(wú)窮大,即1級(jí)單元尺度遠(yuǎn)小于最大級(jí)原胞尺度時(shí),若單元破壞概率不是臨界值p*,則整體破壞概率只有0、1兩種可能,即要么破壞、要么完整。但在實(shí)際工程應(yīng)用中,原胞級(jí)數(shù)不可能取很大,下面對(duì)迭代次數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步的分析。表1為三棱柱單元混凝土結(jié)構(gòu)前5次迭代整體破壞概率計(jì)算結(jié)果。

表1 三棱柱單元混凝土結(jié)構(gòu)前5次迭代整體破壞概率計(jì)算結(jié)果

由表1可知,當(dāng)單元破壞概率p0≤0.70時(shí),2次迭代后p2→0;當(dāng)p0=0.80時(shí),3次迭代后p3→0;當(dāng)p0=0.90時(shí),3次迭代后p3=0.694 4,5次迭代后p5→0。所以,大多數(shù)情況下,只需3次迭代即可獲得趨于零的整體破壞概率,這時(shí)結(jié)構(gòu)完整,隨著p0的增大,收斂速度有所降低;若p0接近于臨界值p*時(shí),3次迭代后p3仍較大,利用收斂速度可判斷接近臨界值的程度。因此,原胞級(jí)數(shù)即迭代次數(shù)取3即可滿(mǎn)足實(shí)際工程需要。此外,若迭代后整體破壞概率增大或等于1,則混凝土整體發(fā)生破壞。

4 結(jié) 語(yǔ)

傳統(tǒng)重整化群方法只能處理正方體巖石破碎問(wèn)題,但一般水工混凝土結(jié)構(gòu)不具備正方體條件,本文提出并建立了基于重整化群方法的三棱柱單元混凝土結(jié)構(gòu)整體破壞概率模型。通過(guò)不動(dòng)點(diǎn)計(jì)算分析,得到導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體破壞的單元破壞概率臨界值。

迭代計(jì)算結(jié)果表明,大多數(shù)情況下,只需3次迭代即可獲得趨于零的整體破壞概率,這說(shuō)明雖然存在局部破壞,但結(jié)構(gòu)整體是安全的。隨著單元破壞概率的增大,整體破壞概率收斂速度有所降低。若3次迭代后整體破壞概率仍較大,則說(shuō)明單元破壞概率接近臨界值。若迭代后整體破壞概率增大或等于1,則混凝土整體發(fā)生破壞。因此,原胞級(jí)數(shù)即迭代次數(shù)取3可滿(mǎn)足實(shí)際工程需要。

本文所提出的概率模型適用于重力壩,在確定外載作用下,其局部破壞相應(yīng)確定,建立了局部破壞概率與整體安全性之間的關(guān)系,此模型可從定量的角度評(píng)價(jià)混凝土重力壩的整體安全性；其他斜面或曲面結(jié)構(gòu)可通過(guò)等效、補(bǔ)償處理,綜合利用三棱柱單元、正方體單元概率模型獲得結(jié)構(gòu)整體破壞概率。值得一提的是,本文模型是基于等概率三棱柱單元,仍有一些問(wèn)題有待完善,不等概率三棱柱單元的數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)及其分析成果將另文發(fā)表,下一步還將研究外力及其他環(huán)境因素對(duì)結(jié)構(gòu)整體破壞概率的影響規(guī)律。

參考文獻(xiàn)：

[1] 顧培英,鄧昌,湯雷.基于重整化群的水工混凝土結(jié)構(gòu)整體破壞概率研究[J].水利水運(yùn)工程學(xué)報(bào),2010(4):1-5.(GU Peiying,DENG Chang,TANG Lei.Damaged probability of concrete for hydraulic structure based on renormalization group theory[J].Hydro-Science and Engineering,2010(4):1-5.(in Chinese)

[2] 于淥,郝柏林.相變和臨界現(xiàn)象[M].北京:科學(xué)出版社,1984.

[3] 陳顒,陳凌.分形幾何學(xué)[M].北京:地震出版社,2005.

[4] 閻貴卿,閻毅.近代數(shù)學(xué)物理理論計(jì)算與可視化技術(shù)[M].長(zhǎng)沙:國(guó)防科技大學(xué)出版社,2000.

[5] TURCOTTE D L.分形與混沌：在地質(zhì)學(xué)和地球物理學(xué)中的應(yīng)用[M].陳顒,鄭捷,季穎,譯.北京:地震出版社,1993.

[6] SAMMIS C G.Non-linear fracture mechanics model for spallation and coupling of nuclear explosions detonated in hard rock[R].Los Angeles:University of Southern California,1998.

[7] LEI Xinglin,NISHIZAWA O,MOURA A,et al.Hierarchical fracture process in brittle rocks by means of high-speed monitoring of ae hypocenter[J].Journal of Acoustic Emission,2005,23:102-122.

[8] CHIAIA B,BORRIBRUNETTO M.Multiscale modelling of stick-slip transition of rough (fractal) surfaces[C]//5th International Conference on Processing & Manufacturing of Advanced Materials.Vancouver,Canada:Materials Science Forum,2007:2594-2600.

[9] BORRIBRUNETTO M,CARPINTERI A,CHIAIA B.The effect of scale and criticality in rock slope stability[J].Rock Mechanics and Rock Engineering,2004,37(2):117-126.

[10] DAVID W F,SCOTT R P.Contamination of silicic magmas and fractal fragmentation of xenoliths in Paleocene plutons on Kodiak Island,Alaska[J].The Canadian Mineralogist,2007,45(1):107-129.

[11] WANG Lianguo,WU Yu,MIAO Xiexing,et al.Mechanism of water-inrush from fault induced by mining near the working face[J].Journal of Coal Science & Engineering (China),2007,13(4):393-395.

[12] SAHIMI M,REZA R T M,BAHRAMINASAB A,et al.Propagation and localization of acoustic and elastic waves in heterogeneous materials:renormalization group analysis and numerical simulations[J].Acta Mechanica,2009,205(1):197-222.

[13] BAHRAMINASAB A,MEHDI V A S,SHAHBAZI F,et al.Renormalization group analysis and numerical simulation of propagation and localization of acoustic waves in heterogeneous media[J].Physical Review B:Condensed Matter and Materials Physics,2007,75(6):1-13.

[14] 高召寧,姚令侃,徐光興.巖石破壞過(guò)程的自組織特征與臨界條件研究[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào):工程科學(xué)版,2009,41(2):91-95.(GAO Zhaoning,YAO Lingkan,XU Guangxin.Study on self-organized characteristics and criticality condition in the course of rock failure[J].Journal of Sichuan University:Engineering Science edition,2009,41(2):91-95.(in Chinese)

[15] 吳國(guó)雄,丁王飛,張洋,等.瀝青混凝土路面開(kāi)裂破壞的滲流模型分析[J].重慶交通大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,28(6):1016-1020.(WU Guoxiong,DING Wangfei,ZHANG Yang,et al.Percolation model of asphalt concrete pavement crack damage[J].Journal of Chongqing Jiaotong University:Natural Science,2009,28(6):1016-1020.(in Chinese)

[17] GU Peiying,DENG Chang,TANG Lei.Determination of local damage probability in concrete structure[C]//2012 International Conference on Modern Hydraulic Engineering.Nanjing,China:China Association of Hydraulic Engineering Education,2012:489-493.