，

(石家莊鐵道大學(xué) 數(shù)理系，河北 石家莊 050043)

0 引言

在實(shí)際生活和工程當(dāng)中，有很多系統(tǒng)是兩部件交替運(yùn)行的冷貯備系統(tǒng)。比如在水廠用的抽水泵、醫(yī)院用的氧氣泵、還有癱瘓病人用的褥瘡氣墊、高層建筑當(dāng)中使用的二次加壓設(shè)備等，都是由兩個(gè)或者兩個(gè)以上的氣泵等設(shè)備組成的交替使用的冷貯備系統(tǒng)。這些泵和設(shè)備每過一段固定的時(shí)間就做一次輪換，其目的就是為了提高系統(tǒng)的可靠性，由于部件的長期運(yùn)行過程當(dāng)中會(huì)產(chǎn)生一定的熱量，而某些部件的失效率會(huì)逐漸隨著溫度的升高而逐漸增加，所以讓部件輪流的休息散熱和休息期間對(duì)部件進(jìn)行適當(dāng)維護(hù)可以有效的降低部件的失效率，從而達(dá)到提高系統(tǒng)可靠性的目的。然而在以往的研究當(dāng)中，對(duì)于冷貯備系統(tǒng)的研究僅限于當(dāng)一個(gè)部件損壞時(shí)，另一個(gè)部件才開始工作的情況，如文獻(xiàn)[1-6],針對(duì)兩個(gè)部件交替運(yùn)行的冷貯備可修系統(tǒng)國內(nèi)在數(shù)學(xué)層面的研究甚少，大部分的文獻(xiàn)如[7-9]都是在技術(shù)層面，或者是在經(jīng)驗(yàn)方面來研究該系統(tǒng)的，沒有用一個(gè)確切的量化的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究。

本文對(duì)實(shí)際生活當(dāng)中的兩部件交替運(yùn)行的冷貯備系統(tǒng)加以簡化，建立可靠性模型，運(yùn)用馬爾科夫更新過程方法求出該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可靠性指標(biāo)。

1 模型假設(shè)

圖1 系統(tǒng)可靠性框圖

系統(tǒng)為兩個(gè)部件組成的冷貯備系統(tǒng)，兩部件壽命互相獨(dú)立，系統(tǒng)的可靠性框圖如圖1所示。

1.1 系統(tǒng)假設(shè)

假設(shè)1 系統(tǒng)由兩個(gè)同型部件和一個(gè)修理工組成。

假設(shè)2 系統(tǒng)在初始時(shí)刻兩部件都是新的，一個(gè)部件先開始工作，另一個(gè)部件冷貯備，修理工空閑，當(dāng)一個(gè)部件工作時(shí)間達(dá)到T時(shí)，另一個(gè)部件開始工作，原先工作部件開始進(jìn)行維護(hù)，然后冷貯備，依次交替運(yùn)行，當(dāng)某一部件工作時(shí)間未達(dá)到T進(jìn)入維修時(shí)，另一個(gè)工作部件工作，且不再計(jì)時(shí)直至有一部件修好，此時(shí)修好的部件開始運(yùn)行，另一部件進(jìn)行維護(hù)，然后冷貯備。

假設(shè)3 部件修復(fù)如新，部件維護(hù)也如新且維護(hù)時(shí)間忽略不計(jì)，開關(guān)轉(zhuǎn)換是可靠的且轉(zhuǎn)換時(shí)間忽略不計(jì)。

假設(shè)4 部件維修時(shí)間服從均值為μ，分布函數(shù)為G(t)，密度函數(shù)為g(t)的一般分布，部件的壽命服從均值為λ，分布函數(shù)為F(t)，密度函數(shù)為f(t)的一般分布。

1.2 系統(tǒng)狀態(tài)假設(shè)

定義狀態(tài)空間E={0,1},其中

狀態(tài)0 系統(tǒng)一個(gè)部件剛開始運(yùn)行，另一個(gè)部件冷貯備為進(jìn)入0狀態(tài)的時(shí)間。

狀態(tài)1 系統(tǒng)中一個(gè)部件剛開始運(yùn)行，另一個(gè)部件剛開始維修為進(jìn)入1狀態(tài)的時(shí)間。

狀態(tài)2 系統(tǒng)中一個(gè)部件正在維修，另一個(gè)部件剛剛損壞為進(jìn)入狀態(tài)2的時(shí)間。

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

其中進(jìn)入狀態(tài)2的時(shí)刻不是更新點(diǎn)，狀態(tài)2是一個(gè)虛設(shè)狀態(tài)。系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖2所示。

2 系統(tǒng)變量假設(shè)與模型分析

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

對(duì)式(1)至式(5)取L-S變換得

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

3 系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)

3.1 系統(tǒng)的首次故障時(shí)間

令Φi(t)=P{系統(tǒng)首次故障時(shí)間≤t|時(shí)刻0系統(tǒng)進(jìn)入i狀態(tài)}，其中i=0,1。則由系統(tǒng)轉(zhuǎn)移圖可知Φi(t)滿足下列更新方程組

(11)

對(duì)上述方程兩端做L-S變換得

(12)

解得

(13)

(14)

3.2 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度

令A(yù)i(t)=P{時(shí)刻t系統(tǒng)處于工作狀態(tài)|時(shí)刻0系統(tǒng)進(jìn)入狀態(tài)i},其中i=0,1。則Ai(t)滿足下列更新方程組

(15)

對(duì)上述方程做L變換得

(16)

解得

(17)

由馬爾可夫更新過程極限定理以及L-S變換的托貝爾定理和洛必達(dá)法則可得系統(tǒng)的平均穩(wěn)態(tài)可用度為

(18)

3.3 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)平均故障頻度

令N(t)表示系統(tǒng)(0,t]時(shí)間內(nèi)的故障次數(shù)，Mi(t)=E{N(t)|時(shí)刻0系統(tǒng)進(jìn)入i狀態(tài)},其中i=0,1。則Mi(t)滿足下面馬爾科夫更新方程組

(19)

將上述方程做L-S變換得

(20)

解得

(21)

由托貝爾定理以及洛必達(dá)法則，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)故障頻度為

(22)

4 數(shù)值實(shí)例與分析

如果系統(tǒng)的各種參數(shù)為常數(shù)，部件交替時(shí)間間隔為 則易得到系統(tǒng)的首次故障時(shí)間、穩(wěn)態(tài)可用度、穩(wěn)態(tài)故障頻度分別為I0(T),A(T),M(T),顯然為T的一元函數(shù)。

假設(shè)系統(tǒng)中兩部件的壽命均服從威布爾分布W(2,1,t)，分布函數(shù)為F(t)=1-e-t2，密度函數(shù)為f(t)=2te-t2；系統(tǒng)部件維修時(shí)間分布也服從威布爾分布W(4,1,t)，分布函數(shù)為F(t)=1-e-t4，密度函數(shù)為f(t)=4t3e-t4。

圖3 系統(tǒng)故障前平均時(shí)間

將以上參數(shù)帶入所求得的穩(wěn)態(tài)可靠性指標(biāo)表達(dá)式(式(14)、式(18)、式(22))，利用matlab工具進(jìn)行計(jì)算，分別得到各個(gè)可靠性指標(biāo)關(guān)于部件交替時(shí)間間隔 的函數(shù)圖像,如圖3所示。

由系統(tǒng)故障前平均時(shí)間的函數(shù)圖像可知，系統(tǒng)故障前平均時(shí)間是隨著部件交替運(yùn)行時(shí)間間隔的增加而減小，這一點(diǎn)也是與實(shí)際相符的，因?yàn)殡S著運(yùn)行間隔時(shí)間的增加會(huì)造成單個(gè)部件運(yùn)行時(shí)間過長，從而導(dǎo)致失效率升高，進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)故障前平均時(shí)間下降，但是由圖像可以看出當(dāng)T無限增大時(shí)系統(tǒng)故障前平均時(shí)間趨于穩(wěn)定，這是由于當(dāng)T→∞時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)兩部件不在做有時(shí)間限制的交替運(yùn)行，而是直到一個(gè)部件故障時(shí)，另一個(gè)貯備部件才開始運(yùn)行，這與一般的冷貯備系統(tǒng)還有一定的區(qū)別，就是當(dāng)一個(gè)部件修好時(shí)不是直接進(jìn)入冷貯備而是接替正在運(yùn)行的部件繼續(xù)運(yùn)行，被替換下來的部件進(jìn)行維護(hù)。此時(shí)系統(tǒng)與T不在有任何關(guān)系，所以造成系統(tǒng)故障前平均時(shí)間趨于穩(wěn)定。

圖4、圖5分別是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度的圖像。

從圖4看系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度隨著部件交替運(yùn)行時(shí)間的增大而減小，最終趨于穩(wěn)定，原因與圖3情況相似。

圖4 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度 圖5 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度

由圖5可知系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)故障頻度是隨著部件交替運(yùn)行時(shí)間的增大而增大的，原因與圖4情況相似。

下面通過具體的數(shù)學(xué)計(jì)算來求出當(dāng)T→∞時(shí)系統(tǒng)各個(gè)穩(wěn)態(tài)可靠性指標(biāo)趨于穩(wěn)定的數(shù)值。由式(14)、式(18)、式(22)，當(dāng)T→∞時(shí)變?yōu)?/p>

(23)

(24)

(25)

通過利用matlab工具進(jìn)行數(shù)值計(jì)算可知,當(dāng)T→∞時(shí)，系統(tǒng)各個(gè)穩(wěn)態(tài)可靠性指標(biāo)的穩(wěn)定值為：I0(∞)=6.941 0,A(∞)=0.830 3，M(∞)=0.416 8，此數(shù)值與圖像吻合，并且從(23)至(25)式中不難看出,當(dāng)T→∞時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可靠性指標(biāo)與T無關(guān)，所以才從數(shù)值上趨于穩(wěn)定。

5 結(jié)語

得到了系統(tǒng)的首次平均故障時(shí)間、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)故障頻度。通過理論推導(dǎo)與數(shù)值實(shí)例分析，畫出圖像驗(yàn)證了當(dāng)T→∞時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可靠性指標(biāo)是趨于穩(wěn)定的，并求出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可靠性指標(biāo)的穩(wěn)定值。為在技術(shù)層面改進(jìn)該系統(tǒng)的可靠性提供了一定的指導(dǎo)方向，對(duì)該模型在實(shí)際當(dāng)中的應(yīng)用提供了理論上的幫助，并且可以通過以上方法對(duì)該模型在不同參數(shù)下進(jìn)行可靠性分析。

參 考 文 獻(xiàn)

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