黎安偉，王德彬，劉云峰，董景新

(清華大學精密儀器與機械學系，精密測試技術及儀器國家重點實驗室，北京　100084)

0　引言

隨鉆測量技術(Measurement while drilling，MWD)是指在鉆進的同時實現(xiàn)各種參數(shù)(工程參數(shù)、地質參數(shù)及其他參數(shù))連續(xù)實時測量的技術，其測量的工程參數(shù)主要為井斜、方位和工具面角，即隨鉆定向測量[1-2]。井眼軌跡參數(shù)(井斜、方位)和工具面向(工具面角)準確實時測量是實現(xiàn)定向鉆井施工的基礎。

目前，基于三軸磁通門和三軸加速度計的隨鉆定向測量儀是主流的定向測量儀器，其根據(jù)三軸磁通門和三軸加速度計的輸出可以解算出當前的方位、井斜和工具面角[3]。但利用現(xiàn)有的解算方法，定向測量只能在非旋轉工況下進行，否則，由于離心加速度(轉速不恒定)和振動的影響，測量得到的井斜角和高邊工具面角的誤差非常大[4]，解算出的方位角精度就更差。針對旋轉工況，在現(xiàn)有的方位計算方法的基礎上，推導新的方位角計算公式，并對其進行精度分析以及仿真驗證。

1　方位角測量基本原理

如圖1所示，現(xiàn)有方位的計算方法是利用高邊工具面角θg和井斜角α，將三軸磁分量(Hx、Hy、Hz)向V2方向和V1方向分解，然后通過反正切函數(shù)求得磁方位角。

圖1　方位角計算示意圖

具體求解方程為[5-6]：

Hv1=Hzsinα+(Hxsinθg+Hycosθg)cosα

Hv2=Hxcosθg-Hysinθg

(1)

求解公式為：

在旋轉工況下(設鉆具以2 r/s的速度轉動)，若用式(1)進行方位角解算，則使用的高邊工具面角(即gx、gy)和Hx、Hy，就必須是同一時刻的，這樣，就無法對加速度計信號(gx、gy)和磁通門信號(Hx、Hy)進行濾波處理。若選用高帶寬高精度的磁通門傳感器，則在旋轉工況下一次測量的磁通門信號也較精確；但由于振動和離心加速度的存在，一次測量的加速度信號(gx、gy)誤差非常大，導致高邊工具面角測不準，使用以上公式計算所得的方位角就非常不準，所以必須探索新的方位角計算方法。

1．1迭代法

由于磁通門受振動和旋轉影響較小，一次測量所得的磁工具面角較準確，故可先根據(jù)磁工具面角推出高邊工具面角，再利用式(1)計算方位角。

在井斜角α和方位角β確定的情況下，設總磁場為M，磁傾角為θ，則可推導磁工具面角MTF和高邊工具面角GTF間關系。如圖2所示，GTF與MTF的差值即為高邊與磁北的夾角，兩者只與方位和井斜有關，與鉆具轉動角度無關。

圖2　GTF和MTF示意圖

所以，計算兩者差值GM時，可以設GTF=0°，則：

Hx=Mcosθsinβ，Hy=Mcosθcosβcosα-Msinθsinα

此時，磁工具面角為

(2)

迭代法的基本計算原理是：先合理假設1個方位角，然后根據(jù)測得的井斜角，利用式(2)，計算出GTF和MTF的差值，然后，通過一次測量所得的磁工具面角MTF，算出高邊工具面角，然后利用式(1)算出方位角，再將計算所得方位角帶入循環(huán)計算，直至收斂到一定的誤差范圍內，流程圖如圖3所示。

圖3　迭代法流程圖

1．2三角法

如圖4所示，總磁場M在水平面上的投影為磁北方向，鉆具軸線在水平面上的投影為井底方位線，兩者之間的夾角即為方位角β.圖中，α為井斜角，θ為磁傾角，β1為z軸與M間夾角。

圖4　三角法示意圖

設OB=OA=a，則：

AB2=OA2+OB2-2×OA×OBcosβ1=2a2-2a2cosβ1

AA′=acosα，BB′=asinθ

所以：

A′B′2=AB2-(acosα-asinθ)2

=2a2-2α2cosβ1-a2cos2α-a2sin2θ+2a2cosαsinθ

(3)

OA′=asinα，OB′=acosθ

三角形OA′B′中，有：

A′B′2=OA′2+OB′2-2×OA′×OB′cosβ

=a2sin2α+a2cos2θ-2a2sinαcosθcosβ

結合式(3)有：

(4)

式(4)即為求解方位角的三角法公式，利用此公式，就可以在不需要獲得高邊工具面的情況下，測得方位角。

2　方位角測量精度分析

假設三軸磁通門傳感器的測量精度為50 nT(1σ)，加速度計的測量精度為1 mg(1σ)，分別分析3種計算方法的方位角測量精度。

2．1靜態(tài)測量方位角精度分析

在非旋轉工況下，一般使用式(1)進行方位角計算，現(xiàn)對其進行測量精度分析。

由式(1)可以得：

(5)

式中：M為總磁場；θ為磁傾角。

而：

δHv1=sinθgcosαδΗx+cosθgcosαδΗy+sinαδΗz+

(Hxcosθgcosα-Hysinθgcosα)δθg+

(Hzcosα-Hxsinθgsinθ-Hycosθgsinα)δα

δΗv2=cosθgδHx-sinθgδHy-(Hxsinθg+Hycosθg)δθg

帶入式(5)，可得：

(Hv1sinθg+Hv2cosθgcosα)δΗy-

Hv2sinαδΗz-[Hv1(Hxsinθg+Hycosθg)+

Hv2(Hxcosθgcosα-Hysinθgcosα)]δθg-

Hv2(Hzcosα-Hxsinθgsinα-Hycosθgsinα)δα}

(6)

故有：

(Hv1sinθg+Hv2cosθgcosα)2Var(Hy)+

(Hv2sinα)2Var(Hz)+[Hv1(Hxsinθg+Hycosθg)+

Hv2(Hxcosθgcosα-Hysinθgcosα)]2Var(θg)+

[Hv2(Hxcosα-Hxsinθgsinα-Hycosθgsinα)]2Var(α)}

(7)

由式(7)可知，方位角測量精度由三軸磁通門傳感器測量精度、高邊工具面角測量精度及井斜角測量精度決定。靜態(tài)測量時，高邊工具面角和井斜角按如下公式求得：

假設三軸上的加速度計精度相同，即：

Var(gx)=Var(gy)=Var(gz)=Var(g)

則有：

(8)

將式(8)帶入式(7)，再將磁通門傳感器的測量精度帶入，通過數(shù)值計算，可得到靜態(tài)測量方位角的精度(1σ)，如圖5所示。

圖5　靜態(tài)測量方位角精度

由圖5可知，方位角測量精度小于0.6°(α≥5°)，且隨著井斜角遠離0°和180°，方位角測量精度變好。

2．2迭代法收斂性及測量方位角精度分析

迭代法是先根據(jù)假設的方位角和測得的井斜角，算出高邊工具面角GTF和磁工具面角MTF的差值，再通過測得的磁工具面角反算出高邊工具面角。具體如下：

(9)

GTF=GM+MTF

由式(9)可以得：

cosθsinβ′(cosθcosβ′sinα+sinθcosα)δα]+

(10)

式中：θg為高邊工具面角GTF；θm為磁工具面角MTF；β′為計算GM時使用的方位角；Hxy為磁場在鉆具橫截面上的分量。

迭代法在得到高邊工具面角后，計算方位角仍使用式(1)，所以，計算所得方位角精度滿足式(6)，將式(10)帶入式(6)，得：

Hv2sinαδHz+(A1D1+B1)δα]

(11)

圖6　數(shù)值計算K值

由圖6可知，當方位角越接近0°或180°，或者井斜角越接近0°時，K值越大，且最大值為1；避開這幾個特定的方位井斜時，K值較小，即迭代法適用。當?shù)諗繒r，有β′=β，即δβ′=δβ，所以式(11)可以進一步簡化，則通過換算，可得：

(A1D1+B1)2Var(α)]

(12)

式(12)為旋轉工況下，通過迭代法計算所得方位角的方差計算式。在旋轉工況下，井斜角可簡單由單軸(z軸)直接測量獲得，計算公式為

(13)

故：

(14)

將其代入式(12)，通過數(shù)值計算，可得不同方位角和井斜角下，方位角精度如圖7所示。從圖7可以看出，當井斜角很小或很大，方位角接近0°或180°時，方位角精度較差。

圖7　迭代法計算所得方位角精度

若不考慮方位角精度較差的特殊區(qū)域，方位角精度能達到0.8°，如圖8所示。

圖8　局部方位角精度

2．3三角法測量方位角精度分析

由式(4)可得：

(sinβ1sinαcosθ)δβ1]

故有：

(sinθcosθ-cosβ1cosαcosθ)2Var(α)]

(15)

在旋轉工況下，井斜角α由式(13)計算，其測量精度可由式(14)進行計算。而z軸和磁力線的夾角的計算公式如下：

假設三軸磁通門在3個方向上測量精度相同，即：

Var(Hx)=Var(Hy)=Var(Hz)=Var(H)

則：

(16)

將式(14)和式(16)帶入式(15)，通過數(shù)值計算，可以得到不同方位井斜下的測量精度，其圖形與圖7完全相同。再通過化簡式(12)，可以得出其與式(15)完全相同。由此可認為，收斂后的迭代法和三角法在本質上是完全相同的。

由于三角法是通過余弦求得方位角，所以直觀分析可知，當方位角接近0°或180°時，精度較差，這從式(15)也可以得出，這與迭代法的性質完全相同。同時，由于三角法是通過余弦函數(shù)求得的方位角，所以，求得的方位角只是井底方位線與磁北的夾角，無法分辨是向東偏還是向西偏。在精度分析時無法確定迭代法是否也存在這一缺陷，但通過具體仿真分析可以驗證這一點，這也進一步說明了兩種方法的一致性。

3　方位角測量仿真分析

通過Matlab編程，仿真在同一井斜方位下，模擬不同工況，使用不同方法所測得的井斜角、方位角和高邊工具面角，將其對比如表1所示。

表1　3種方法仿真結果比較　(°)

由表1可知，在靜態(tài)工況下解算出的方位角、井斜角和高邊工具面角的精度都比較高，這是由于傳感器的靜態(tài)測量精度都很高；在旋轉工況下，由于x和y方向的加速

度計的測量值無法進行濾波，且存在離心加速度，所以只認為z方向加速度計的測量值是有效的。仿真時，假定z方向加速度計和磁通門傳感器在旋轉工況下的測量精度與靜態(tài)工況相同(實際較差)。對比迭代法和三角法，可以看出，兩者的測量精度完全相同，不同的是，迭代法是先計算出高邊工具面角，再計算方位角，而三角法是直接計算方位角。另外，迭代法的迭代結果與初始值有關，不同的初始值，導致最后結果的東西向不同，即其無法分辨是向東偏還是向西偏，這與三角法相同。

4　結論

在旋轉工況下，討論了迭代法和三角法。通過精度分析知道，這兩種方法本質上是相同的。不同的是，迭代法需先計算出高邊工具面角，而三角法是直接計算方位角。兩者的缺陷均是無法分辨東西向，且在方位角為0°或180°或者井斜角很小時，精度很差。故在旋轉工況下進行方位井斜測量時，需結合使用靜態(tài)測量結果，進行東西向判別。

參考文獻：

[1]徐濤．水平定向鉆進隨鉆測量方法及定位技術研究：[學位論文]．長沙：國防科學技術大學，2006．

[2]GUO H，YAO A G．Research and Design of Horizontal Directional Drilling Attitude Measurement System Based on ARM．ICPTT：Sustainable Solutions for Water，Sewer，Gas，and Oil Pipelines-Proceedings of the International Conference on Pipelines and Trenchless Technology，2011：586-603．

[3]謝子殿，朱秀．基于磁通門與重力加速度傳感器的鉆井測斜儀．傳感器技術，2004，23(7)：30-33．

[4]李星．導向鉆井工具姿態(tài)的隨鉆動態(tài)測量：[學位論文]．西安：西安石油大學，2009．

[5]GONG X F，YANG J，WANG W．Design of high accuracy orientation sensor of MWD．International Conference on Electric Information and Control Engineering (ICEICE)，2011：297-300．

[6]EIGIZAWY M L．Continuous Measurement-While-Drilling Surveying System Utilizing MEMS Inertial Sensors．Calgary：University of Calgary，2009．