侯高雁，呂　勇，李友榮，王志剛

(武漢科技大學(xué)機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院，湖北武漢　430081)

0　引言

針對(duì)非線性非平穩(wěn)信號(hào)中故障頻率特征的提取，人們研究了很多種方法，如希爾伯特變換、小波變換和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)等。Hilbert-Huang變換，由于Hilbert算子不可避免的加窗效應(yīng)，使得解調(diào)結(jié)果出現(xiàn)非瞬時(shí)相應(yīng)特性，增大解調(diào)誤差；小波變換中小波基的選擇方面是一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)也存在傅里葉變換的局限性；數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)[1]是由法國(guó)數(shù)學(xué)家Matheron G和Serra共同創(chuàng)立的一種不同于時(shí)域和頻域的數(shù)學(xué)方法。該方法采用結(jié)構(gòu)元素探針，在信號(hào)中不斷移動(dòng)，來提取有用信號(hào)的沖擊特征，但是濾除白噪聲的能力卻不足。針對(duì)這一不足，研究了總體經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?EEMD)降噪和局域均值分解(LMD)降噪，并對(duì)二者進(jìn)行了比較。

EEMD是Wu等[2]提出的一種將噪聲輔助分析用于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?EMD)中的自適應(yīng)分析方法，該方法克服了EMD[3]產(chǎn)生的混疊現(xiàn)象。LMD是Jonathan S．Smith[4]提出的一種自適應(yīng)非平穩(wěn)信號(hào)處理方法，該方法不僅分解速度快，而且能夠很好地抑制端點(diǎn)效應(yīng)。

1　數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)分析是基于積分幾何和隨機(jī)集的不同于時(shí)域、頻域分析的非線性方法。該方法首先應(yīng)用于圖像處理中，隨后在信號(hào)處理方面得到了廣泛的應(yīng)用[5]。它是使用結(jié)構(gòu)元素探針在信號(hào)中不斷移動(dòng)來提取有用信息，進(jìn)行特征分析和描述。

1．1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)包括2種基本算子[6]：膨脹和腐蝕。設(shè)f(n)和g(n)分別為定義在F={0，1，2，…，N-1}的一維多值信號(hào)和G={0，1，2，…，M-1}的一維結(jié)構(gòu)元素序列，其中N和M都是整數(shù)，且有N≥M．

則f(n)關(guān)于g(n)的膨脹、腐蝕、開運(yùn)算和閉運(yùn)算分別定義為：

(f?g)(n)=max{f(n-x)+g(x)；x∈G}

(1)

(fΘg)(n)=min{f(n+x)-g(x)；x∈G}

(2)

(3)

(f·g)(n)=(f?gΘg)(n)

(4)

式中：?為膨脹運(yùn)算；Θ為腐蝕運(yùn)算；o為開運(yùn)算；·為閉運(yùn)算。

1．2形態(tài)學(xué)濾波器

形態(tài)學(xué)濾波器開運(yùn)算用于抑制正沖擊，平滑負(fù)沖擊；腐蝕運(yùn)算用于平滑正沖擊，抑制負(fù)沖擊；開運(yùn)算可以抑制邊界上的毛刺(凸起部分)，消除比結(jié)構(gòu)元素小的孤點(diǎn)、碎線和斑塊；閉運(yùn)算可填補(bǔ)邊界上的凹陷部分，彌合裂縫，填充小洞，平滑外邊緣。

基于形態(tài)學(xué)開運(yùn)算和閉運(yùn)算，可以構(gòu)建2種濾波器，平均濾波器(AVG)和差值濾波器(DIF)。

平均濾波器公式為

(5)

差值濾波器公式為

(6)

平均濾波器用于消除信號(hào)中的正、負(fù)沖擊，對(duì)信號(hào)起到平滑作用；差值濾波器用于提取信號(hào)中的正、負(fù)沖擊。

1．3形態(tài)學(xué)結(jié)構(gòu)元素

形態(tài)學(xué)濾波器所選用的結(jié)構(gòu)元素起著至關(guān)重要的作用。結(jié)構(gòu)元素的特征包括其形狀、高度和寬度，常用的形狀有余弦、三角、半圓和直線等，選擇了結(jié)構(gòu)元素的形狀后，結(jié)構(gòu)元素的高度和寬度就是影響濾波效果的關(guān)鍵因素。大量研究表明：結(jié)構(gòu)元素越復(fù)雜，寬度越大，其提取信號(hào)的效果也越好，但同時(shí)計(jì)算耗時(shí)也越長(zhǎng)。在實(shí)際應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)元素應(yīng)盡可能小并接近待處理信號(hào)特征。

2　EEMD形態(tài)學(xué)

2．1EEMD基本原理

EEMD是針對(duì)EMD存在的模式混疊缺陷而提出的改進(jìn)方法。EEMD方法的核心思想是在采集信號(hào)中加入特定的高斯白噪聲，將使信號(hào)在不同時(shí)間尺度上具有連續(xù)性，不僅信號(hào)極值點(diǎn)的特性發(fā)生了變化，而且還提高了抗混分解，有效地避免了模式混疊現(xiàn)象。

EEMD分解過程如下[7]：

(1)在目標(biāo)信號(hào)x(t)中N(N>1)次加入均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為常數(shù)的高斯白噪聲ni(t)(i∈(1，N])，得到y(tǒng)(t)信號(hào)。

yi(t)=x(t)+ni(t)

(7)

(2)對(duì)yi(t)進(jìn)行EMD分解，得到各個(gè)IMF分量，記為Cij(t)，余項(xiàng)為ri(t)。其中，Cij(t)表示第i次加入高斯白噪聲后，分解得到的第j個(gè)IMF分量。

(3)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理將得到的IMF分量進(jìn)行總體平均運(yùn)算，以消除多次加入高斯白噪聲對(duì)真實(shí)IMF的影響，最終得到的IMF為

(8)

式中cj(t)為目標(biāo)信號(hào)進(jìn)行EEMD分解后的第j個(gè)IMF分量。

2．2基于EEMD的形態(tài)學(xué)

將目標(biāo)信號(hào)首先進(jìn)行EEMD降噪，選取主要信息IMF分量重構(gòu)，然后用形態(tài)學(xué)差值濾波器來提取故障頻率特征。采用EEMD降噪，添加的白噪聲為分析信號(hào)提供了均勻分布的分解尺度，同時(shí)也平滑了脈沖干擾，使得脈沖干擾在分解過程中混入到白噪聲模式，抑制了脈沖干擾和模式混疊現(xiàn)象，得到物理意義更明顯的IMF分量，更有利于故障特征的提取。

3　LMD形態(tài)學(xué)

3．1LMD基本原理

LMD的實(shí)質(zhì)就是將非平穩(wěn)調(diào)制信號(hào)分解成一系列PF分量，每個(gè)PF分量由1個(gè)包絡(luò)信號(hào)和1個(gè)純調(diào)頻信號(hào)的乘積而得，對(duì)于原始信號(hào)x(t)，LMD分解具體步驟如下[8]：

(1)找出x(t)所有局部極值點(diǎn)ni，由式(9)和式(10)分別計(jì)算出相鄰兩極點(diǎn)的平均值mi和包絡(luò)估計(jì)值ai：

(9)

(10)

然后分別將所有相鄰的均值點(diǎn)mi和包絡(luò)函數(shù)值ai用直線連接，用滑動(dòng)平均法進(jìn)行處理，分別得到局部均值函數(shù)m11(t)和局部包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a11(t)。

(2)將光滑的局部均值函數(shù)m11(t)從原始信號(hào)x(t)中分離出來，并用光滑的局部包絡(luò)估計(jì)函數(shù)進(jìn)行歸一化操作：

h11(t)=x(t)-m11(t)

(11)

(12)

對(duì)s11(t)重復(fù)上述步驟便能得到s11(t)的包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a12(t)。若s11(t)在區(qū)間[-1，1]上不是一個(gè)純調(diào)頻信號(hào)，則將s11(t)作為原始信號(hào)重復(fù)n次步驟(1)操作，直至s11(t)為一個(gè)純調(diào)頻信號(hào)。

(3)將所有局部包絡(luò)估計(jì)函數(shù)相乘便得瞬時(shí)幅值函數(shù)：

(13)

而首個(gè)乘積函數(shù)可得到第一個(gè)PF分量PF1。

PF1(t)=a1(t)s1n(t)

(14)

(4)將第1個(gè)PF分量從原始信號(hào)中分離出來：

u1(t)=x(t)-PF1(t)

(15)

得到一個(gè)新的信號(hào)u1(t)，將u1(t)作為原始信號(hào)重復(fù)上述步驟(1)～(3)k次，直到uk為一個(gè)單調(diào)函數(shù)為止。

經(jīng)過上述步驟，初始信號(hào)x(t)被分解為k個(gè)PF分量和uk(其中uk為殘余項(xiàng))之和，即：

(16)

3．2基于LMD的形態(tài)學(xué)

在提取特征頻率之前，先進(jìn)行LMD降噪，將能量高的PF分量重構(gòu)，再用形態(tài)學(xué)差值濾波器進(jìn)行解調(diào)，提取出故障頻率特征。該方法計(jì)算時(shí)間短，降噪效果好，能夠快速、準(zhǔn)確地從故障信號(hào)中提取出故障頻率特征。

4　EEMD形態(tài)學(xué)與LMD形態(tài)學(xué)對(duì)比

基于EEMD形態(tài)學(xué)和基于LMD形態(tài)學(xué)都能夠從故障信號(hào)中提取出故障頻率特征，然而兩者卻存在著差異性，從理論上講，LMD方法減少了迭代次數(shù)，分解速度遠(yuǎn)快于EEMD分解；LMD與EEMD都具有端點(diǎn)效應(yīng)，但是LMD方法抑制端點(diǎn)效應(yīng)方面要優(yōu)于EEMD。通過仿真試驗(yàn)和齒輪故障模擬實(shí)驗(yàn)具體來體現(xiàn)兩種方法的優(yōu)劣。

4．1仿真試驗(yàn)對(duì)比

采用的仿真信號(hào)為

y(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)

(17)

式中：x1(t)為頻率為30 Hz和50 Hz的諧波信號(hào)，x1(t)=1．2cos(2·pi·30·t)+1．6cos(2·pi·50·t)；x2(t)為標(biāo)準(zhǔn)差為1的高斯白噪聲；x3(t)為頻率為20 Hz，周期內(nèi)沖擊函數(shù)為exp(-20t)sin(20·pi·t)的周期性指數(shù)衰減沖擊信號(hào)；采樣頻率為1 000 Hz；采樣時(shí)間為2 s．

此實(shí)驗(yàn)是為了抑制白噪聲和諧波信號(hào)，來提取頻率為20 Hz的沖擊成分，得到的仿真信號(hào)如圖1所示，圖2為仿真信號(hào)的頻譜圖，只能看到頻率為30 Hz和50 Hz的諧波信號(hào)。

圖1　混合信號(hào)的時(shí)域圖

圖2　混合信號(hào)的頻域圖

分別采用上述兩種方法對(duì)仿真信號(hào)y(t)進(jìn)行處理，得到的結(jié)果如圖3所示。圖3(b)是LMD形態(tài)學(xué)處理后的結(jié)果，圖3(b)與圖3(a)相比，都可以明顯提取出20 Hz的沖擊成分，并且其2倍頻、3倍頻信號(hào)也比較明顯，但是LMD的分解速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于EEMD分解速度，此外，提取到的1倍頻和2倍頻的幅值要略比圖3(a)提取到的高。圖3(a)提取到的1倍頻和2倍頻幅值為0．074 54 V和0．010 63 V；圖3(b)提取到的1倍頻和2倍頻幅值為：0．091 68 V和0．013 23 V.所以LMD形態(tài)學(xué)提取到故障頻率特征的效果要優(yōu)于EEMD形態(tài)學(xué)。

(a)EEMD形態(tài)學(xué)處理后的結(jié)果

(b)LMD形態(tài)學(xué)處理后的結(jié)果

4．2齒輪故障實(shí)驗(yàn)對(duì)比

通過齒輪斷齒和磨損2種故障來比較2種方法。在齒輪箱故障診斷試驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，齒輪箱為1級(jí)降速傳動(dòng)，輸入軸轉(zhuǎn)速為363 r/min，大齒輪和小齒輪的齒數(shù)分別為37和20，模數(shù)為3，傳動(dòng)比為1．85，采樣頻率為2 kHz，采樣時(shí)間為1 s．圖4(a)為齒輪斷齒信號(hào)的時(shí)域圖；圖4(b)為齒輪磨損時(shí)域圖。

(a)齒輪斷齒信號(hào)的時(shí)域圖

(b)齒輪磨損時(shí)域圖

斷齒信號(hào)經(jīng)過2種方法處理后的結(jié)果如圖5所示。圖5(b)與圖5(a)相比，LMD形態(tài)學(xué)要優(yōu)于EEMD形態(tài)學(xué)。

(1)2種方法均可以明顯提取到斷齒的故障頻率特征及其倍頻信息；

(2)圖5(b)中故障頻率的幅值要比圖5(a)的高，提取出的效果更好；

(3)圖5(b)還可以明顯的看到故障頻率的1/2倍頻信息。

(a)EEMD形態(tài)學(xué)處理后的結(jié)果

(b)LMD形態(tài)學(xué)處理后的結(jié)果

將磨損信號(hào)也經(jīng)過2種方法的處理，得到圖6所示結(jié)果。

(a)EEMD形態(tài)學(xué)處理后的結(jié)果

(b)LMD形態(tài)學(xué)處理后的結(jié)果

兩者比較可得，采用LMD形態(tài)學(xué)方法提取到的故障頻率特征比較明顯，并且噪聲能量比較低緩，其倍頻信號(hào)和倍頻的幅值都優(yōu)于EEMD形態(tài)學(xué)。

5　結(jié)論

基于EEMD的形態(tài)學(xué)和基于LMD的形態(tài)學(xué)都能夠提取到故障信號(hào)的故障頻率特征，為故障診斷做好準(zhǔn)備，通過理論分析、仿真試驗(yàn)和齒輪模擬故障實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明LMD形態(tài)學(xué)在提取故障頻率特征方面要優(yōu)于EEMD形態(tài)學(xué)，結(jié)論如下：

(1)LMD形態(tài)學(xué)較EEMD形態(tài)學(xué)減少了迭代次數(shù)，分解速度遠(yuǎn)大于EEMD，并且抑制端點(diǎn)效應(yīng)也優(yōu)于EEMD形態(tài)學(xué)；

(2)提取到的故障頻率及其倍頻信息，LMD形態(tài)學(xué)的效果要比EEMD形態(tài)學(xué)更清晰。

參考文獻(xiàn)：

[1]SERRA J．Morphological filtering：an overview．Signal Process，1994，38(4)：3-11．

[2]WU Z，HUANG N E．A study of the characteristics of white noise using the empirical mode decomposition method．Proc．R．Soc．1Dndon A，2004，460：1597-1611．[3]HUANG N E，SHEN Z，LONG S R,et al．The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and nonstationary time series analysis．Proc．R．Soc．Lond．A，1998，454：903-995．

[4]SMITH S J．The local mean decomposition and its application to EEG perception data．Journal of the Royal Society Interface，2005，2(5)：443-454．

[5]李兵，張培林，米雙山，等．機(jī)械故障信號(hào)的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)分析與智能分類．北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2011．

[6]羅潔思，于德介，彭富強(qiáng)，等．基于EMD的多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)方法及其在機(jī)械故障診斷中的應(yīng)用．振動(dòng)與沖擊，2009，28(11)：84-86．

[7]陳仁祥，湯寶平，馬婧華，等．基于EEMD的振動(dòng)信號(hào)自適應(yīng)降噪方法．振動(dòng)與沖擊，2012，31(15)：82-86．

[8]程軍圣，楊怡，楊宇，等．基于LMD的能量算子解調(diào)機(jī)械故障診斷方法．振動(dòng)、測(cè)試與診斷，2012，32(6)：915-919．

[9]李學(xué)東，張?jiān)?，馬曉莉，等．基于振動(dòng)分析的滾動(dòng)軸承故障診斷系統(tǒng)設(shè)計(jì)．儀表技術(shù)與傳感器，2012(8)：71-73．