劉智穎， 王向公， 任威龍, 龍耀萍

(1.長江大學(xué) 油氣資源與勘探技術(shù)教育部重點實驗室， 湖北 武漢 430100；2.長江大學(xué) 地球物理與石油資源學(xué)院， 湖北 武漢430100；3.北京吉奧特能源項目責(zé)任有限公司， 北京 100195)

當(dāng)前, 簡單而常見的數(shù)值積分方法是無限細分法(亦稱“黎曼和”).在應(yīng)用過程中，需將區(qū)間劃分成盡可能多的份數(shù)以保證計算精度.然而，較細的劃分會導(dǎo)致計算時間增加，而且當(dāng)被積函數(shù)變化幅度較大時，其誤差增大,故辛普森公式應(yīng)運而生.常見的辛普森公式大都只適用于直角坐標(biāo)系.事實上很多積分需要在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)下進行，如果做坐標(biāo)變換后再求解則十分繁瑣而且會造成誤差累積.因此，本文分析、研究并推導(dǎo)了柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的辛普森公式，且成功應(yīng)用于地球物理測井中自然伽馬射線強度函數(shù)的數(shù)值積分運算.

1 三維柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下辛普森公式的推廣

1.1 辛普森公式的常見形式及其適用范圍

常見的辛普森公式(公式(1))只能應(yīng)用于直角坐標(biāo)系下一元函數(shù)的數(shù)值積分

(1)

1.2 柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的辛普森公式

為書寫方便，將柱坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(ri,θj,zk)及球坐標(biāo)系下的坐標(biāo) (ri,θj,φk)皆記作i,j,k，被積函數(shù)在節(jié)點處的值記作fi,j,k.腳標(biāo)i,j,k可以是整數(shù)或半整數(shù)(其意義與式(1)同).

柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)剖分體元內(nèi)插值函數(shù)的體積分值有相似的矩陣[2]表達形式(公式2).

(2)

將式(2)中的腳標(biāo)x替換為i即可得到柱坐標(biāo)系下的公式.式中矩陣的意義如下：

其中A和B兩個矩陣只需將Z矩陣中符號zk分別換成θj和ri即可.

將式(2)中的腳標(biāo)x替換為k即可得到球坐標(biāo)系下的公式.式中矩陣的意義如下：

其中Φ、Θ和R三個矩陣只要將柱坐標(biāo)系公式中Z矩陣中的zk分別換成φk、θj和ri即可.

1.3 復(fù)化辛普森公式

在實際應(yīng)用中，由于求解區(qū)域的邊界不規(guī)則，有的節(jié)點可能會落到積分區(qū)域以外.嚴(yán)格地講，這時需要對求解區(qū)域重新剖分以適應(yīng)不規(guī)則的邊界，但一般只要已經(jīng)滿足了精度就可以省去這些繁瑣的步驟，只要將落到積分區(qū)域以外的節(jié)點的函數(shù)值設(shè)定為零[3]即可.

2 辛普森公式的推廣形式在地球物理測井中的應(yīng)用

自然伽馬測井[4]是常見的地球物理測井方法之一.自然伽馬射線強度函數(shù)值的計算在分析、應(yīng)用自然伽馬測井資料時十分重要，該函數(shù)描述了自然伽馬測井值(GR值)與地層放射性物質(zhì)分布情況的關(guān)系，需用柱坐標(biāo)系下的體積分表示.應(yīng)用辛普森公式的推廣形式便可實現(xiàn)對該函數(shù)值的計算[5].

通常，為了便于解釋人員對相關(guān)數(shù)據(jù)的分析，儀器實測的GR值需要進行“井眼校正”[4].而校正系數(shù)是通過計算自然伽馬射線強度函數(shù)得到的.將不同的井筒直徑做為變量輸入自然伽馬射線強度函數(shù)就可以計算出一系列離散的GR井眼校正系數(shù).應(yīng)用這些離散的數(shù)據(jù)可以繪制出以井筒直徑為橫坐標(biāo)，以GR井眼校正系數(shù)為縱坐標(biāo)的圖版(圖1).

圖1 GR井眼校正圖版

3 結(jié)論和認識

通過分析和總結(jié)當(dāng)前常用數(shù)值積分算法的不足，研究數(shù)值積分的基本原理，從而推導(dǎo)辛普森公式在三維柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的推廣形式.對此做出如下總結(jié).

(1)提出并推導(dǎo)了辛普森公式的推廣形式，拓展了辛普森公式的適用范圍，提高了三維柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下數(shù)值積分的運算速度和精度，彌補了常見數(shù)值積分方法的不足.

(2)將辛普森公式的推廣形式應(yīng)用到地球物理測井領(lǐng)域，完成了自然伽馬射線強度函數(shù)值的計算，從而研制了GR井眼校正圖版.

[1] 關(guān)治,陸金甫.數(shù)值分析基礎(chǔ)[M].北京: 高等教育出版社, 1998.

[2] 錢椿林.線性代數(shù)[M].3版.北京: 高等教育出版社, 2000.

[3]錢能. C++程序設(shè)計教程[M].2版.北京: 清華大學(xué)出版社, 2003.

[4]黃隆基.放射性測井原理[M].北京: 石油工業(yè)出版社,2000.

[5] 商慶龍.新型自然伽馬測井響應(yīng)的三維數(shù)值模擬以及數(shù)據(jù)合成與高分辨率處理技術(shù)[D].吉林：吉林大學(xué)，2013：43-56.