馮建綱， 阿布都熱西提·阿布都外力

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830046)

干旱區(qū)天然植被作為生物生態(tài)系統(tǒng)中的重要部分，是生態(tài)系統(tǒng)中物質(zhì)循環(huán)和能量流動的樞紐，作為生態(tài)環(huán)境治理的一項重要措施，是退化生態(tài)系統(tǒng)恢復(fù)的關(guān)鍵所在[1]，在抑制沙漠化過程和保護(hù)生物多樣性等方面有著重要的生態(tài)意義.水作為干旱區(qū)最重要的生態(tài)環(huán)境因子，不僅是干旱區(qū)綠洲生態(tài)系統(tǒng)構(gòu)成、發(fā)展和穩(wěn)定的基礎(chǔ)和依據(jù)，而且決定著干旱區(qū)綠洲化過程與荒漠化過程這兩類極具對立與沖突性的生態(tài)環(huán)境演化過程[2].水資源是干旱區(qū)綠洲系統(tǒng)形成、存在和發(fā)展的基礎(chǔ)[3]，干旱區(qū)植被的需水來源主要來自于降水，在干旱區(qū)，植物對水的依存性更大，由于降雨量稀少,水資源的有限性，加之日照強(qiáng)烈，缺水使分布于綠洲周邊地區(qū)的耐旱植被退化嚴(yán)重，植被分散而且稀疏，地表覆蓋率很低甚至大面積死亡、消失[4]，造成環(huán)境進(jìn)一步惡化，特別是在干旱、半干旱地區(qū)往往是災(zāi)難性的[5].基于以上的情況，考慮水分脅迫條件下植被的生長模型，在捕食模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)數(shù)學(xué)物理原理,給出了如下模型[6-10]：

(1)

式中：a,b,c,n,r,β皆為正常數(shù)；x(t)表示t時刻區(qū)域內(nèi)地下水資源(土壤含水量)；y(t)表示t時刻區(qū)域內(nèi)植被密度；r表示地下水的增量(主要是降雨量)；c表示因土壤滲透而導(dǎo)致的水的損失率；n表示單位密度植被蒸散量；β表示因缺水而導(dǎo)致的植被死亡率；bxy表示植被對水的吸收量；axy表示植被的生長量.

1 預(yù)備知識

為了研究模型的穩(wěn)定性態(tài)，我們需要用到如下知識點.

定理3[13]對應(yīng)于矩陣A的特征根的不同情況，關(guān)于微分方程組的零解的穩(wěn)定性態(tài)有以下結(jié)論：

(1)若特征根均具有負(fù)實部，則方程組的零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

(2)若有正實部的特征根，則方程組的零解是不穩(wěn)定的.

2 主要結(jié)果

定理4 系統(tǒng)(1)在第一象限內(nèi)無閉軌.

證明取Dulac函數(shù)B(x,y)=xkym，其中k,m為待定常數(shù).則

krxk-1ym-(k+1)cxkym-(k+1)bxkym+1+

amxk+1ym-1-(m+1)βxkym

取k=m=-1，則D=-rx-2y-1-ay-2.因為r>0，a>0,在第一象限內(nèi)x>0,y>0，故D<0.由Dulac準(zhǔn)則，系統(tǒng)(1)在第一象限內(nèi)無閉軌.

定理5 說明植被的退化是不會周期發(fā)生的.

下面我們考慮系統(tǒng)(1)的平衡點的穩(wěn)定性情況，考慮如下方程

(2)

(3)

其一次近似系統(tǒng)上的Jacobi矩陣為

(4)

其一次近似系統(tǒng)上的Jacobi矩陣為

λ2+(c+by0)λ+ar-βc=0

定理9 說明當(dāng)降雨量充足時，植被密度取決于水的供給數(shù)量.

3 結(jié)束語

水是干旱區(qū)各種資源中最為重要的資源之一，是植被生存極其重要的因子.通過對模型的定性分析可知：當(dāng)干旱區(qū)的降雨過少，土壤滲透和蒸騰作用過強(qiáng)時，植被的生長受到抑制，將導(dǎo)致植被大量死亡，植被稀疏，出現(xiàn)地表裸露.干旱區(qū)植被密度取決于水的數(shù)量，有水成綠洲，無水成荒漠.因此，增加干旱區(qū)水的供給，如對干旱區(qū)采取人工灌溉等輸水工程，植被密度將會增加，這也是防止植被退化和保護(hù)綠洲規(guī)模的主要手段之一.

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