熊華勝，李 鐸

（清華大學 核能與新能源技術(shù)研究院 先進反應(yīng)堆工程與安全教育部重點實驗室，北京 100084）

核反應(yīng)堆周期T 直接關(guān)系到核反應(yīng)堆的運行和安全，需專門儀器來監(jiān)測［1］。周期太短表示反應(yīng)堆內(nèi)中子通量或功率水平增長太快，如果周期超過整定值就需觸發(fā)保護系統(tǒng)緊急停堆動作，關(guān)閉反應(yīng)堆。若不能及時準確地計算出反應(yīng)堆周期，有潛在地引起核事故的可能性。

本文基于Unscented卡爾曼濾波器（UKF）對反應(yīng)堆周期的計算算法進行研究。

1 反應(yīng)堆周期計算的離散隨機狀態(tài)空間模型

1.1 反應(yīng)堆周期的定義

反應(yīng)堆周期是指核反應(yīng)堆內(nèi)中子密度增加到初始時的e倍所用的時間。

式中：n0為t=0 時刻反應(yīng)堆內(nèi)的中子密度；n為t時刻的中子密度。

反應(yīng)堆周期反映了核反應(yīng)堆所處狀態(tài)。

1.2 離散隨機狀態(tài)空間模型推導

在數(shù)字化核測量系統(tǒng)中，通常在系統(tǒng)的前置放大模塊中將探測器輸出的弱電流信號I進行放大，然后轉(zhuǎn)變?yōu)殡妷盒盘?，再使用A／D 模塊實現(xiàn)對電壓信號的采集。根據(jù)核反應(yīng)堆工程原理可知：反應(yīng)堆功率與中子密度呈正比；探測器輸出的電流信號與反應(yīng)堆功率呈正比［2］。因此，電壓信號V 直接反應(yīng)了核反應(yīng)堆的功率水平，即有下面的關(guān)系式：

其中，V0為0時刻的電壓信號。

將式（3）離散化得到：

其中：Tc為V（k+1）與V（k）之間的時間間隔，s；T（k）為k時刻的反應(yīng)堆周期。

在實際的工程中，Tc一般較小，為ms級，而T（k）一般至少為s級，通常滿足Tc／T（k）?1。對式（3）進行泰勒展開，得到：

其中：θ（k）=Tc／T（k）。

令w1（k）=V（k）·ο（θ（k）），可得：

并假設(shè)反應(yīng)堆周期T（k+1）與T（k）滿足T（k+1）=T（k）+ο（T（k）），o（T（k））為遠小于T（k）的增量，令：

可得：

在數(shù)字化核測量系統(tǒng)中，將探測器輸出的電流信號轉(zhuǎn)變?yōu)殡妷盒盘枺杀硎緸椋?/p>

其中：y（k）為觀測向量；v（k）為測量噪聲。

由式（6）、（7）、（8）得到離散的非線性模型：

其中：

w（k）是非線性模型的系統(tǒng)噪聲，是對系統(tǒng)建模產(chǎn)生的誤差進行補償。式（9）即為用于計算核反應(yīng)堆周期的離散隨機狀態(tài)空間模型。

2 基于UKF的反應(yīng)堆周期的計算方法

2.1 反應(yīng)堆周期的計算公式

對于式（9），如果根據(jù)測量電壓y（k）估計出離散非線性模型的狀態(tài)向量x（k），那么就可計算出核反應(yīng)堆周期T（k），即：

因此，反應(yīng)堆周期的計算問題就轉(zhuǎn)化為離散隨機狀態(tài)空間模型的狀態(tài)估計問題。

2.2 UKF算法

由于擴展卡爾曼濾波器（EKF）方法是將非線性函數(shù)利用泰勒公式展開，并保留一階項［3］，從而實現(xiàn)非線性函數(shù)的線性化并保留一階精度。針對EKF 的缺陷，Julier等［4］提出了基于Unscented變換的UKF 方法。該方法直接利用非線性模型進行遞推估計，避免了線性化誤差的引入，且遞推估計過程不需計算Jacobian矩陣，比EKF 更為簡單，并在執(zhí)行濾波時可有二階以上的精度。

假設(shè)w（k）、v（k）的統(tǒng)計特征為：

選取系統(tǒng)增廣狀態(tài)變量為：

記xak為L 維列向量，則L=2+2+1=5。增廣后的系統(tǒng)狀態(tài)方差為：

UKF狀態(tài)估計算法如下。

1）初始化

2）計算Sigma點

其中，χk為L×（2L+1）維矩陣。

3）時間更新方程

4）測量更新方程

算法中對應(yīng)的權(quán)系數(shù)為：

其中，λ=α2（L+κ）-L。α和κ 用于控制Sigma點的傳播，β 是一與x 的分布相關(guān)的系數(shù)。這里取α=0.001，κ=0和β=2。

利用式（11）～（13）給出的UKF算法可估計出式（9）離散隨機狀態(tài)空間模型的狀態(tài)，再依據(jù)式（10）可以計算出反應(yīng)堆周期。

3 反應(yīng)堆周期仿真計算與實驗驗證

利用建立起來的離散隨機狀態(tài)空間模型和設(shè)計好的UKF 算法，分別利用仿真數(shù)據(jù)和實驗數(shù)據(jù)來驗證本文提出的反應(yīng)堆周期的計算算法的正確性和有效性。

3.1 仿真計算

在仿真過程中利用式（4）產(chǎn)生反應(yīng)堆周期為28.85s 的仿真測量信號，并對測量信號V（k）施加具有均值為0、方差Rk為0.000 01統(tǒng)計特征的高斯噪聲信號。

利用UKF 方法，對生成的仿真數(shù)據(jù)進行處理得到相應(yīng)的結(jié)果如圖1所示。從仿真計算結(jié)果來看，噪聲雖然幅值很小，但對計算的影響卻非常大，造成計算結(jié)果的不確定性大。應(yīng)用UKF可較好地復現(xiàn)信號的本來特征。

圖1 反應(yīng)堆周期的仿真計算結(jié)果Fig.1 Calculation result of reactor period using simulation data

3.2 實驗驗證

在數(shù)字化核測量系統(tǒng)的原理樣機中，利用信號發(fā)生器生成的信號來模擬實際的電離室探測器輸出信號，并通過這種半物理實驗的方式來獲取實驗數(shù)據(jù)（圖2）。

圖2 數(shù)字化核測量系統(tǒng)原理圖Fig.2 Schematic of digital neutron monitoring system

信號發(fā)生器用于模擬探測器的輸出信號，產(chǎn)生反應(yīng)堆周期為T 的弱電流信號。前置處理模塊用于信號的調(diào)理和隔離，對微電流信號進行放大，并將電流信號調(diào)理為電壓信號。信號采集模塊在計算機系統(tǒng)中用于對電壓信號進行A／D 轉(zhuǎn)換；信號處理及反應(yīng)堆周期計算模塊用于對采集的數(shù)字信號進行變換、濾波處理，然后用本文提出的方法計算得出反應(yīng)堆周期。

用信號發(fā)生器生成反應(yīng)堆周期為28.85s的電流信號。實驗過程中，信號發(fā)生器產(chǎn)生的電流信號經(jīng)前置處理模塊后電壓范圍為0.003～3V。數(shù)字化核測量系統(tǒng)的信號處理模塊通過采集、處理和計算后得到的計算結(jié)果示于圖3。從圖3可看出，輸入到核測量系統(tǒng)計算機的信號經(jīng)過采集模塊后，采集的電壓信號中總是伴隨著測量噪聲，測量噪聲對計算結(jié)果有較大影響。反應(yīng)堆周期的計算結(jié)果中包含著測量噪聲對周期計算的貢獻，導致計算后的反應(yīng)堆周期存在較大的不確定性和隨機性，使得周期的計算結(jié)果嚴重失真，與實際的期望值存在很大的差別。利用本文基于UKF提出的反應(yīng)堆周期計算方法可較好地抑制噪聲影響，得出較為理想的計算結(jié)果，從而復現(xiàn)了信號的本來特征。

圖3 反應(yīng)堆周期的半物理實驗計算結(jié)果Fig.3 Calculation result of reactor period using experimental data

4 結(jié)論

數(shù)字化核測量系統(tǒng)將電離室探測器輸出的弱電流信號經(jīng)過前置放大、調(diào)理和隔離后將信號轉(zhuǎn)變?yōu)榕c反應(yīng)堆功率呈正比的電壓信號，核測量系統(tǒng)計算機采集的電壓信號總是伴隨著測量噪聲，從而對反應(yīng)堆周期的計算帶來很大影響。本文基于UKF 對反應(yīng)堆周期的計算進行了研究，推導出適于使用UKF的離散隨機狀態(tài)空間模型，提出了反應(yīng)堆周期估計算法，并利用仿真數(shù)據(jù)和半物理實驗數(shù)據(jù)對提出的算法進行了計算驗證。計算結(jié)果表明：本文提出的反應(yīng)堆周期計算算法可較好地抑制噪聲的影響，得到較為理想的計算結(jié)果，從而復現(xiàn)信號的本來特征。

［1］ 陳小軍，李保祥，李凱.數(shù)字化核測儀表的設(shè)計與算法分析［J］.核電子學與探測技術(shù)，2003，23（2）：163-165，175.CHEN Xiaojun，LI Baoxiang，LI Kai.The design＆arithmetic analysis of a digital nuclear instrument［J］.Nuclear Electronics ＆Detection Technology，2003，23（2）：163-165，175（in Chinese）.

［2］ 胡守印.反應(yīng)堆周期監(jiān)測裝置的研制［J］.工業(yè)儀表與自動化裝置，2000（4）：47-48，6.HU Shouyin.The development of a period monitor for nuclear reactors［J］.Industrial Instrumentation＆Automation，2000（4）：47-48，6（in Chinese）.

［3］ NEMRA A，AOUF N.Robust INS／GPS sensor fusion for UVA localization using SDRE nonlinear filtering［J］.IEEE Sensors Journal，2010，11（4）：789-798.

［4］ JULIER S，UHLMANN J，WHYTE H F D.A new method for the nonlinear transformation of means and covariances in filters and estimators［C］∥IEEE Transactions on Automatic Control.USA：IEEE Press，2000：477-482.