江樂(lè)果，朱華炳

(合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，安徽合肥230009)

0 前言

仿人機(jī)器人具有與人相似的步行運(yùn)動(dòng)方式，可以代替人類從事放射性、高強(qiáng)度、高危險(xiǎn)性等有害環(huán)境下的工作［1］。仿人機(jī)器人與普通的工業(yè)機(jī)器人最大的區(qū)別在于步行狀態(tài)、自由度數(shù)目較多、沒(méi)有固定的基座，在對(duì)它進(jìn)行設(shè)計(jì)與研究時(shí)，需要充分考慮步行的穩(wěn)定性，邏輯合理性，因此針對(duì)仿人機(jī)器人的研究具有十分重要的意義。以下介紹的是基于Matlab/Sim-Mechanics 軟件平臺(tái)下所做的仿真分析。Matlab 軟件運(yùn)算功能強(qiáng)大，包含了很多可以用來(lái)解決實(shí)際工程問(wèn)題的工具箱，其中SimMechanics 工具箱就可實(shí)現(xiàn)機(jī)械構(gòu)件、關(guān)節(jié)、傳感器、驅(qū)動(dòng)器等組成部件的建模與仿真。針對(duì)普通的機(jī)械系統(tǒng)一般采用正向動(dòng)力學(xué)分析和逆向動(dòng)力學(xué)分析這兩種分析方式，對(duì)于機(jī)器人機(jī)械系統(tǒng)可利用SimMechanics 工具箱提供的機(jī)構(gòu)模塊集來(lái)搭建仿真模型，這樣顯著地縮短了機(jī)械系統(tǒng)的分析時(shí)間，同時(shí)增加了可視化界面，可以更直觀地觀察機(jī)構(gòu)的變化。

1 仿人機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)分析

對(duì)于機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析常用的方法有拉格朗日法、牛頓－歐拉法、達(dá)朗貝爾法以及Kane 法等，以上幾種方法基本上是等價(jià)的，只是每種方法的形式不同，在不同的領(lǐng)域各有應(yīng)用［2］。Kane 方法較其他幾種動(dòng)力學(xué)分析有一些特點(diǎn)，它綜合了分析力學(xué)和向量力學(xué)兩方面的優(yōu)點(diǎn)，著眼于廣義速度、偏速度、偏角速度的確定，而且偏重于廣義主動(dòng)力、廣義慣性力的計(jì)算，且步驟較程序化，方便計(jì)算機(jī)完成;避免了尋求系統(tǒng)以各種形式表示的動(dòng)力學(xué)函數(shù)及它們的導(dǎo)數(shù);Kane 方法不僅適用于完整系統(tǒng)也適用非完整系統(tǒng)。非完整系統(tǒng)的Kane 方程可由不考慮約束時(shí)系統(tǒng)的Kane 方程組合而成，這一結(jié)論使得機(jī)器手、步行機(jī)器人之類約束經(jīng)常變動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題計(jì)算簡(jiǎn)化［3］。因此采用Kane 法對(duì)仿人機(jī)器人的機(jī)構(gòu)模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。

Kane 動(dòng)力學(xué)方程可描述為:作用在系統(tǒng)上或剛體上相對(duì)于廣義速率ur的廣義主動(dòng)力Fr和廣義慣性力之和為0 ，即

作用在質(zhì)點(diǎn)j 上的力系和作用在剛體上的力矩系可簡(jiǎn)化到一固定點(diǎn)上，成為主力矢和主力矩。這樣，可用把作用在剛體上的外力統(tǒng)一用Fj表示。同理，把剛體上的慣性力和慣性力矩統(tǒng)一用表示。廣義主動(dòng)力是外力Fj與第j 點(diǎn)的偏速度的點(diǎn)積，廣義慣性力是慣性力與第j 點(diǎn)的偏速度的點(diǎn)積，即

求各質(zhì)心點(diǎn)的偏速度和各剛體的偏角速度。將仿人機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中雙腳支撐的瞬間，建立一個(gè)平面五桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模型，進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，圖1 為雙腳支撐時(shí)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖。以兩條小腿桿即AB 桿、DE 桿的角位移φ1、φ4為獨(dú)立變量，構(gòu)成完整的多剛體系統(tǒng)，通過(guò)Kane 方程來(lái)描述系統(tǒng)。e1、e2、e3表示x、y、z 方向上的單位向量。

圖1 雙腳支撐機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

由Kane 方程廣義速率

由機(jī)構(gòu)封閉矢量圖1 可得

對(duì)上式求導(dǎo)后可得，

同理得

同理可求得，

廣義主動(dòng)力F1和F2為

式中:F 為阻力;MA、ME為驅(qū)動(dòng)力矩。

2 仿人機(jī)器人建模

2.1 機(jī)器人的基本外形尺寸

仿人機(jī)器人在設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮的首要問(wèn)題是組成機(jī)器人的各部分的尺寸比例需要符合人體的比例。圖2 給出了人體各部分的尺寸相對(duì)于身高的比例圖。這里僅作為仿人機(jī)器人外形尺寸的參考［4］。

圖2 仿人機(jī)器人各個(gè)部位相對(duì)于身高的比例圖(H 為人體身高)

根據(jù)人體的比例標(biāo)準(zhǔn)，假設(shè)人體身高是H，那么髖部關(guān)節(jié)距離足部為0.53H，其中，踝關(guān)節(jié)與足部距離是0.03H，大腿和小腿各為0.25H;人體肩部與足部的距離為0.83H，上臂的長(zhǎng)度為0.18H，下臂的長(zhǎng)度則為0.14H;頭部的高度是0.13H，兩肩膀之間的距離為0.23H，兩髖部間距為0.2H。參照以上的尺寸比例，確定機(jī)器人的各個(gè)部位的基本外形尺寸，如表1所示。

表1 人體身高1 600 mm 時(shí)，各部位的外形尺寸

2.2 SimMechanics 仿真模型的建立

SimMechanics 主要應(yīng)用于機(jī)械系統(tǒng)的剛體運(yùn)動(dòng)仿真，在SimMechanics 模塊集中具有模擬旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、平移運(yùn)動(dòng)、固定焊接等運(yùn)動(dòng)模塊，可以方便地定義剛體的質(zhì)量屬性和運(yùn)動(dòng)屬性。首先根據(jù)仿人機(jī)器人的身體結(jié)構(gòu)，在SimMechanics 工具箱中選取需要的模塊，然后按照剛體(body)—關(guān)節(jié)(Joint)—?jiǎng)傮w—關(guān)節(jié)—?jiǎng)傮w的方式組合在一起，形成一個(gè)完整的結(jié)構(gòu)。最后添加上必要的驅(qū)動(dòng)模塊(Actuator)和傳感模塊(Sensor)，這樣得到了機(jī)構(gòu)的模型框圖。依據(jù)機(jī)器人對(duì)稱的結(jié)構(gòu)，分為主軀體模型、頭部模型、胳膊模型和腿足部模型。因?yàn)槿祟愒谛凶哌^(guò)程中，兩只腳輪流作為基座，人體的重心會(huì)發(fā)生一些變化，機(jī)器人真實(shí)的運(yùn)動(dòng)十分復(fù)雜。在此，以保持主軀體的重心穩(wěn)定為前提，建立簡(jiǎn)化的仿真模型。

2.2.1 剛體質(zhì)量屬性的計(jì)算

在body 模塊中，需要定義剛體的質(zhì)量、慣量矩陣、位置參數(shù)。機(jī)器人的質(zhì)量可以根據(jù)材料密度與體積的關(guān)系得到，位置參數(shù)由仿人機(jī)器人的基本外形尺寸得出。慣量矩陣屬于剛體的重要參數(shù)，對(duì)于不規(guī)則的剛體形狀，慣量矩陣的計(jì)算比較復(fù)雜，通常借助常見(jiàn)的三維繪圖軟件如Proe、Solidworks、UG 等得到，該仿人機(jī)器人經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后，構(gòu)件形狀規(guī)則，便于計(jì)算。

(1)細(xì)直桿的慣量矩陣

其中:細(xì)直桿在z 軸方向的長(zhǎng)度為L(zhǎng)。

(2)長(zhǎng)方體的慣量矩陣

其中:a、b、c 分別為x、y、z 方向上的邊長(zhǎng)。

2.2.2 各部分模塊框圖

胳膊模型是由上臂與主軀體的轉(zhuǎn)動(dòng)副、上臂與下臂之間的轉(zhuǎn)動(dòng)副連接構(gòu)成，模型框圖見(jiàn)圖3。

圖3 胳膊模型框圖

腿足部是一個(gè)比較復(fù)雜的模型結(jié)構(gòu)，它是整體模型的重要組成部分，由它完成機(jī)器人的步行過(guò)程。腿部SimMechanics 模型圖由3 個(gè)body 組成:大腿桿、小腿桿、足部，其中大腿與軀體通過(guò)旋轉(zhuǎn)副連接，大小腿之間為旋轉(zhuǎn)副連接，足部和小腿焊接在一起。另外，在大腿上增加一個(gè)電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)，作為大腿向前運(yùn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力。人體的腿部是一個(gè)并聯(lián)結(jié)構(gòu)，以右腿為例，腿部模型見(jiàn)圖4。

圖4 腿部結(jié)構(gòu)模型框圖

仿人機(jī)器人整體模型由各個(gè)部分的結(jié)構(gòu)模型圖組成，而每個(gè)部分的模型圖包含的模塊比較多，為了使整體模型能夠在Simlink 窗口界面顯示出來(lái)，將其他各個(gè)部分創(chuàng)建成子系統(tǒng)，在以下的仿人機(jī)器人整體模型框圖中，包含有頭部模型子系統(tǒng)(Head)、左臂模型子系統(tǒng)(Left arm)、右臂模型子系統(tǒng)(Right arm)、左腿模型子系統(tǒng)(Left leg)、右腿模型子系統(tǒng)(Right leg)幾個(gè)部分，圖5 為仿人機(jī)器人整體模型框圖。

圖5 仿人機(jī)器人整體模型框圖

3 仿真結(jié)果及分析

按照?qǐng)D5 的整體模型圖，給該機(jī)械系統(tǒng)輸入60 s的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，可以觀察仿人機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程，以及更加直觀地顯示出它在不同時(shí)刻的狀態(tài)。在Simlink 工作界面的參數(shù)設(shè)置里，將更新與動(dòng)畫(huà)設(shè)置打開(kāi)，在仿真中，會(huì)彈出仿人機(jī)器人的三維動(dòng)畫(huà)窗口。圖6 為仿人機(jī)器人的三維動(dòng)畫(huà)圖，圖7 為仿人機(jī)器人的行走過(guò)程圖，圖中機(jī)器人是沿著y 軸方向前進(jìn)。象。在10 s 和20 s 階段，主軀體的重心與腿部保持了一致性，當(dāng)行走了45 s 后發(fā)現(xiàn)重心前移，此時(shí)，機(jī)器人屬于向前大步加速前進(jìn)，這基本符合了人體行走的過(guò)程。

圖6 仿人機(jī)器人的三維動(dòng)畫(huà)圖

圖7 仿人機(jī)器人行走過(guò)程

圖8 仿人機(jī)器人不同時(shí)刻的狀態(tài)圖(側(cè)視)

根據(jù)圖8 機(jī)器人在不同時(shí)刻的狀態(tài)，可以得出:在給定機(jī)器人合適的驅(qū)動(dòng)力和控制函數(shù)，就能夠保證機(jī)器人在步行過(guò)程中的穩(wěn)定性，避免身體發(fā)生傾覆現(xiàn)

在SimMechanics 機(jī)器人的整體框圖中，通過(guò)to workspace 模塊將軀體重心的變化輸入到Matlab 主界面中，調(diào)用Figure 窗口，可以清晰地描繪出主軀體重心的角加速度在3 個(gè)方向上的曲線變化圖，見(jiàn)圖9。圖中曲線變化表明，仿人機(jī)器人在行走過(guò)程中，角加速度在z 軸方向改變量微小，隨著左右腿的輪流作為支撐腿，重心在x 軸反向得到一個(gè)波動(dòng)圖，y 方向上的變化值也很小。

圖9 仿人機(jī)器人軀體重心的角加速度

機(jī)器人的支腿模型圖中，將足部與小腿焊接在一起，在足部剛體模塊上添加了位移傳感器，將數(shù)據(jù)傳入工作界面中，得到圖10。由圖10 可知，機(jī)器人在y 方向上并非勻速運(yùn)動(dòng)，速度在逐漸增加。使機(jī)器人保持勻速前進(jìn)，是接下來(lái)研究的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容。

圖10 仿人機(jī)器人足部速度

機(jī)器人的轉(zhuǎn)向是通過(guò)上身與腿部之間的髖部來(lái)實(shí)現(xiàn)的，髖部在以z 軸的旋轉(zhuǎn)中承受著扭矩的作用，文中仿人機(jī)器人是實(shí)現(xiàn)直線行走，在腿部的擺動(dòng)中，髖部并不是作純擺動(dòng)，為了使機(jī)器人沿y 方向直線前進(jìn)，因此它的髖部需承受幾個(gè)方向上的反扭矩作用，從而保持行進(jìn)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。圖11 為機(jī)器人在給定的時(shí)間內(nèi)髖部所承受的扭矩大小。

圖11 仿人機(jī)器人髖部的計(jì)算扭矩及各方向上的反扭矩

4 結(jié)論

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對(duì)于預(yù)定的輸入信號(hào)，仿人機(jī)器人的末端執(zhí)行器能夠按照預(yù)期的方式進(jìn)行平穩(wěn)連續(xù)的運(yùn)動(dòng)。各關(guān)節(jié)的力矩和速度都在工作范圍內(nèi)，足部對(duì)地面的接觸也屬于柔性沖擊，主軀體的重心變化平穩(wěn)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程連貫，達(dá)到了仿真要求。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，在機(jī)械系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及仿真優(yōu)化過(guò)程中，Matlab/SimMechanics 軟件相比普通的數(shù)值計(jì)算方法有很大的優(yōu)勢(shì)。在接下來(lái)的研究中，將根據(jù)更加精確的人體步態(tài)軌跡，推導(dǎo)驗(yàn)證出控制機(jī)器人各部位運(yùn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)函數(shù)，最后得到最優(yōu)化的仿人機(jī)器人運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果。

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