劉洋洋，楊朝星，陸宇平

（南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210016）

空中加油出現(xiàn)于上世紀(jì)初，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，該技術(shù)日臻成熟，目前主要有兩種典型形式：軟式（插頭-錐管式）空中加油和硬式（伸縮管式）空中加油[1]。目前國外學(xué)者對(duì)硬式加油系統(tǒng)建模已有研究[2-3]，所建模型也較為精確，但其對(duì)加油機(jī)與伸縮管內(nèi)部的約束作用沒有做具體分析。國內(nèi)有學(xué)者對(duì)伸縮管在大氣擾動(dòng)下進(jìn)行了單獨(dú)建模[4]；也有學(xué)者基于簡化的加油系統(tǒng)模型，運(yùn)用反饋線性化[5]、非對(duì)消解耦[6]、特征結(jié)構(gòu)配置[7]等方法研究了伸縮管縱向與橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)的解耦問題。

本文結(jié)合國內(nèi)外學(xué)者的相關(guān)研究，用牛頓-歐拉法建立了硬式空中加油未對(duì)接系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。所建模型將加油機(jī)考慮在內(nèi)，比文獻(xiàn)[4]的研究成果更加完整；另外，由于考慮了系統(tǒng)的約束作用，當(dāng)加油機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變時(shí)，模型能夠反映伸縮管運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化，比文獻(xiàn)[5-7]中的簡化模型更接近實(shí)際加油系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性；基于以上優(yōu)點(diǎn)，本文的研究成果能夠?yàn)榭罩屑佑臀磳?duì)接系統(tǒng)的控制方案設(shè)計(jì)提供一個(gè)更好的模型和比較完整的驗(yàn)證依據(jù)，更具實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值。

1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)系定義

1.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

硬式空中加油系統(tǒng)由加油機(jī)、伸縮管、受油機(jī)組成，本次建立未對(duì)接系統(tǒng)的模型，不考慮受油機(jī)，把加油機(jī)看成1號(hào)剛體，伸縮管看成2號(hào)剛體。伸縮管通過萬向節(jié)與加油機(jī)機(jī)腹相連，其圍繞加油機(jī)進(jìn)行俯仰和滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

伸縮管的具體結(jié)構(gòu)見圖1，由伸縮主管、外伸管、方向舵、升降舵等組成，其結(jié)構(gòu)左右對(duì)稱，伸縮管與加油機(jī)固連的一端稱為管頭，另一端稱為管尾。

圖1 伸縮管結(jié)構(gòu)Fig.1 Boom’s structure

1.2 坐標(biāo)系定義

伸縮管管體坐標(biāo)系O2X2Y2Z2：取伸縮管與加油機(jī)的鉸接點(diǎn)O2作為原點(diǎn)，坐標(biāo)系與管體固連，O2X2與管體軸線平行并指向管頭，O2Y2垂直于伸縮管的對(duì)稱平面并指向管體右方，O2Z2在伸縮管對(duì)稱面內(nèi)與O2X2垂直并指向管體下方。

設(shè)!e、1

地面坐標(biāo)系O0X0Y0Z0按慣性系定義，加油機(jī)機(jī)體坐標(biāo)系O1X1Y1Z1按常規(guī)飛機(jī)所建立的歐美坐標(biāo)系[8]定義。 設(shè) i→、j→、k軋分別為機(jī)體系O1X1軸、O1Y1軸、O1Z1軸的單位向量。

加油機(jī)機(jī)體坐標(biāo)系與伸縮管管體坐標(biāo)系的關(guān)系見圖2，其中，C為伸縮管的質(zhì)心，γ1為伸縮管繞其俯仰軸轉(zhuǎn)過的角度，即管體系O2X2軸與機(jī)體系O1X1軸的夾角，管頭向上為正；γ2為伸縮管繞其滾轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度，即管體系O2Y2軸與機(jī)體系O1Y1軸的夾角，右滾轉(zhuǎn)為正。

圖2 坐標(biāo)系關(guān)系示意圖Fig.2 The general view of coordinate system

1.3 相關(guān)角度定義

伸縮管管體坐標(biāo)系相對(duì)于加油機(jī)機(jī)體坐標(biāo)系的3個(gè)角定義為 俯仰角θ21：管體系O2X2軸與O1X1Y1平面所成的角，管頭向上為正。

偏航角ψ21：管體系O2X2軸在O1X1Y1平面的投影與O1X1軸的夾角，管尾左偏為正。

滾轉(zhuǎn)角φ21：管體系O2Z2軸與O2X2軸、O1Z1軸所組成的平面的夾角，右滾轉(zhuǎn)為正。

加油機(jī)的俯仰角 θ1、偏航角 ψ1、滾轉(zhuǎn)角 φ1、迎角 α1、側(cè)滑角β1按照常規(guī)飛機(jī)對(duì)應(yīng)角度定義[8]。伸縮管的俯仰角θ2、偏航角 ψ2、滾轉(zhuǎn)角 φ2、迎角 α2、側(cè)滑角 β2類似于常規(guī)飛機(jī)對(duì)應(yīng)角度的定義。

根據(jù)以上定義，可得出各坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，機(jī)體系到地面系的轉(zhuǎn)換矩陣與常規(guī)飛機(jī)到地面的轉(zhuǎn)換矩陣相同；管體系到地面系的轉(zhuǎn)換矩陣類似于機(jī)體系到地面系的轉(zhuǎn)換矩陣。伸縮管圍繞加油機(jī)做俯仰和滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，可得機(jī)體系到管體系的轉(zhuǎn)換矩陣，另外，也可以用θ21、ψ21、φ21表示機(jī)體系到管體系的轉(zhuǎn)換矩陣。

2 牛頓-歐拉法動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)

2.1 建模假設(shè)

伸縮管本身是一個(gè)具有三自由度的剛體，但由于俯仰和滾轉(zhuǎn)是伸縮管運(yùn)動(dòng)的主要模態(tài)，且伸縮運(yùn)動(dòng)對(duì)模型結(jié)構(gòu)影響不大，建模時(shí)可以先不考慮伸縮管的伸縮運(yùn)動(dòng)。本次建模不考慮大氣紊流和干擾風(fēng)梯度對(duì)系統(tǒng)的影響。

2.2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)

2.2.1 伸縮管的力方程組

伸縮管所受的力包括重力、空氣動(dòng)力、加油機(jī)對(duì)其的約束力，求出這3個(gè)力在管體系中的分量，運(yùn)用牛頓第二定理可求出伸縮管的力方程組。

2.2.2 伸縮管的力矩方程組

伸縮管受到的外力對(duì)質(zhì)心的力矩有空氣動(dòng)力矩、約束力產(chǎn)生的力矩、約束力偶矩。

約束力偶矩M→12方向垂直于俯仰軸和滾轉(zhuǎn)軸所組成的平面，其大小設(shè)為 Mk，則

設(shè)伸縮管質(zhì)心在管體系下的坐標(biāo)為（-rc0 0），則約束力產(chǎn)生的力矩為

根據(jù)動(dòng)量矩定理可得伸縮管的力矩方程組為

2.2.3 伸縮管的運(yùn)動(dòng)方程組

依據(jù)飛機(jī)相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)方程組的推導(dǎo)過程，可得伸縮管相對(duì)飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程組為

2.2.4 加油機(jī)的力方程組

加油機(jī)所受的力包括重力、空氣動(dòng)力、發(fā)動(dòng)機(jī)推力，伸縮管對(duì)其的約束力，求出這4個(gè)力在機(jī)體系中的分量，運(yùn)用牛頓第二定理可求出加油機(jī)的力方程組。

2.2.5 加油機(jī)的力矩方程組

加油機(jī)受到的外力對(duì)質(zhì)心的力矩有空氣動(dòng)力矩、約束力產(chǎn)生的力矩、力偶矩。

力偶矩M→21在機(jī)體系下為

設(shè)伸縮管鉸接點(diǎn)在機(jī)體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為 （x10 z1），則約束力矩為

根據(jù)動(dòng)量矩定理可得加油機(jī)的力矩方程組為

其中，Lˉ1、M1、N1和 f1x、 f1y、 f1z，分別為空氣動(dòng)力矩和約束力在機(jī)體系 3個(gè)軸的分量，p1、q1、r1為加油機(jī)的角速度 Ω1在機(jī)體系 3 個(gè)軸的分量，ci（i=1，2，...，9）是與加油機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積相關(guān)的系數(shù)[8]。

2.3 約束方程與解約束

2.3.1 系統(tǒng)約束方程

設(shè)伸縮管與加油機(jī)的相對(duì)速度為v→21，由加油機(jī)的質(zhì)心速度v→1和伸縮管質(zhì)心速度v→2的關(guān)系可得

對(duì)式（8）求導(dǎo)整理可得

相對(duì)速度可由下式表示

運(yùn)用牛頓第二定理求出式（9）等號(hào)左邊的項(xiàng)，將各項(xiàng)求導(dǎo)表達(dá)式轉(zhuǎn)換在機(jī)體系下，可得出約束方程。

2.3.2 系統(tǒng)約束求解

下文推導(dǎo)過程中出現(xiàn)的 Bi（i=0，...9）、B˙j（j=0，...5）是 θ21、ψ21的函數(shù)表達(dá)式，D0是 p1、q1、r1、q2、r2、θ21、ψ21的函數(shù)表達(dá)式，介于篇幅，不再詳細(xì)列出。

由機(jī)體系到管體系的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得

對(duì)式（12）求導(dǎo)可得

將式（4）代入并化簡可得

對(duì)（14）求導(dǎo)可得

將式（3）、（7）代入式（15）化簡可得

將式（3）、（7）、（16）代入約束方程中，運(yùn)用克萊姆法則可求解出約束力，將求解出的約束力代入式（16），可求解出約束力矩。至此，系統(tǒng)解約束完成。

對(duì)式（10）求導(dǎo)可得

3 模型仿真分析

加油機(jī)的質(zhì)量與伸縮管的質(zhì)量比約為250:1，飛行高度約為6 000 m，飛行馬赫數(shù)約為0.4。用加油機(jī)迎角、平尾偏度、油門偏度、伸縮管升降舵偏度進(jìn)行配平。配平狀態(tài)下加油機(jī)的俯仰角為1.833 5°，伸縮管的俯仰角為30°。

3.1 加油機(jī)對(duì)伸縮管的影響

3.1.1 加油機(jī)對(duì)伸縮管縱向運(yùn)動(dòng)的影響

系統(tǒng)初始狀態(tài)處于平衡點(diǎn)，起始時(shí)刻正偏加油機(jī)升降舵1°，維持一秒后恢復(fù)至平衡處。θ1與s1的響應(yīng)曲線如圖3所示。

圖3 加油機(jī)升降舵引起的系統(tǒng)俯仰角響應(yīng)Fig.3 Response curve of pitch angle caused by the tanker’s elevator

3.1.2 加油機(jī)對(duì)伸縮管橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)影響

系統(tǒng)初始狀態(tài)處于平衡點(diǎn)，起始時(shí)刻正偏加油機(jī)方向舵1°，維持一秒后恢復(fù)至平衡處。φ1與γ2的響應(yīng)曲線如圖4所示。

圖4 加油機(jī)方向舵引起的系統(tǒng)滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)Fig.4 Response curve of roll angle caused by the tanker’s rudder

由圖可見，正如前文所述，加油機(jī)的受擾運(yùn)動(dòng)對(duì)伸縮管的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生了很大的影響。在飛行過程中，加油機(jī)的舵面即使有較小變化，其影響傳遞至伸縮管都可能成倍放大。

3.2 伸縮管對(duì)加油機(jī)的影響

3.2.1 伸縮管對(duì)加油機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)的影響

系統(tǒng)初始狀態(tài)處于平衡點(diǎn)，起始時(shí)刻正偏伸縮管升降舵5°并保持。θ1與γ1的響應(yīng)曲線如圖5所示。

3.2.2 伸縮管對(duì)加油機(jī)橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)影響

系統(tǒng)初始狀態(tài)處于平衡點(diǎn)，起始時(shí)刻正偏伸縮管方向舵5°并保持。φ1與γ2的響應(yīng)曲線如圖6所示。

由圖可見，伸縮管舵面偏轉(zhuǎn)，其相應(yīng)角運(yùn)動(dòng)有較大的變化，加油機(jī)相應(yīng)的角運(yùn)動(dòng)變化遠(yuǎn)不及伸縮管顯著，說明伸縮管確實(shí)對(duì)加油機(jī)的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生了影響，但由于二者質(zhì)量懸殊，該影響并不明顯。

3.3 伸縮管的運(yùn)動(dòng)耦合

系統(tǒng)初始狀態(tài)處于平衡點(diǎn)，起始時(shí)刻正偏伸縮管的升降舵2°并保持，在第15 s時(shí)正偏其方向舵5°并保持。γ1與γ2的響應(yīng)曲線如圖7所示。

圖5 伸縮管升降舵引起的系統(tǒng)俯仰角響應(yīng)Fig.5 Response curve of pitch angle caused by th boom’s elevator

圖6 伸縮管方向舵引起的系統(tǒng)滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)Fig.6 Response curve of roll angle caused by the boom’s rudder

圖7 伸縮管舵面偏轉(zhuǎn)時(shí)其角運(yùn)動(dòng)響應(yīng)Fig.7 Response curve of boom’s anglemovement caused by its rudder and elevator

由圖可見，由于伸縮管方向舵的偏轉(zhuǎn)，其俯仰角響應(yīng)在穩(wěn)定后又出現(xiàn)較強(qiáng)的振蕩現(xiàn)象，說明伸縮管的橫向與縱向運(yùn)動(dòng)間存在耦合；另外，伸縮管角運(yùn)動(dòng)響應(yīng)振蕩收斂，說明伸縮管具有穩(wěn)定性，但阻尼比較低，動(dòng)態(tài)特性較差。

4 結(jié) 論

本文將硬式空中加油未對(duì)接系統(tǒng)視作由加油機(jī)和伸縮管通過萬向節(jié)連接而成的兩剛體系統(tǒng)，分析了兩剛體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，由其質(zhì)心速度關(guān)系得出系統(tǒng)約束方程，根據(jù)萬向節(jié)的結(jié)構(gòu)及安裝特點(diǎn)，對(duì)約束方程進(jìn)行求解，建立了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程?；谒Ｐ偷奶攸c(diǎn)，在下一步設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制律時(shí)應(yīng)考慮加油機(jī)所受擾動(dòng)及伸縮管運(yùn)動(dòng)解耦等問題。

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