魏 嬌 ， 屈 毅 ，2

（1.咸陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電子信息系，陜西 咸陽(yáng) 712000；2.蘭州理工大學(xué) 電氣工程與信息工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050）

在近三十年來(lái)，隨機(jī)系統(tǒng)控制理論是控制科學(xué)與工程研究領(lǐng)域中的一個(gè)重要方向。經(jīng)眾多學(xué)者多年的研究和發(fā)展，隨機(jī)系統(tǒng)控制已具有完善的理論架構(gòu)和理論體系，廣泛的應(yīng)用于工業(yè)控制中。該理論研究的對(duì)象是采用微分方程（或差分方程）描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)[1-9]。目前，隨機(jī)系統(tǒng)控制研究的主要成果有線(xiàn)性高斯二次型、馬爾可夫參數(shù)控制、最小方差控制、自校正控制等內(nèi)容，其研究的目的是系統(tǒng)變量的統(tǒng)計(jì)特性，即通過(guò)系統(tǒng)輸出均值和方差等統(tǒng)計(jì)特性來(lái)研究系統(tǒng)的性能指標(biāo)。但是，當(dāng)噪聲或者干擾不服從高斯分布，系統(tǒng)輸出方差和均值就不能描述系統(tǒng)特性。2000年，英國(guó)曼徹斯特大學(xué)王宏教授針對(duì)造紙過(guò)程中隨機(jī)變量不服從高斯分布的假設(shè)，提出了系統(tǒng)輸出概率密度函數(shù)形狀控制策略[4-5，9]。近十年來(lái)，輸出PDF分布控制在的建模和控制算法上有待于完善。我們稱(chēng)輸出PDF不服從高斯分布的系統(tǒng)稱(chēng)為非高斯隨機(jī)分布系統(tǒng)（NGSDS），其對(duì)應(yīng)的控制策略稱(chēng)之為非高斯隨機(jī)分布控制（NGSDC）[9]。

式中ε（·，·）為非線(xiàn)性函數(shù)。但在實(shí)際應(yīng)用中，該模型的應(yīng)用十分困難。因?yàn)殡m然由機(jī)理模型可得偏微分方程，但是模型包含了復(fù)雜的自然特性，此外，即使從機(jī)理模型得到了偏微分方程，但是控制算法的獲得以及實(shí)現(xiàn)仍然較為困難[2，3，9]。

如能獲到系統(tǒng)變量的概率密度函數(shù)γ（y，t），則上述問(wèn)題可迎刃而解。當(dāng)噪聲或者干擾為高斯過(guò)程時(shí)，則控制系統(tǒng)輸出PDF可認(rèn)為是高斯隨機(jī)過(guò)程下的PDF控制。但是，當(dāng)噪聲或者干擾不服從高斯分布，系統(tǒng)輸出方差和均值就不能描述系統(tǒng)特性。

通過(guò)對(duì)造紙過(guò)程，化工生產(chǎn)過(guò)程、食品加工過(guò)程中的顆粒尺寸分布（PSD）控制和結(jié)晶過(guò)程控制等非高斯隨機(jī)分布系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)進(jìn)行抽象，進(jìn)而可得到圖1所示的非高斯隨機(jī)分布系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。

在圖1中，非高斯隨機(jī)分布系統(tǒng)輸出為概率密度函數(shù)，

在研究隨機(jī)系統(tǒng)控制時(shí)，假設(shè)系統(tǒng)變量服從高斯分布或者對(duì)稱(chēng)分布。然而，在爐腔燃燒的火焰分布、造紙中的紙張纖維長(zhǎng)度分布、糧食加工中的顆粒尺寸分布、化工生產(chǎn)中的分子量分布等許多工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中，系統(tǒng)變量不服從高斯分布的假設(shè)條件。

在上述工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中，系統(tǒng)變量的分布與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變化緊密相關(guān)，但是這些系統(tǒng)變量不滿(mǎn)足高斯分布。依據(jù)概率知識(shí)，系統(tǒng)變量的分布可由概率密度函數(shù)來(lái)描述。概率密度函數(shù)γ（y，t）的動(dòng)態(tài)變化可偏微分方程表示，即

1 問(wèn)題描述

在隨機(jī)系統(tǒng)控制研究中，其前提是假設(shè)系統(tǒng)中的變量服從高斯分布，例如，在研究最小方差控制時(shí)，其控制目標(biāo)是使閉環(huán)系統(tǒng)具有最小方差，即

J=min var（y（t）-r（t））

圖1 非高斯隨機(jī)分布系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Non-Gaussian random distribution system architecture

式中 y（t）是系統(tǒng)輸出，r（t）表示參考值，var（·）是方差函數(shù)。擾動(dòng)和噪聲可以為任意分布的隨機(jī)過(guò)程，控制輸入為常規(guī)意義的輸入。對(duì)于 NGSDS，控制目標(biāo)是使系統(tǒng)輸出PDF追蹤目標(biāo)PDF，它突破了隨機(jī)系統(tǒng)控制研究的局限性，比隨機(jī)系統(tǒng)控制僅研究系統(tǒng)輸出均值和方差更具有普遍性和適用性。

2 優(yōu)化控制算法

2.1 建立平方根B樣條逼近模型

定義 v（t）∈[a，b]是一致連續(xù)隨機(jī)變量，表示非高斯隨機(jī)分布系統(tǒng)的輸出；u（t）∈Rn×1表示系統(tǒng)的控制輸入，控制變量v（t）的概率分布。在任何時(shí)刻，v（t）可通過(guò)其概率密度函數(shù)γ（y，u（t））來(lái)表示，即

式中 P（a＜v（t）＜y，u（t））是當(dāng) u（t）應(yīng)用于非高斯隨機(jī)分布系統(tǒng)時(shí)，隨機(jī)變量v（t）的輸出PDF。這就意味著系統(tǒng)的輸出PDFγ（y，u（t））受系統(tǒng)控制輸入 u（t）的控制。

假設(shè)定義區(qū)間[a，b]是已知的，概率密度函數(shù) γ（y，u（t））是一致連續(xù)有界，使用B樣條函數(shù)逼近，則系統(tǒng)輸出PDF的表達(dá)式為

非高斯隨機(jī)分布系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)部分由連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)表示，則其表達(dá)式如下

式中 A∈R（n-1）×（n-1）和 B∈R（n-1）×m是未知的參數(shù)矩陣，V（t）=（v1，v2，…，vn-1）是狀態(tài)向量，w（t）∈Rn-1是外界干擾，C（y），L（t）的定義如下

對(duì)于 y∈[a，b]，進(jìn)一步可獲得

假設(shè)存在一個(gè)正定常數(shù)δ，滿(mǎn)足如下表達(dá)式

2.2 自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)

在研究非高斯隨機(jī)分布控制時(shí)，控制算法設(shè)計(jì)的目的是選擇輸入 u（t）使系統(tǒng)輸出 PDF 跟蹤目標(biāo) PDFγg（y），即

為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出PDF追蹤目標(biāo)PDF，定義目標(biāo)PDF表示如下

式中 ci（y）是基函數(shù)向量 C（y）的第 i個(gè)元素，wi（i=1，2，…，n-1）是已知常量。這表示著存在向量Vg∈Rn-1，使目標(biāo)PDFγg（y）表示如下

在非高斯隨機(jī)分布系統(tǒng)控制中，為獲得好的動(dòng)態(tài)性能，權(quán)值V（t）應(yīng)追蹤目標(biāo)權(quán)值Vg，Vg可從如下參考模型中得到

式中 Am∈R（n-1）×（n-1）和 Bm∈R（n-1）×m是已知矩陣，r∈Rm是已知常量。

Am是穩(wěn)定矩陣，使下列表達(dá)式成立

這表示確定系統(tǒng)控制輸入 u（t），使 V（t）逼近 Vm（t）。定義

則，可得到誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

為了使誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（11）漸近穩(wěn)定，可構(gòu)造如下控制算法[1]

式中 K（t）∈Rm×（n-1）和 Q∈Rm×m已確定的自適應(yīng)調(diào)整增益矩陣，γ（y，u（t））是可測(cè)的系統(tǒng)輸出 PDF，D（y）∈Rn-1是定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)向量，控制輸入 u（t）與 PDFγ（y，u（t））的積分相關(guān)，定義性能指標(biāo)為

系統(tǒng)性能指標(biāo)取決于系統(tǒng) PDFγ（y，u（t））的權(quán)值積分。為了簡(jiǎn)化表達(dá)式，定義

存在兩個(gè)常數(shù)矩陣 K0∈Rm×（n-1）和 Q0∈Rm×m，使下面的條件成立

由系統(tǒng)（3）和（13），可得非高斯隨機(jī)分布閉環(huán)系統(tǒng)為

由式（13），（16），（17）可得到誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

由于 V（t）是不可測(cè)的，e（t）也是不可測(cè)的，則 e（t）不能在自適應(yīng)調(diào)整算法中使用。必須構(gòu)造一個(gè)信號(hào)可在自適應(yīng)調(diào)整算法中使用，則構(gòu)造的信號(hào)為

式中D0（y）∈Rm是一個(gè)已確定的函數(shù)向量，則可看出信號(hào)

定義

則式（22）可表示為

誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可進(jìn)一步表示為

式中除了 e（t），φ（t）和 ξ（t）外，所有參數(shù)信息都是可測(cè)得。

3 參數(shù) K（t），Q（t）的調(diào)整規(guī)則

在建立非高斯隨機(jī)分布誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（23）之后，接著就需要設(shè)計(jì)非高斯隨機(jī)分布系統(tǒng)的控制算法.為了設(shè)計(jì)K（t），Q（t）的調(diào)整規(guī)則，本文主要研究在噪聲干擾不存在的情況下，通過(guò)文獻(xiàn)[1，2]直接引出 K（t），Q（t）控制算法。

定理 1:假設(shè)Ⅰ式（10），式（16）成立；Ⅱ矩陣 Am穩(wěn)定和滿(mǎn)足 ω（t）=0；Ⅲ存在定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)向量 D0（y）和一個(gè)正定矩陣P，使表達(dá)式

成立，則自適應(yīng)調(diào)整規(guī)則

成立，式（24），式（26）中的參數(shù)變量一致連續(xù)有界且

當(dāng)定理1中的條件滿(mǎn)足時(shí)，非高斯隨機(jī)分布閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定，可實(shí)現(xiàn)式（7）的追蹤性能指標(biāo)。

自適應(yīng)調(diào)整控制算法可通過(guò)以下步驟實(shí)現(xiàn)：

1）選擇 D0（y）使條件（25）滿(mǎn)足；

2）采集控制輸入u（t），和由系統(tǒng)輸出獲得概率密度函數(shù)γ（y，u（t））；

3）利用方程（5）計(jì)算 f（y，u）和參考模型輸出 Vm（t）；

4）利用方程（22）計(jì)算 ε（t）

5）利用方程（26），計(jì)算增益 K（t），Q（t）

6）利用方程（13），計(jì)算 u（t）

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)非高斯連續(xù)隨機(jī)分布系統(tǒng)提出了一種優(yōu)化控制算法。首先建立非高斯隨機(jī)分布系統(tǒng)輸出概率密度函數(shù)的模型，接著通過(guò)系統(tǒng)性能指標(biāo)得出優(yōu)化控制算其轉(zhuǎn)化為性能指標(biāo)最小化問(wèn)題以及系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。該控制算法具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性和較好的追蹤性能，使非高斯隨機(jī)分布系統(tǒng)在滿(mǎn)足規(guī)定的性能指標(biāo)下，可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出概率密度函數(shù)追蹤目標(biāo)概率密度函數(shù)。

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