桂 堤,何麗萍,熊 輝

(湖北理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 黃石 435003)

平均首次通過時(shí)間(mean first passage time,MFPT)是隨機(jī)動(dòng)力學(xué)理論研究中的一個(gè)重要課題,用來描述非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)特性,已成為人們廣泛關(guān)注的研究課題。游敬云[1]等研究了乘法噪聲系數(shù)對雙穩(wěn)鋸齒系統(tǒng)逃逸率的影響;王兵[2]等研究了雙色噪聲驅(qū)動(dòng)非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)平均第一穿越時(shí)間;寧麗娟[3]等研究了色關(guān)聯(lián)噪聲驅(qū)動(dòng)的非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)中平均首次穿越時(shí)間;王國威[4]等研究了關(guān)聯(lián)噪聲和周期信號驅(qū)動(dòng)非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分析。

在之前的眾多研究當(dāng)中,只考慮了噪聲的各種關(guān)聯(lián)形式對系統(tǒng)的影響。由于噪聲也受信號的影響,考慮噪聲受信號的調(diào)制與實(shí)際更加吻合,而在此之前的研究討論噪聲受信號調(diào)制后對系統(tǒng)的影響較少。本文將討論受周期信號調(diào)制的白關(guān)聯(lián)的乘性噪聲與加性白噪聲驅(qū)動(dòng)下光學(xué)雙穩(wěn)系統(tǒng)的平均首次通過時(shí)間問題。

1 雙穩(wěn)系統(tǒng)的平均首次通過時(shí)間

考慮如下乘性白噪聲和加性白噪聲驅(qū)動(dòng)的光學(xué)雙穩(wěn)系統(tǒng)[5]：

(1)

式(1)中，c為雙穩(wěn)參數(shù),y0為激光輸入模,x為激光輸出模,ξ(t)、η(t) 分別為乘性噪聲和加性噪聲。設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的乘性噪聲ξ(t)受到周期信號Bcos(Ωt)的調(diào)制, 則有：

(2)

且ξ(t)、η(t) 滿足如下統(tǒng)計(jì)性質(zhì)[6]：

〈ξ(t)〉=〈η(t)〉=0,

〈ξ(t)ξ(t')〉=2Qδ(t-t')=γ11,

〈η(t)η(t')〉=2Dδ(t-t')=γ22,

(3)

式(2)～(3)中,B代表調(diào)制信號幅值,Ω代表調(diào)制信號頻率,Q代表泵噪聲ξ(t)的強(qiáng)度,D代表量子噪聲η(t) 的強(qiáng)度,λ代表噪聲間的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度,為一常量。

通過求解方程(1)～(3)可以得到該系統(tǒng)的福克-普朗克方程如下[7]：

(4)

由方程(4)求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)為：

(5)

U(x)=-Q[u(x)+v(x)+w(x)+z(x)]

(6)

式(5)～(6)中:

(7)

式(7)中，xs1和xs2代表穩(wěn)定點(diǎn),xu代表不穩(wěn)定點(diǎn)。

利用平均首次通過時(shí)間的定義和最陡下降法可得2個(gè)不同方向的平均首次通過時(shí)間的表達(dá)式為[5-8]：

(8)

(9)

式(8)～(9)中，V(x),B(x),U(x)及xs1,xs2,xu均與前文中定義相同。

2 各參量對平均首次通過時(shí)間的影響

利用2個(gè)不同方向的平均首次通過時(shí)間的表達(dá)式(8)和(9)，討論各參量分別對T+(xs1→xs2)和T-(xs2→xs1)的影響。

不同雙穩(wěn)參數(shù)c的取值對平均首次通過時(shí)間T+(xs1→xs2)和T-(xs2→xs1)隨輸入信號振幅B的變化曲線的影響如圖1所示,其他參數(shù)為：y0=6.07,λ=1,Q=3,D=2,Ω=0.001。從圖1(a)中可以看出, 在小B(B<0.6)范圍內(nèi), 平均首次通過時(shí)間T+(xs1→xs2)隨B值的增大迅速減小并趨于零, 在0.41.4范圍內(nèi),T+(xs1→xs2)隨B值的增大先迅速增大后逐漸減小,即出現(xiàn)一個(gè)極大值。隨著雙穩(wěn)參數(shù)c值的增大, 曲線整體下移, 且峰的位置向B值增大的方向移動(dòng)。從圖1(b)中可以看出, 平均首次通過時(shí)間T-(xs2→xs1) 隨B值的變化曲線與圖1(a)T+(xs1→xs2) 隨B值的變化曲線類似。隨著c值的增大,曲線先整體上移后整體下移,但峰的位置基本不變。這表明B對系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)xs2和系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到穩(wěn)態(tài)xs1的作用相同, 即隨著B值的增大,系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)xs2和系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到穩(wěn)態(tài)xs1所用的平均時(shí)間先變短, 然后變長, 最后又逐漸變短。c對系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)xs2和系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到穩(wěn)態(tài)xs1的作用不同,c值越大, 系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)xs2所用的平均時(shí)間越短;而隨著c值的增大,系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)xs1所用的平均時(shí)間先變長后變短。

(a) T+(xs1→xs2)隨B的變化曲線

(b) T-(xs2→xs1)隨B的變化曲線

不同輸入信號振幅B的取值對平均首次通過時(shí)間T+(xs1→xs2)和T-(xs2→xs1) 隨加性噪聲強(qiáng)度D的變化曲線的影響如圖2所示,其他參數(shù)為：c=4.95,λ=1,y0=6.07,Ω=0.001,Q=3。從圖2(a)中可以看出,平均首次通過時(shí)間T+(xs1→xs2)隨D值的增大逐漸增大。隨著B值的增大,曲線整體朝D值增大的方向移動(dòng)。固定D, 可以發(fā)現(xiàn),平均首次通過時(shí)間T+(xs1→xs2)隨B值的增大而減小。這說明D和B對系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)xs2所起的作用剛好相反,即B越大或D越小,系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)xs2所用的平均時(shí)間均越短。從圖2(b)中可以看出, 平均首次通過時(shí)間T-(xs2→xs1)隨D值的增大先增大后減小,即出現(xiàn)一個(gè)極大值。隨著B值的增大,曲線朝D值增大的方向移動(dòng),且極大值逐漸降低。這說明D和B對系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)xs1所起的作用不同,即隨D值的增大, 系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)xs1所用的平均時(shí)間先變長后變短,B值越大,系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)xs1所用的平均時(shí)間越短。

(a) T+(xs1→xs2)隨D的變化曲線

(b) T-(xs2→xs1)隨D的變化曲線

不同輸入信號振幅B的取值對平均首次通過時(shí)間T+(xs1→xs2)和T-(xs2→xs1)隨輸入信號頻率Ω的變化曲線的影響如圖3所示,其他參數(shù)為：c=4.95,λ=1,y0=6.07,D=2,Q=3。從圖3(a)中可以看出,平均首次通過時(shí)間T+(xs1→xs2)隨Ω作周期性等振幅的振蕩,隨著B值的增大,振蕩的幅值也增大, 但振蕩的周期和振蕩的平衡位置均不變。從圖3(b)中可以看出,平均首次通過時(shí)間T-(xs2→xs1)隨Ω出現(xiàn)周期性多峰振蕩,隨著B值的增大,振蕩的峰值逐漸增大,但峰值的位置不變。

(a) T+(xs1→xs2)隨Ω的變化曲線

(b) T-(xs2→xs1)隨Ω的變化曲線

比較圖3(a)和圖3(b)可以看出,Ω對系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)xs2和系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到穩(wěn)態(tài)xs1所起的作用不同,而B對系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)xs2和系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到穩(wěn)態(tài)xs1所起的作用相同,即系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)xs2所用的平均時(shí)間隨Ω作周期性等振幅振蕩,系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)xs1所用的平均時(shí)間隨Ω作周期性多峰振蕩;B值越大,系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)xs2和系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到穩(wěn)態(tài)xs1所用的平均時(shí)間均越長。

3 結(jié) 論

本文研究了信號調(diào)制關(guān)聯(lián)噪聲驅(qū)動(dòng)下光學(xué)雙穩(wěn)系統(tǒng)的平均首次通過時(shí)間問題， 在得到2個(gè)方向的平均首次通過時(shí)間的表達(dá)式的基礎(chǔ)上,討論了各個(gè)參量對平均首次通過時(shí)間的影響。研究發(fā)現(xiàn):①T+(xs1→xs2)和T-(xs2→xs1)均隨B值的增大先迅速減小并趨于零,接著保持不變,且中間出現(xiàn)間斷點(diǎn),然后迅速增大,最后逐漸減小,即出現(xiàn)一個(gè)極大值。②T+(xs1→xs2) 隨c值的增大,曲線整體下移,且峰的位置向B值增大的方向移動(dòng)。T-(xs2→xs1)隨c值的增大,曲線先整體上移后整體下移,但峰的位置基本不變。③T+(xs1→xs2)隨D值的增大單調(diào)上升,T-(xs2→xs1)隨D值的增大出現(xiàn)一個(gè)極大值。④T+(xs1→xs2)隨Ω作周期性等振幅的振蕩,T-(xs2→xs1)隨Ω出現(xiàn)周期性多峰振蕩。

參考文獻(xiàn)

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