鞏長(zhǎng)忠，蔡曉東

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

時(shí)變時(shí)延和非時(shí)延耦合的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)同步

鞏長(zhǎng)忠，蔡曉東

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

研究了2個(gè)帶有時(shí)變時(shí)延和非時(shí)延耦合的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)同步問(wèn)題，其中耦合矩陣不要求一定是對(duì)稱矩陣或不可約的。分別對(duì)具有相同和不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了研究，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，得到了幾種使2個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的充分條件。最后，數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；同步；時(shí)變時(shí)延；非時(shí)延；耦合

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題一直是許多應(yīng)用領(lǐng)域的研究焦點(diǎn)之一，目前主要研究網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及其動(dòng)力學(xué)行為。而在諸多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間存在著不可忽略的時(shí)間延遲，因此，許多文獻(xiàn)中都研究了帶有延遲的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步問(wèn)題。

利用網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)和線性矩陣不等式的方法，得到帶有時(shí)延耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的條件[1]，通過(guò)一些限制條件，來(lái)保證驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的誤差漸進(jìn)穩(wěn)定性，就可以使驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)在一般意義上達(dá)到同步[2]，這些研究都集中在了網(wǎng)絡(luò)內(nèi)同步問(wèn)題。對(duì)于帶有時(shí)延和非時(shí)延的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)自適應(yīng)控制器得到了廣義同步的一些充分條件[3]，自適應(yīng)同步的結(jié)果還可反應(yīng)到實(shí)踐中的動(dòng)力學(xué)行為上來(lái)[4]。這些研究考慮的時(shí)延都是定值，但在實(shí)際問(wèn)題中，時(shí)間延遲有時(shí)是一個(gè)時(shí)變函數(shù)，使系統(tǒng)更加復(fù)雜難以解決。

基于以上討論及Lyapunov穩(wěn)定性理論，研究了帶有時(shí)變時(shí)延和非時(shí)延的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步問(wèn)題，證明了可通過(guò)控制器的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)2個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步，且對(duì)于耦合矩陣，不要求配置矩陣是對(duì)稱或不可約的。文中首先描述了問(wèn)題模型，然后設(shè)計(jì)了控制器并給予證明，最后數(shù)值仿真也驗(yàn)證了方法的有效性。

1 問(wèn)題描述

假設(shè)一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)有N個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)是n維子系統(tǒng)，其模型表示如下

式（1）為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，帶有自適應(yīng)控制器的響應(yīng)系統(tǒng)模型為

其中：yi（t）=（yi1（t），yi2（t），…，yin（t））T∈Rn為響應(yīng)系統(tǒng)第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)向量；D=（dij）N×N∈RN×N為響應(yīng)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的外部耦合矩陣；函數(shù)f和矩陣A與系統(tǒng)（1）中意義相同；ui（t）為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的控制器。

系統(tǒng)（1）和（2）的初始條件為

其中：φi（t）和ψi（t）是定義在t∈[-τ（0），0]上的連續(xù)可微的向量函數(shù)。

定義1 假設(shè)xi（t；t0；φi）和yi（t；t0；ψi）（i=1，2，…，N）是系統(tǒng)（1）和（2）的解，其中φi=φi（t）∈C（[-τ（0），0]，Rn）和ψi=ψi（t）∈C（[-τ（0），0]，Rn）是初始條件，f∶R×Ω→Rn是連續(xù)可微的，Ω?Rn。若存在一個(gè)非空集Λ?Ω，φi在Λ上取值，使得xi（t；t0；φi）∈Ω，則對(duì)于任意t≥t0，i=1，2，…，N有

其中：‖·‖表示的是2-范數(shù)，則稱系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)（1）和（2）達(dá)到同步。

假設(shè)1 f（·）∈Rn滿足利普西斯條件，即存在一定值L使得

引理1 對(duì)于任意向量x，y∈Rn和可逆正定矩陣Q∈Rn×n，以下矩陣不等式成立[5]

定義誤差向量

可得誤差系統(tǒng)

顯然系統(tǒng)（1）和（2）的網(wǎng)絡(luò)同步問(wèn)題等同于誤差系統(tǒng)（9）的零解的穩(wěn)定性問(wèn)題。

2 主要結(jié)論

定理1 假設(shè)1成立，在不同的配置條件下，使得控制器設(shè)計(jì)如下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）可達(dá)到網(wǎng)絡(luò)同步。即

其中：δi是正常數(shù)。

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

由引理1可推導(dǎo)出

注釋1 控制器（10）中常數(shù)δi（i=1，2，…，N）的取值會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)同步速度，取值越大，同步速度越快。

推論1 假設(shè)1成立，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）未達(dá)到網(wǎng)絡(luò)同步，控制器可設(shè)計(jì)為

其中：δi是正常數(shù)，i=1，2，…，N。

推論2 假設(shè)1成立，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）有相同的配置，使則使兩個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的控制器可設(shè)計(jì)為

其中：δi是正常數(shù)。

3 數(shù)值仿真

使用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真來(lái)證明該方法的有效性。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，考慮6個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。對(duì)于f（x）選用Chaotic Lorenz系統(tǒng)[6-7]

其中：i=1，2，…，6；a=10；b=8/3；c=28；對(duì)于Chaotic Lorenz系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，滿足假設(shè)1的條件，對(duì)任意xi和xj存在一常數(shù)r使下式成立

圖1給出了誤差系統(tǒng)的仿真結(jié)果。圖中ei1（t）、ei2（t）、ei3（t）為兩網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)同步軌道的誤差，由圖可知誤差ei1（t）、ei2（t）、ei3（t）迅速收斂到0，也就是說(shuō)，兩系統(tǒng)達(dá)到了網(wǎng)絡(luò)同步。

圖1 在控制器（10）下的系統(tǒng)誤差ei1（t），ei2（t）,ei3（t）Fig.1 Synchionization errors ei1（t）,ei2（t）,ei3（t）under updating law(10)

再來(lái)考慮兩系統(tǒng)配置不同的情況，耦合矩陣取值為

其他參數(shù)與上一實(shí)驗(yàn)相同，根據(jù)推論1選擇控制器（10）。

4 結(jié)語(yǔ)

討論了耦合項(xiàng)和節(jié)點(diǎn)含有時(shí)變時(shí)延和非時(shí)延的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題?；贚yapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式，給出了網(wǎng)絡(luò)同步的充分條件，并給出兩個(gè)推論。為了證實(shí)有效性，利用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真。如圖1、圖2所示，網(wǎng)絡(luò)誤差曲線迅速收斂到0，說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)達(dá)到了同步狀態(tài)。數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性。

Adaptive synchronization of complex networks with time-varying delays and non-delay coupling

GONG Chang-zhong，CAI Xiao-dong
（College of Science，CAUC，Tianjin 300300，China）

The adaptive synchronization between two complex networks with time-varying delays and non-delays coupling is studied，which does not require that the coupling matrix is symmetric or irreducible.Based on stability theory of Lyapunov，several criteria for synchronization of two complex networks are obtained，considering the case of network topological structures.Finally，the results of numerical simulations can prove the criteria.

complex network；synchronization；time-varying delay；non-delay；coupling

TP273

：A

：1674-5590（2014）06-0048-04

2013-07-12；

：2013-10-15

：中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)（ZXH2012B003，ZXH2012K002）

鞏長(zhǎng)忠（1959—），男，山東蓬萊人，教授，博士，研究方向?yàn)榉蔷€性控制.