夏天翔， 姚衛(wèi)星， 許力蒲

(1.南京航空航天大學飛行器先進設計技術國防重點學科實驗室，南京210016;2.南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京210016)

工程結構在服役期間通常受到多軸變幅載荷的作用，疲勞累積損傷理論研究變幅載荷作用下疲勞損傷的累積規(guī)律與疲勞破壞準則，因此它對于疲勞壽命預測至關重要［1］。相比于多軸常幅疲勞壽命研究［2，3］，盡管近年來有關多軸疲勞累積損傷理論的研究取得了一些進展［4］，但是相關研究仍然較為有限。

現(xiàn)有多軸疲勞累積損傷模型有三種來源:(a)直接采用單軸情況的累積損傷模型:Miner理論［5］、Manson損傷曲線模型［6］、Morrow模型［7］等;(b)單軸累積損傷模型的改進:比如金丹［8］將非比例度參數(shù)引入到Manson損傷曲線模型中;(c)針對多軸情況提出的累積損傷模型:如Shamsaei模型［9］。這些多軸疲勞累積損傷理論都試圖涵蓋各種類型的多軸變幅載荷，但最終的效果并不理想。

階梯譜是多軸累積損傷研究中經(jīng)常使用的一類變幅載荷。雖然工程結構很少受階梯譜載荷作用，但是鑒于其形式簡單，載荷變化次數(shù)少，因此可以較好地顯示出累積損傷模型的預測能力。目前有關階梯譜下累積損傷理論的研究很多，但是未曾出現(xiàn)從階梯譜分類角度出發(fā)的研究。LY12CZ鋁合金作為一種常用的航空材料，目前相關的多軸累積損傷研究還較少。本工作首先對階梯譜進行了分類，然后選用比較常用的Miner理論、Morrow模型、Manson模型、金丹模型、尚德廣模型和Shamsaei模型等六種多軸累積損傷模型，對不同種類階梯譜下的LY12CZ鋁合金進行了累積損傷計算。之后，對六種累積損傷模型在各類階梯譜下的計算結果進行的分析討論，給出了它們在每種譜型下的表現(xiàn)情況。

1 階梯譜分類

兩級階梯譜由兩級載荷組成，第一級載荷循環(huán)n1次后，轉換到第二級載荷加載，直至材料失效。按照載荷路徑和幅值的變化情況，它可以分為:(a)恒路徑變幅譜(CP-VA)，(b)變路徑常幅譜(VPCA)，(c)變路徑變幅譜(VP-VA)。

恒路徑變幅譜所包含的各級載荷的路徑完全相同，但是幅值不同。按照載荷的非比例性可以進一步將之分為比例載荷變幅譜和非比例載荷變幅譜。前者各級為應力(應變)比相同但幅值不同的比例載荷;后者則為路徑完全相同而幅值不同的非比例載荷。材料受比例載荷變幅譜作用時，由于前后兩級載荷的應力(應變)分量的比例相同，因此應力(應變)主軸一直沒有發(fā)生改變。而非比例載荷變幅譜雖然在同一級載荷內應力(應變)主軸在不斷變化，但不同級載荷之間應力(應變)主軸的變化規(guī)律完全相同。雖然上述兩類模型還可以進一步按照幅值分為高-低、低-高兩類，但是考慮到高-低、低-高譜在單軸累積損傷研究中已經(jīng)有過深入研究，而恒路徑變幅譜在應力(應變)主軸變化情況看與單軸情況類似，因此本文不再進一步細分高-低、低-高譜。

變路徑常幅階梯譜的“等幅”在理想情況下是使兩級載荷的常幅疲勞壽命相等。但鑒于其很難實現(xiàn)，目前一般采用基于某種破壞準則的相同的等效應力(應變)［9，10］作為常幅載荷。按各級載荷的路徑，該類階梯譜可進一步分為比例型、混合型和非比例型。比例型是指各級載荷均為比例載荷，但各級應力(應變)的主軸不同。非比例型的各級載荷在整個加載過程中應力(應變)主軸始終在變化，且不同級載荷的應力(應變)主軸的變化規(guī)律不全相同?；旌闲妥V的各級載荷可能為比例載荷，也可能為非比例載荷，在載荷級的轉化之間，主軸路徑要么從變化轉為不變，要么從不變轉為變化。

變路徑變幅譜，是指各級載荷的幅值和路徑均不相同。這類階梯譜的載荷變化復雜，損傷累積規(guī)律也更加復雜。目前對于這類譜型的試驗和研究還較少。

2 多軸疲勞累積損傷模型

無論在單軸情況下還是多軸情況下，疲勞累積損傷理論都必須定量地回答三個本質問題［1］:(a)一個載荷循環(huán)對材料或結構造成多大損傷，即損傷的定義;(b)多個載荷循環(huán)時損傷如何累加;(c)失效時臨界損傷DCR有多大。

因此，盡管按上述三個本質問題中的任意一個都可以對現(xiàn)有的疲勞累積損傷理論進行分類，但是本文為突出多軸與單軸情況下累積損傷規(guī)律的不同，將目前常用的多軸疲勞累積損傷理論分為以下三類:(a)不分方向的線性累積模型;(b)不分方向的非線性累積模型;(c)分方向的線性累積模型。其中，分方向累積方法來源于目前廣泛使用的一類多軸疲勞壽命預測方法——臨界面法。臨界面法認為材料內部根據(jù)所受的多軸應力狀態(tài)存在一個臨界平面，疲勞損傷在這個平面上達到最大，疲勞壽命由這個平面上的損傷狀態(tài)確定。既然認為疲勞損傷在臨界面上達到最大，那么材料在其他方向上也應存在疲勞損傷。因此在多軸變幅載荷下，分方向累積方法在材料內部各方向上分別進行損傷累積。本工作從上述三類模型中選取了如下六種具有代表性累積損傷模型。

2.1 不分方向的線性累積模型

Miner理論作為典型的線性累積模型，也廣泛應用于多軸情況。它形式簡單，計算簡便，但沒有考慮任何因素對損傷累積的影響。對于兩級階梯譜載荷，Miner理論給出試件破壞時的總損傷為

式中，Nf1和Nf2分別為第1級載荷和第2級 載荷單獨作用時的疲勞壽命;n1和n2為第1級載荷和第2級載荷作用的次數(shù)

Morrow模型［11］是一種考慮了載荷大小影響的線性累積損傷模型。依據(jù)該模型，兩級階梯譜載荷結束時的總損傷為

其中，σeq，a1和σeq，a2為第1，2級載荷的等效應力幅值;σeq，amax為整個載荷歷程中最大的等效應力幅值; d為材料常數(shù)。對于應變控制載荷，Chen等人［7］指出可以用Fatemi-Socie應變損傷參量［12］代替式中的應力型損傷參量。

2.2 不分方向的非線性累積模型

多軸載荷下不分方向的非線性累積方法很多。目前常見的有Manson損傷曲線模型［6］及其改進模型、尚德廣模型。

對于兩級階梯譜，文獻［8］給出Manson損傷曲線模型給出試件破壞時的總損傷為

Manson損傷曲線模型的改進模型很多，其中金丹模型［8］通過引入非比例度，考慮了多軸載荷非比例性和路徑變化對損傷累積的影響。對于兩級階梯譜，它認為試件破壞時的總損傷為

其中，β為材料常數(shù);J為非比例度參數(shù)［13］，

其中，εI(t)和ξ(t)是最大主應變在t刻時的絕對值和角度;T是循環(huán)周期。對于兩級階梯譜，文獻［8］認為J由第一級載荷的最后一個循環(huán)與第二級載荷的第一個循環(huán)積分獲得。

尚德廣等［14］提出了一種非線性多軸累積損傷理論。對于兩級階梯譜載荷，該模型計算的總損傷是

其中

式中，K，n為由冪硬化定律確定的單軸材料常數(shù);b為材料常數(shù)，可通過非對稱加載下的S-N曲線確定; σ*1為對稱加載時的疲勞極限;ˉσH1和ˉσH2分別為第一、二級載荷下的平均靜水應力，對于對稱加載，可忽略平均靜水應力對疲勞壽命的影響［15］，即ˉσH1= ˉσH2=0;Δεeq1/2和Δεeq2/2分別為第一、二級載荷的等效應變幅，根據(jù)文獻［14］，依據(jù)Shang剪切型損傷模型［16］給出。

2.3 分方向的線性累積方式

Shamsaei等人［9］最先系統(tǒng)使用了這一類方法。以對稱加載下的平面應力情況為例，該方法首先使用臨界面法計算材料內部0到180°各方向上的損傷參量F(θ)，然后由各方向上的損傷參量F(θ)使用多軸疲勞壽命分析方法計算相應的壽命Nf(θ)，再分別使用Miner理論進行累積損傷計算。該方法認為一個循環(huán)造成的損傷為

對于等幅載荷，n次循環(huán)造成的累積損傷為

對于變幅載荷，總損傷為

Shamsaei等人使用該方法對階梯譜、塊譜作用下的純鈦和BT9鈦合金進行累積計算，同時對載荷次序影響進行了初步定性分析。對于兩級階梯譜，該方法認為試件破壞時的總損傷為

3 驗證用材料和材料常數(shù)

本研究選取航空工業(yè)常用的LY12CZ鋁合金作為模型驗證用材料。對于LY12CZ鋁合金，由于目前還沒有完全涵蓋第1節(jié)所述各譜型的多軸兩級階梯譜試驗結果，因此為能較全面地對比分析第1節(jié)所述各譜型下不同累積損傷理論的表現(xiàn)，本工作在文獻［10］和文獻［17］的基礎上，進行了如表1所示的二級階梯譜試驗。試驗在室溫下進行，采用等效應力幅控制的正弦波對稱加載，試件為薄壁圓管狀(如圖1所示)。載荷譜由拉壓(TC)、純扭(PT)、比例(PL)、45°非比例(45NP)和90°非比例(90NP)載荷五種路徑組合而成，Mises等效應力幅包含250MPa和350MPa兩種。表2對表1所列和文獻所述［10，17］的兩級階梯譜試驗進行了分類和統(tǒng)計。

表1 兩級階梯譜試驗Table 1 2-Stage step loading spectra tests

圖1 試驗件幾何尺寸Fig.1 Geometry of the specimen

第1節(jié)所述六種模型中，Morrow模型和Shamsaei模型需要使用Fatemi-Socie模型計算應變型損傷參量，而尚德廣模型需要使用Shang剪切型損傷模型計算應變型損傷參量。圖2是按Fatemi-Socie模型和Shang剪切型損傷模型計算的LY12CZ鋁合金在多軸常幅載荷［10］作用下的預測壽命Nfpre和試驗壽命Nfexp的對比圖。計算所需的材料常數(shù)如表3所示。從中可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)atemi-Socie模型和Shang剪切型損傷模型對LY12CZ鋁合金都有較好的壽命預測效果。因此在進行累積損傷計算時，采用Fatemi-Socie模型和Shang剪切型損傷模型是可行的。

表2 二級階梯譜試驗信息統(tǒng)計Table 2 Information of the 2-Stage step loading spectra

4 模型對比分析

本工作使用第2節(jié)所述六種方法計算了LY12CZ試件破壞時的總損傷，然后按第1節(jié)所述分類方法對試件進行分類，進而統(tǒng)計了各模型損傷計算值在兩倍誤差帶內的個數(shù)占試件數(shù)的百分比(即計算準確率)并列于表4中。

LY12CZ鋁合金在恒路徑變幅譜作用下的損傷累積規(guī)律在文獻［10］和文獻［17］中已有詳細論述:按高-低順序加載時，按Miner模型算出的總損傷小于1，即損傷累積速率因幅值的變化而增大;按低-高順序加載時，按Miner模型算出的總損傷要大于1，即損傷累積速率因幅值的變化而減小。

表3 LY12CZ鋁合金材料常數(shù)Table 3 Material constants of LY12CZ aluminium alloy

圖2 預測壽命與試驗對比Fig.2 Comparison between predictions and tests

表4 各模型的預測準確率(%)Table 4 The accuracy rate of each model(%)

比例型恒路徑變幅譜下，兩級載荷的應力主軸不變，因此可認為其等同于單軸變幅譜。這時，影響疲勞損傷累積的主要因素是載荷間的相對大小。從表4看，Miner模型、Morrow模型、尚德廣模型和Shamsaei模型的準確率為100%。而Manson模型和金丹模型的準確率相對較低，均為85.71%。Morrow模型和尚德廣模型由于考慮了載荷大小的影響，得到了很好的計算結果。對于Miner模型和Shamsaei模型，雖然它們沒有考慮載荷相對大小的影響，但是由于載荷幅值在350MPa和250MPa之間變化，變化范圍并不大，因此最終結果仍然較好。同樣考慮載荷大小影響的Manson模型的表現(xiàn)卻不夠理想。對比式(2)、式(3)和式(6)可以發(fā)現(xiàn)，Morrow模型和尚德廣模型采用損傷參量來表征載荷的大小，而Manson模型采用是的壽命。可見相較于損傷參量，載荷常幅壽命Nf的比值并不能很好地反映載荷的相對大小。對于金丹模型，按式(5)計算得到的非比例度J=0，其退化為Manson模型。因此表現(xiàn)與Manson模型相同。

對于非比例型恒路徑變幅譜，雖然載荷的應力主軸一直在變化，但是變化規(guī)律完全相同。此時影響損傷累積的因素是載荷的相對大小和非比例性。從表4看，Morrow模型和尚德廣模型由于考慮了載荷大小的影響，準確性依舊為100%。非比例載荷下，金丹模型中的非比例度J不等于0。從式(4)看，對于非比例載荷，J的引入使得的指數(shù)變小，從而導致總損傷變大。也就是說，金丹模型認為載荷的非比例性會造成更大的損傷。從結果看，金丹模型的準確率達到了100%，較為理想。Miner模型、Manson模型和Shamsaei模型的準確率較低。其中，Miner模型和Shamsaei模型是因為沒有考慮載荷的相對大小和非比例性;而Manson模型的表現(xiàn)再次說明載荷常幅壽命Nf的比值不能很好地反映載荷的相對大小。

對于變路徑載荷作用下的LY12CZ鋁合金，Xia和Yao［18］的研究表明路徑變化對疲勞損傷的累積起減速作用——按Miner模型算出的總損傷大于1。這是因為各級載荷下，損傷在不同角度上達到最大;而不同載荷的最大損傷角度不重合，因此最終的總損傷要小于各級載荷下最大損傷的線性相加。從試驗結果看，在比例型變路徑常幅譜下，LY12CZ鋁合金的疲勞損傷累積速率由于載荷路徑的改變而減小。六種模型中，只有Shamsaei模型從分方向的角度考慮到了載荷路徑造成的損傷累積減速，因此Shamsaei模型的預測準確率達到了100%。

對于非比例型變路徑常幅譜和混合型變路徑常幅譜，載荷路徑變化和載荷非比例性同時對LY12CZ鋁合金的損傷累積均產(chǎn)生影響。觀察式(4)可以發(fā)現(xiàn)，金丹模型同時考慮了這兩種因素，最終只有它的準確率在兩種譜型下均達到100%。Miner模型、Morrow模型 因此準確率相對較低。Shamsaei模型采用分方向累積方法，認為路徑變化對損傷累積有減緩作用;但沒有考慮非比例性的影響，最終其沒有得到理想的結果。

對于變路徑變幅譜作用下的LY12CZ鋁合金，幅值變化、路徑變化、載荷非比例性對疲勞損傷的累積都有影響?？偟膩碚f，高-低變幅和載荷非比例性對損傷累積有“加速”作用，而低-高變幅和路徑變化對損傷累積有“減速”作用。當其中若干因素同時存在時，就會發(fā)生相互促進或相互競爭，從而導致材料的損傷累積規(guī)律更加復雜。從表4看，沒有一種模型的預測準確率能夠達到100%。

5 結論

(1)多軸兩級階梯譜按路徑和幅值的變化情況可以分為變路徑常幅譜、恒路徑變幅譜和變路徑變幅譜。恒路徑變幅譜進一步可以分為比例載荷變幅譜和非比例載荷變幅譜，而變路徑常幅階梯譜按前后兩級載荷的路徑分為比例型、混合型和非比例型。

(2)對于多軸兩級階梯譜作用下的LY12CZ鋁合金，6個累積損傷模型的預測能力有所不同。不同譜型下，各模型的預測能力也有一定差別:比例型恒路徑變幅譜下，Miner模型、Morrow模型、尚德廣模型和Shamsaei模型得到了理想的結果;非比例型恒路徑變幅譜，Morrow模型、金丹模型和尚德廣模型的結果最好;比例型變路徑常幅譜，Shamsaei模型從分方向的角度進行損傷累積，考慮到了載荷路徑造成的損傷累積減速，結果最好;非比例型和混合型變路徑常幅譜下，只有同時考慮了載荷路徑變化和非比例性的金丹模型的計算準確率達到100%;變路徑變幅譜下，材料的損傷累積規(guī)律復雜，沒有一種模型的預測準確率能夠達到100%。

(3)沒有一種累積損傷模型能同時對所有類型的兩級階梯譜具有最好的預測能力。

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