張大元，雷虎民，李海寧，邵 雷，李 炯

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051)

0 引言

復(fù)合制導(dǎo)體制是中遠(yuǎn)程防空導(dǎo)彈最為常用的制導(dǎo)體制，可提高武器系統(tǒng)跟蹤和射擊的目標(biāo)數(shù)，從而改善導(dǎo)彈性能［1－2］。復(fù)合制導(dǎo)的關(guān)鍵技術(shù)之一是中末交接班技術(shù)，在中末交接段最為重要的是導(dǎo)引頭截獲。因此，導(dǎo)引頭截獲目標(biāo)概率是復(fù)合制導(dǎo)導(dǎo)彈設(shè)計(jì)的重要指標(biāo)，一般采用蒙特卡羅方法進(jìn)行仿真研究和計(jì)算［3－5］，但這種方法需要進(jìn)行多次彈道仿真計(jì)算;文獻(xiàn)［5］研究了中遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈在一次彈道計(jì)算中完成目標(biāo)截獲概率計(jì)算的方法，其主要思想就是將各種誤差轉(zhuǎn)換到對(duì)目標(biāo)指示的誤差上，從而利用各誤差服從的概率分布，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)截獲概率計(jì)算。借鑒文獻(xiàn)［5］的研究思路，首先研究了主要誤差源影響目標(biāo)截獲概率的作用機(jī)理，并對(duì)其進(jìn)行了分類，利用等效轉(zhuǎn)化的思想，將所有的誤差統(tǒng)一到導(dǎo)彈位置散布和偏差上來(lái)。在此基礎(chǔ)上，提出一種計(jì)算導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率的新方法，推導(dǎo)了計(jì)算導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率的計(jì)算公式。

1 誤差分析和轉(zhuǎn)化

在復(fù)合制導(dǎo)中制導(dǎo)段，導(dǎo)彈一般向著預(yù)測(cè)命中點(diǎn)飛行，當(dāng)彈目距離小于導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)距離時(shí)，導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)進(jìn)行距離捕獲，若此時(shí)目標(biāo)位于導(dǎo)引頭視野范圍內(nèi)，且導(dǎo)引頭接收的反射信號(hào)足夠強(qiáng)，導(dǎo)引頭完成角度捕獲，然后經(jīng)過(guò)頻率搜索，實(shí)現(xiàn)速度捕獲后，就實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)捕獲。其中，距離和速度捕獲較為容易，角度捕獲是最難完成的，因?yàn)楦鞣N噪聲和誤差會(huì)引起導(dǎo)彈位置偏離和目標(biāo)指示誤差。在本文研究中，認(rèn)為只要角度實(shí)現(xiàn)捕獲，其他兩項(xiàng)就能完成捕獲。下面分析影響導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率的主要誤差源和作用機(jī)理。

1.1 影響目標(biāo)截獲概率的誤差源

影響截獲概率的主要誤差源有［5］:

(1)發(fā)射前主慣導(dǎo)對(duì)彈上慣導(dǎo)裝訂誤差;

(2)加速度計(jì)測(cè)量誤差;

(3)陀螺儀測(cè)量誤差;

(4)雷達(dá)測(cè)量誤差(測(cè)角、測(cè)距誤差);

(5)目標(biāo)機(jī)動(dòng)引起的誤差。

其中，前3項(xiàng)誤差會(huì)引起導(dǎo)彈位置散布角σm(以地面制導(dǎo)站為基準(zhǔn))，雷達(dá)測(cè)量誤差會(huì)引起導(dǎo)引頭指向散布角σs，目標(biāo)機(jī)動(dòng)則引起導(dǎo)引頭指向偏差角γs，根據(jù)上述誤差的作用機(jī)理，可將誤差引起的效果做如下分類:

其中，各散布角服從均值為零的正態(tài)分布，各誤差的定義和作用效果的幾何示意如圖1和圖2所示。

圖1 彈位置散布角和導(dǎo)引頭指向散布角Fig.1 Spread angle of missile position and homer oriented direction

此外，導(dǎo)引頭視場(chǎng)角E使得導(dǎo)彈存在一個(gè)允許散布范圍，如圖3所示，是以C點(diǎn)為圓心，以E為錐角的圓錐截面SL。

1.2 誤差轉(zhuǎn)換原理

圖3給出了實(shí)現(xiàn)角度捕獲的條件及誤差轉(zhuǎn)化原理，建模將多次用到該原理。

圖2 目標(biāo)機(jī)動(dòng)引起的偏差Fig.2 Deviation caused by target maneuver

圖3 角度捕獲的幾何關(guān)系及等效轉(zhuǎn)化Fig.3 Geometric relationship of angle acquisition and the equivalent method

由圖3右下角小圖可知，在導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)時(shí)刻，只有當(dāng)目標(biāo)落入以導(dǎo)引頭C為頂點(diǎn)、以E為錐角(半波束寬度)的天線波束內(nèi)時(shí)，才能完成角度捕獲;當(dāng)基準(zhǔn)點(diǎn)選為目標(biāo)B時(shí)，等價(jià)于導(dǎo)彈(導(dǎo)引頭)位于以目標(biāo)B為頂點(diǎn)、錐角為E的范圍內(nèi)，才能實(shí)現(xiàn)角度捕獲。導(dǎo)彈位置一般是以地面制導(dǎo)站為測(cè)量基準(zhǔn)的。因此，希望將導(dǎo)彈能夠截獲目標(biāo)的空間分布區(qū)域SL用以地面制導(dǎo)站O為頂點(diǎn)、以E′為錐角的錐體截面表示。

由圖3可知，以O(shè)點(diǎn)為頂點(diǎn)、E′為錐角的錐體與以B為頂點(diǎn)、E為錐角的錐體相交形成橢圓面SC。O點(diǎn)對(duì)面積SC的夾角相當(dāng)于導(dǎo)彈位置的散布角E′，

過(guò)兩錐體其中一個(gè)交點(diǎn)d作各自錐體的圓截面SM和SL，則SL與SM的夾角為導(dǎo)彈前置角θML，設(shè)橢圓平面SC與SL和SM的夾角分別為 θL、θM，則

式(1)之所以使用約等號(hào)是因?yàn)闄E圓面對(duì)兩個(gè)圓面的投影并不是正投影，而是存在一定角度偏差。由式(1)得

其中:

因此

由于E和E′均屬于小量，因此

這樣，就將導(dǎo)引頭視線角引起的導(dǎo)彈允許位置散布，等效轉(zhuǎn)化為以地面制導(dǎo)站為基準(zhǔn)的導(dǎo)彈位置散布角。

1.3 誤差轉(zhuǎn)換計(jì)算

下面將各誤差統(tǒng)一轉(zhuǎn)換成導(dǎo)彈位置散布角或偏差角，從而建立導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率計(jì)算模型。

根據(jù)1.1節(jié)對(duì)5個(gè)誤差源作用機(jī)理的分析可知，前3項(xiàng)誤差的作用引起導(dǎo)彈位置散布角，所以無(wú)需轉(zhuǎn)化，這是本文與參考文獻(xiàn)［5］區(qū)別的一個(gè)重要方面，這樣減少了誤差轉(zhuǎn)換次數(shù)，降低了誤差轉(zhuǎn)換帶來(lái)的新誤差。

(1)雷達(dá)測(cè)量誤差引起導(dǎo)引頭指向散布角σs轉(zhuǎn)換為導(dǎo)彈等效位置散布角σs'

利用1.2節(jié)給出的等效轉(zhuǎn)換原理，可將σs轉(zhuǎn)換為導(dǎo)彈等效位置散布角σs':

(2)目標(biāo)機(jī)動(dòng)引起的導(dǎo)引頭指向偏差

在導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)的某次攔截過(guò)程中，目標(biāo)機(jī)動(dòng)是確定的，引起的偏差值也是確定的，所以目標(biāo)機(jī)動(dòng)引起導(dǎo)彈位置散布的系統(tǒng)偏差值，即等效位置偏差角 ，轉(zhuǎn)化過(guò)程如圖4所示。

圖4 等效偏差角求解Fig.4 Solver of Equivalent deflection angle

圖4中，BC和B′C′是平行的，原因如下:BC方向是導(dǎo)彈飛行到預(yù)定交接點(diǎn)時(shí)預(yù)定的導(dǎo)引頭指向，但目標(biāo)實(shí)際位置處在B′點(diǎn)。因此，為使導(dǎo)引頭按照預(yù)定指向截獲目標(biāo)，導(dǎo)彈應(yīng)位于過(guò) B′點(diǎn)的BC方向相距RL處，即 C′點(diǎn)，也即 BC∥B′C′。根據(jù) 1.2 節(jié)給出的等效轉(zhuǎn)換原理:

2 導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率計(jì)算模型

2.1 導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率模型推導(dǎo)

經(jīng)過(guò)上述等效變換，影響目標(biāo)截獲概率的主要因素就轉(zhuǎn)換為導(dǎo)彈位置散布角和偏差角。

交接時(shí)，導(dǎo)彈預(yù)定位置為C點(diǎn);發(fā)射前，主慣導(dǎo)對(duì)彈上慣導(dǎo)裝訂誤差、加速度計(jì)測(cè)量誤差、陀螺儀測(cè)量誤差以及雷達(dá)測(cè)量誤差引起的導(dǎo)引頭指向散布角一起引起導(dǎo)彈相對(duì)預(yù)定位置的散布角，其大小為

假定導(dǎo)彈位于Sb時(shí)能夠捕獲目標(biāo)，則Sb由導(dǎo)引頭視野角確定，其等效的導(dǎo)彈允許散布角為E′;目標(biāo)機(jī)動(dòng)引起的導(dǎo)引頭指向偏差γs引起的導(dǎo)彈等效位置偏差為γ′s，該偏差值決定能夠捕獲目標(biāo)的導(dǎo)彈位置中心 C′。

Sa和Sb如圖5所示。

圖5 導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率計(jì)算Fig.5 Solver of the probability of target acquisition

根據(jù)目標(biāo)角度截獲定義，當(dāng)導(dǎo)彈能夠截獲目標(biāo)時(shí)應(yīng)位于Sb中，而實(shí)際上導(dǎo)彈位置應(yīng)位于Sa中，Sa與Sb公共面積內(nèi)進(jìn)行概率積分，就得到導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率(TAP)估算值，即導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率的計(jì)算模型。

上述過(guò)程中，對(duì)導(dǎo)彈散布區(qū)域進(jìn)行了近似處理。由圖3可知，由于導(dǎo)彈前置角θML的存在(若θML=0，則A點(diǎn)和B點(diǎn)重合，2個(gè)錐體中心線在一條直線上，交面為圓形)，使得橢圓面SC長(zhǎng)短軸之比為:

在導(dǎo)彈前置角θML＜30°時(shí)，該橢圓和以橢圓短軸為半徑的圓形面積之比為因此，可將橢圓近似等價(jià)為圓形。式(8)中的圓面積Sa和Sb就是兩個(gè)錐體相交橢圓面積的近似假設(shè)。

2．2 計(jì)算模型的簡(jiǎn)化

由以上分析可知，要求出導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率，需要求解Sa與Sb相交面積上的概率密度積分值，這是較困難的。因此，本節(jié)使用一種近似的方法進(jìn)行簡(jiǎn)化。

因Sa和Sb平面夾角較小，可近似認(rèn)為兩平面共面，如圖6所示，用等面積的正方形近似代替2個(gè)圓面，2個(gè)正方形相應(yīng)邊平行，且一邊平行于兩圓心連線，另一邊垂直于圓心連線，這樣可將導(dǎo)彈位置分布轉(zhuǎn)換為兩個(gè)獨(dú)立的一維分布。設(shè)Sa圓面半徑為ra，Sb圓面半徑為rE，則

圖6 導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率的簡(jiǎn)化計(jì)算Fig．6 Simple solver of the probability of target acquisition

圖6中:

以Sb圓心為原點(diǎn)，則導(dǎo)彈飛行軌跡分布服從均值為d，均方差為ra的正態(tài)分布，用Φ表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，則

則導(dǎo)彈落入Sb等價(jià)正方形的概率(導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率)，可表示為

其物理意義如下:

圖6中使用等面積正方形替代圓形區(qū)域時(shí)，導(dǎo)彈位置在垂直于2個(gè)圓心連線的方向(不一定是Y方向，如圖6中的下圖)散布服從均值為零、均方差為ra的正態(tài)分布，在該方向?qū)椢恢梅至课挥?－lE/2，lE/2)(導(dǎo)引頭等效視場(chǎng)內(nèi))概率為

導(dǎo)彈在平行于兩個(gè)圓心連線的方向(不一定是X方向)散布服從均值為d、均方差為ra的正態(tài)分布，X坐標(biāo)位于(－lE，lE)的概率為

導(dǎo)彈位置兩個(gè)分量處于捕獲區(qū)域的事件相互獨(dú)立，則概率等于兩者乘積，即式(14)。

3 簡(jiǎn)化計(jì)算模型的應(yīng)用

由上面的分析可知，為計(jì)算導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率，需對(duì)主要的5種誤差源進(jìn)行估計(jì)。

3．1誤差估計(jì)

(1)慣導(dǎo)系統(tǒng)初始對(duì)準(zhǔn)引起的導(dǎo)彈位置散布角

慣導(dǎo)初始基準(zhǔn)角是指發(fā)射時(shí)刻慣導(dǎo)的初始角度基準(zhǔn)，分為方位和俯仰角。防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)一般具有較高的機(jī)動(dòng)性，發(fā)射具有快速性。因此，方位初始基準(zhǔn)常使用發(fā)射車上自帶的尋北儀測(cè)量，存在尋北儀測(cè)量誤差、安裝誤差和發(fā)射車到導(dǎo)彈的傳遞誤差，精度較低。文獻(xiàn)［7］指出，該值可按30′(3σ)估算，假定導(dǎo)彈基本按直線飛行，方位初始基準(zhǔn)誤差引起的導(dǎo)彈方位方向誤差均方差為

俯仰初始基準(zhǔn)角在發(fā)射前用加速度計(jì)進(jìn)行校準(zhǔn)，精度較高，可按3′(3σ)算，引起的俯仰方向誤差均方差為

為簡(jiǎn)化計(jì)算，取二者較大值［8］，即方位偏差為初始裝訂誤差引起的導(dǎo)彈位置誤差均方差，即

(2)慣性器件誤差引起的導(dǎo)彈位置散布角

［5］，慣性測(cè)量器件誤差服從零均值正態(tài)分布，且互不相關(guān)，設(shè)加速度計(jì)零位偏差為σa0，刻度因子誤差為σak，整個(gè)飛行過(guò)程中，導(dǎo)彈的平均過(guò)載為a－

y、a－

z，導(dǎo)彈交接時(shí)，飛行時(shí)間為tf，則加速度計(jì)引起的導(dǎo)彈位置測(cè)量誤差均方差為

為簡(jiǎn)化計(jì)算，取二者較大值作為加速度計(jì)測(cè)量誤差引起的導(dǎo)彈位置散布角均方差為

設(shè)陀螺隨機(jī)漂移誤差為σsp，刻度因子誤差為σsk，導(dǎo)彈的角速度為ω，根據(jù)參考文獻(xiàn)［7］給出則陀螺測(cè)量誤差引起的導(dǎo)彈位置散布角均方差值為

這樣，由初始裝訂誤差和慣性元件測(cè)量誤差造成的導(dǎo)彈位置測(cè)量誤差均方差σm為

(3)雷達(dá)測(cè)量誤差引起的導(dǎo)引頭指向散布角

設(shè)雷達(dá)測(cè)距誤差為 σΔR(1σ)，測(cè)角誤差為σr(1σ)，則目標(biāo)測(cè)量偏差rmax按式(22)計(jì)算:

上式符號(hào)含義和計(jì)算原理如圖7所示。

圖7 雷達(dá)測(cè)量誤差引起的導(dǎo)引頭指向誤差Fig.7 Homer oriented direction error caused by radar error

假設(shè)導(dǎo)彈在開(kāi)機(jī)時(shí)，導(dǎo)引頭指向與最大偏差|TT′|或|TT′2|方向平均夾角為45°，則目標(biāo)測(cè)量誤差導(dǎo)引頭指向的角偏差的均方差值約為

(4)目標(biāo)機(jī)動(dòng)引起的導(dǎo)引頭指向偏差

在計(jì)算導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率時(shí)，目標(biāo)機(jī)動(dòng)引起的導(dǎo)引頭指向偏差角可按式(24)近似計(jì)算:

其中，Δt表示中制導(dǎo)目標(biāo)數(shù)據(jù)更新周期(數(shù)據(jù)鏈數(shù)據(jù)更新周期)，aH表示垂直于雷達(dá)目標(biāo)連線平面內(nèi)的目標(biāo)總加速度值。該式可直接由幾何關(guān)系推得。

(5)導(dǎo)引頭作用距離RL、視場(chǎng)角E

導(dǎo)引頭作用距離與目標(biāo)截面積、工作波長(zhǎng)等因素有關(guān)［9］。導(dǎo)引頭視場(chǎng)角(即天線半功率波瓣寬度2θ0.5)取決于許多因素，減小視場(chǎng)角可增大作用距離、提高角靈敏度和角分辨率，增強(qiáng)抗干擾能力，但對(duì)導(dǎo)引頭尺寸和捕獲大機(jī)動(dòng)目標(biāo)不利，雷達(dá)導(dǎo)引頭最佳視場(chǎng)角范圍約為［9］

(6)導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)時(shí)刻導(dǎo)彈飛行距離RM、導(dǎo)彈前置角θML

這2個(gè)量在導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)時(shí)刻動(dòng)態(tài)確定。

3.2 計(jì)算模型的使用

前面推導(dǎo)了簡(jiǎn)化計(jì)算模型和主要誤差源的計(jì)算方法，這樣就可在彈道計(jì)算過(guò)程中進(jìn)行截獲概率的計(jì)算了。計(jì)算步驟如下:

步驟1:設(shè)定導(dǎo)引頭參數(shù)RL、E，計(jì)算預(yù)測(cè)遭遇點(diǎn)A;

步驟2:在導(dǎo)彈飛行仿真過(guò)程中，按照式(15)～式(24)估算或積分計(jì)算慣測(cè)器件的誤差值;

步驟3:當(dāng)導(dǎo)彈和目標(biāo)距離小于導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)距離時(shí)，計(jì)算導(dǎo)彈前置角θML，記錄導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)時(shí)導(dǎo)彈飛行距離RM、目標(biāo)斜距RT，計(jì)算σs;按照式(5)～式(7)計(jì)算誤差的轉(zhuǎn)換值，按照式(8)～式(14)計(jì)算導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率。

這樣，在一次彈道計(jì)算過(guò)程中，就完成了導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率的計(jì)算。

4 仿真算例及結(jié)果分析

算例一:導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)交接概率計(jì)算

仿真條件:目標(biāo)在20 km高空作機(jī)動(dòng)過(guò)載為12 g的圓弧形機(jī)動(dòng)，彈道傾角為0°，初始斜距60 km，初始方位角45°，速度400 m/s。導(dǎo)彈指向預(yù)測(cè)命中點(diǎn)發(fā)射，導(dǎo)引頭作用(開(kāi)機(jī))距離12 km，半波束寬度假定為3.5°，地空通信數(shù)據(jù)鏈更新周期假定為1s。參照文獻(xiàn)［10］假定制導(dǎo)雷達(dá)測(cè)量誤差，參照文獻(xiàn)［11］設(shè)定慣性測(cè)量器件的誤差系數(shù)，如表1所示。

使用本文提出的計(jì)算方法，經(jīng)計(jì)算得:

導(dǎo)彈在 29.6 s開(kāi)機(jī)，開(kāi)機(jī)時(shí)導(dǎo)彈 RM≈37.627 km，目標(biāo)距離 RT≈49.369 km，導(dǎo)彈前置角 θML=10°，lE≈3 109.9 m，ra≈647.45 m，0.5lE/ra≈2.401 6，(0.5lE－d)/ra≈2.179 8，γs=0.286 5°，γ's=0.218 7°，d=143.62 m，則導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率為

同時(shí)，建立該導(dǎo)彈較為精確的仿真模型，進(jìn)行400次仿真計(jì)算，結(jié)果如圖8所示。

表1 各誤差源假定參數(shù)Table 1 Parameter of error source

圖8 雷達(dá)測(cè)量誤差引起的導(dǎo)引頭指向誤差Fig.8 Homer oriented direction error caused by radar error

經(jīng)蒙特卡洛仿真計(jì)算的導(dǎo)彈中末制導(dǎo)開(kāi)機(jī)交接概率為95.5%?？梢?jiàn)，本文計(jì)算模型的精度基本能達(dá)到估算的目的。

算例二:采用本文提出的方法研究數(shù)據(jù)鏈周期對(duì)導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率的影響。其中，目標(biāo)做水平面內(nèi)過(guò)載為2的蛇形機(jī)動(dòng)，其余條件同算例一。

由表2可知，提高地空數(shù)據(jù)鏈數(shù)據(jù)更新速率，能提高導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率。這是因?yàn)閿?shù)據(jù)更新速率的提高，可減小由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)帶來(lái)的偏差，從而提高開(kāi)機(jī)截獲概率，這個(gè)結(jié)論也可從式(24)得出。

表2 數(shù)據(jù)鏈周期對(duì)導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率的影響Table 2 Influence of data-link period on TAP

5 結(jié)論

(1)分析了影響導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率的主要誤差源作用機(jī)理，將作用效果歸結(jié)為導(dǎo)彈飛行散布區(qū)和導(dǎo)彈截獲目標(biāo)散布區(qū)，從而利用其服從的概率分布和兩個(gè)區(qū)域的交集，計(jì)算導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)截獲概率。與文獻(xiàn)［5］相比，選擇導(dǎo)彈散布而不是目標(biāo)指示散布為基準(zhǔn)，誤差轉(zhuǎn)換更加合理，可減小誤差轉(zhuǎn)換次數(shù)帶來(lái)的轉(zhuǎn)換誤差。如初始對(duì)準(zhǔn)誤差和慣性測(cè)量誤差，它們實(shí)際引起的是導(dǎo)彈的位置散布，在本文的計(jì)算模型中，無(wú)需進(jìn)行轉(zhuǎn)化就可使用。

(2)對(duì)一些需要積分導(dǎo)彈飛行過(guò)程參數(shù)才能獲得的誤差采用工程經(jīng)驗(yàn)估算，計(jì)算精度能滿足工程計(jì)算需求，同時(shí)減小了計(jì)算量。

(3)通過(guò)一次彈道計(jì)算，就可確定多次蒙特卡洛仿真才能得到的結(jié)果，計(jì)算簡(jiǎn)便，其精度能滿足工程需求。

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