貝淑坤，朱路進(jìn)，劉春平

（揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002）

利用導(dǎo)數(shù)求反三角函數(shù)的解析式

貝淑坤，朱路進(jìn)，劉春平

（揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002）

本文利用導(dǎo)數(shù)給出了幾道反三角函數(shù)習(xí)題一種新解法，該方法可以比較方便地得到反三角函數(shù)的解析式。

導(dǎo)數(shù)；反三角函數(shù)；解析式

在吉米多維奇習(xí)題集題[1]中，有幾道涉及到反三角函數(shù)的題目，如：

題318作y=arcsin（sinx）的圖形。

題319作y=arcsin（cosx）的圖形。

題320作y=arccos（cosx）的圖形。

題321作y=arctan（tanx）的圖形。

不難看出，如果我們能夠求得這些函數(shù)的解析式，則根據(jù)解析式很容易作出函數(shù)的圖形。以題319為例，常規(guī)求解方法[2]是從siny=cosx且出發(fā)，先求出函數(shù)在-π≤x≤0以及0≤x≤-π的解析式：

然后利用arcsin（cosx）是周期為2π的函數(shù)這一性質(zhì)，求出函數(shù)在2kπ-π≤x≤2kπ以及2kπ≤x≤2kπ+π的解析式，得到：

在教學(xué)過程中我們發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生不太能夠理解為什么先分-π≤x≤0，0≤x≤π討論，也不知道如何求得（1）式，自然也就難以導(dǎo)出（2）式。

本文利用導(dǎo)數(shù)給出該題一種新的求解方法。

記y1（x）=arcsin（cosx），x∈（-∞，+∞）.根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：

綜合①～②，并注意到函數(shù)y1（x）在區(qū)間（2kπ－π，2kπ）和（2kπ，2kπ+π）的端點(diǎn)處均連續(xù)，可得y1（x）的解析式：

此即前面的（2）式。

值得指出的是我們這種解法具有一般性，也適用于求另外幾個函數(shù)的解析式。例如，記：

[1]吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集[M].北京：人民教育出版社，1978：35.

[2]滕加俊.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集精選精解[M].南京：東南大學(xué)出版社，2010：34.

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1674-9324（2014）28-0094-02