陳定昌

例 設(shè)袋子中裝有3個紅球、2個黃球、1個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分.現(xiàn)從該袋子中任取（有放回，且每球取到的機會均等）2個球，記隨機變量為取出此2球所得分數(shù)之和.求的分布列.

錯解： 的取值為2，3，4，5，“=2”表示“取到2個紅球”，“=3”表示“取到1個紅球、1個黃球”， “=4”表示“取到2個黃球或1個紅球、1個藍球”，“=5”表示“取到1個黃球、1個藍球”. P（=2）==，P（=3）==，P（=4）=+=，P（=5）==. （的分布列略）

錯因： 混淆了“有放回”和“無放回”兩種情境.

從袋子中有放回地取出2個球，意味著每個球都有可能被取到2次，包括唯一的一個藍球，那么的取值應為2，3，4，5，6.

因為是有放回地取球，當=2時，兩次取到的紅球有可能是同一個，所以P（=2）==.同理可知，錯解中求得的P（=3），P（=4），P（=5）也有誤.

由于沒有正確理解“有無放回”取球類型的各自特點，將“有放回”情境當作“無放回”情境，導致了上述解法的錯誤.

正解： 當兩次取到的球分別是紅紅時，P（=2）==；當兩次取到的球分別是紅黃、黃紅時，P（=3）=+=；當兩次取到的球分別是黃黃、紅藍、藍紅時，P（=4）=++=；當兩次取到的球分別是黃藍、藍黃時，P（=5）=+=；當兩次取到的球分別是藍藍時，P（=6）==. （的分布列略）

“有放回”與“無放回”是高考概率問題中兩種最基本的情境.下面，我們再來具體地總結(jié)一下這兩種情境的特點和解答策略.

“有放回”取球： 必須“逐次取”且可“重復取”，可以理解為獨立重復試驗，用古典概型公式計算.例題的正解就是這種解法.

“無放回”取球： 既可逐次取球，也可一次性取球.

（1） 逐次?。?相當于有順序地取出“不同的球”，故其結(jié)果就是一個排列，可以用排列數(shù)公式計算. 在同一類球中取，用排列數(shù)公式計算；在不同類球中取，采用分類、分步計數(shù)原理計算.

比如，將例題中的“有放回”改為“無放回”，那么P（=3）==，其中，之所以乘“”，是由于“先取紅球后取黃球、先取黃球后取紅球”的分類.

（2） 一次性?。?結(jié)果相當于一個組合，可以用組合數(shù)公式算.在同類球中取，用組合數(shù)公式算；在不同類球中取，采用分步計數(shù)原理算（因不再考慮順序，故此時不用分類計數(shù)原理求解）.

將例題中“有放回”改成“無放回”后，若考慮一次性取球，則P（=2）==，P（=3）==.

解答步驟：

第一步：明確究竟是“有放回”情境還是“無放回”情境.

第二步：慎重選擇方法求解.

若是“有放回”情境，則直接用古典概型公式求解.

若是“無放回”情境，則可分別按“逐次取”或“一次性取”，從排列或組合角度出發(fā)求解.

【練一練】

已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中一次性任?。o放回，且每球取到的機會均等）3個球，記隨機變量X為取出3球所得分數(shù)之和.求X的分布列.

【參考答案】

解： 題目是“無放回”情境，且為一次性取球.因在不同類球中取，所以應采用分步計數(shù)原理計算.

X=3，4，5，6. P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==.故所求X的分布列為

例 設(shè)袋子中裝有3個紅球、2個黃球、1個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分.現(xiàn)從該袋子中任取（有放回，且每球取到的機會均等）2個球，記隨機變量為取出此2球所得分數(shù)之和.求的分布列.

錯解： 的取值為2，3，4，5，“=2”表示“取到2個紅球”，“=3”表示“取到1個紅球、1個黃球”， “=4”表示“取到2個黃球或1個紅球、1個藍球”，“=5”表示“取到1個黃球、1個藍球”. P（=2）==，P（=3）==，P（=4）=+=，P（=5）==. （的分布列略）

錯因： 混淆了“有放回”和“無放回”兩種情境.

從袋子中有放回地取出2個球，意味著每個球都有可能被取到2次，包括唯一的一個藍球，那么的取值應為2，3，4，5，6.

因為是有放回地取球，當=2時，兩次取到的紅球有可能是同一個，所以P（=2）==.同理可知，錯解中求得的P（=3），P（=4），P（=5）也有誤.

由于沒有正確理解“有無放回”取球類型的各自特點，將“有放回”情境當作“無放回”情境，導致了上述解法的錯誤.

正解： 當兩次取到的球分別是紅紅時，P（=2）==；當兩次取到的球分別是紅黃、黃紅時，P（=3）=+=；當兩次取到的球分別是黃黃、紅藍、藍紅時，P（=4）=++=；當兩次取到的球分別是黃藍、藍黃時，P（=5）=+=；當兩次取到的球分別是藍藍時，P（=6）==. （的分布列略）

“有放回”與“無放回”是高考概率問題中兩種最基本的情境.下面，我們再來具體地總結(jié)一下這兩種情境的特點和解答策略.

“有放回”取球： 必須“逐次取”且可“重復取”，可以理解為獨立重復試驗，用古典概型公式計算.例題的正解就是這種解法.

“無放回”取球： 既可逐次取球，也可一次性取球.

（1） 逐次取： 相當于有順序地取出“不同的球”，故其結(jié)果就是一個排列，可以用排列數(shù)公式計算. 在同一類球中取，用排列數(shù)公式計算；在不同類球中取，采用分類、分步計數(shù)原理計算.

比如，將例題中的“有放回”改為“無放回”，那么P（=3）==，其中，之所以乘“”，是由于“先取紅球后取黃球、先取黃球后取紅球”的分類.

（2） 一次性?。?結(jié)果相當于一個組合，可以用組合數(shù)公式算.在同類球中取，用組合數(shù)公式算；在不同類球中取，采用分步計數(shù)原理算（因不再考慮順序，故此時不用分類計數(shù)原理求解）.

將例題中“有放回”改成“無放回”后，若考慮一次性取球，則P（=2）==，P（=3）==.

解答步驟：

第一步：明確究竟是“有放回”情境還是“無放回”情境.

第二步：慎重選擇方法求解.

若是“有放回”情境，則直接用古典概型公式求解.

若是“無放回”情境，則可分別按“逐次取”或“一次性取”，從排列或組合角度出發(fā)求解.

【練一練】

已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中一次性任取（無放回，且每球取到的機會均等）3個球，記隨機變量X為取出3球所得分數(shù)之和.求X的分布列.

【參考答案】

解： 題目是“無放回”情境，且為一次性取球.因在不同類球中取，所以應采用分步計數(shù)原理計算.

X=3，4，5，6. P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==.故所求X的分布列為

例 設(shè)袋子中裝有3個紅球、2個黃球、1個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分.現(xiàn)從該袋子中任?。ㄓ蟹呕兀颐壳蛉〉降臋C會均等）2個球，記隨機變量為取出此2球所得分數(shù)之和.求的分布列.

錯解： 的取值為2，3，4，5，“=2”表示“取到2個紅球”，“=3”表示“取到1個紅球、1個黃球”， “=4”表示“取到2個黃球或1個紅球、1個藍球”，“=5”表示“取到1個黃球、1個藍球”. P（=2）==，P（=3）==，P（=4）=+=，P（=5）==. （的分布列略）

錯因： 混淆了“有放回”和“無放回”兩種情境.

從袋子中有放回地取出2個球，意味著每個球都有可能被取到2次，包括唯一的一個藍球，那么的取值應為2，3，4，5，6.

因為是有放回地取球，當=2時，兩次取到的紅球有可能是同一個，所以P（=2）==.同理可知，錯解中求得的P（=3），P（=4），P（=5）也有誤.

由于沒有正確理解“有無放回”取球類型的各自特點，將“有放回”情境當作“無放回”情境，導致了上述解法的錯誤.

正解： 當兩次取到的球分別是紅紅時，P（=2）==；當兩次取到的球分別是紅黃、黃紅時，P（=3）=+=；當兩次取到的球分別是黃黃、紅藍、藍紅時，P（=4）=++=；當兩次取到的球分別是黃藍、藍黃時，P（=5）=+=；當兩次取到的球分別是藍藍時，P（=6）==. （的分布列略）

“有放回”與“無放回”是高考概率問題中兩種最基本的情境.下面，我們再來具體地總結(jié)一下這兩種情境的特點和解答策略.

“有放回”取球： 必須“逐次取”且可“重復取”，可以理解為獨立重復試驗，用古典概型公式計算.例題的正解就是這種解法.

“無放回”取球： 既可逐次取球，也可一次性取球.

（1） 逐次?。?相當于有順序地取出“不同的球”，故其結(jié)果就是一個排列，可以用排列數(shù)公式計算. 在同一類球中取，用排列數(shù)公式計算；在不同類球中取，采用分類、分步計數(shù)原理計算.

比如，將例題中的“有放回”改為“無放回”，那么P（=3）==，其中，之所以乘“”，是由于“先取紅球后取黃球、先取黃球后取紅球”的分類.

（2） 一次性?。?結(jié)果相當于一個組合，可以用組合數(shù)公式算.在同類球中取，用組合數(shù)公式算；在不同類球中取，采用分步計數(shù)原理算（因不再考慮順序，故此時不用分類計數(shù)原理求解）.

將例題中“有放回”改成“無放回”后，若考慮一次性取球，則P（=2）==，P（=3）==.

解答步驟：

第一步：明確究竟是“有放回”情境還是“無放回”情境.

第二步：慎重選擇方法求解.

若是“有放回”情境，則直接用古典概型公式求解.

若是“無放回”情境，則可分別按“逐次取”或“一次性取”，從排列或組合角度出發(fā)求解.

【練一練】

已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中一次性任?。o放回，且每球取到的機會均等）3個球，記隨機變量X為取出3球所得分數(shù)之和.求X的分布列.

【參考答案】

解： 題目是“無放回”情境，且為一次性取球.因在不同類球中取，所以應采用分步計數(shù)原理計算.

X=3，4，5，6. P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==.故所求X的分布列為