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        準確區(qū)別兩種問題情境

        2014-03-10 08:40:03陳定昌
        中學生天地·高中學習版 2014年2期
        關(guān)鍵詞:黃球個球紅球

        陳定昌

        例 設(shè)袋子中裝有3個紅球、2個黃球、1個藍球,且規(guī)定:取出一個紅球得1分,取出一個黃球得2分,取出一個藍球得3分.現(xiàn)從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機會均等)2個球,記隨機變量為取出此2球所得分數(shù)之和.求的分布列.

        錯解: 的取值為2,3,4,5,“=2”表示“取到2個紅球”,“=3”表示“取到1個紅球、1個黃球”, “=4”表示“取到2個黃球或1個紅球、1個藍球”,“=5”表示“取到1個黃球、1個藍球”. P(=2)==,P(=3)==,P(=4)=+=,P(=5)==. (的分布列略)

        錯因: 混淆了“有放回”和“無放回”兩種情境.

        從袋子中有放回地取出2個球,意味著每個球都有可能被取到2次,包括唯一的一個藍球,那么的取值應為2,3,4,5,6.

        因為是有放回地取球,當=2時,兩次取到的紅球有可能是同一個,所以P(=2)==.同理可知,錯解中求得的P(=3),P(=4),P(=5)也有誤.

        由于沒有正確理解“有無放回”取球類型的各自特點,將“有放回”情境當作“無放回”情境,導致了上述解法的錯誤.

        正解: 當兩次取到的球分別是紅紅時,P(=2)==;當兩次取到的球分別是紅黃、黃紅時,P(=3)=+=;當兩次取到的球分別是黃黃、紅藍、藍紅時,P(=4)=++=;當兩次取到的球分別是黃藍、藍黃時,P(=5)=+=;當兩次取到的球分別是藍藍時,P(=6)==. (的分布列略)

        “有放回”與“無放回”是高考概率問題中兩種最基本的情境.下面,我們再來具體地總結(jié)一下這兩種情境的特點和解答策略.

        “有放回”取球: 必須“逐次取”且可“重復取”,可以理解為獨立重復試驗,用古典概型公式計算.例題的正解就是這種解法.

        “無放回”取球: 既可逐次取球,也可一次性取球.

        (1) 逐次?。?相當于有順序地取出“不同的球”,故其結(jié)果就是一個排列,可以用排列數(shù)公式計算. 在同一類球中取,用排列數(shù)公式計算;在不同類球中取,采用分類、分步計數(shù)原理計算.

        比如,將例題中的“有放回”改為“無放回”,那么P(=3)==,其中,之所以乘“”,是由于“先取紅球后取黃球、先取黃球后取紅球”的分類.

        (2) 一次性?。?結(jié)果相當于一個組合,可以用組合數(shù)公式算.在同類球中取,用組合數(shù)公式算;在不同類球中取,采用分步計數(shù)原理算(因不再考慮順序,故此時不用分類計數(shù)原理求解).

        將例題中“有放回”改成“無放回”后,若考慮一次性取球,則P(=2)==,P(=3)==.

        解答步驟:

        第一步:明確究竟是“有放回”情境還是“無放回”情境.

        第二步:慎重選擇方法求解.

        若是“有放回”情境,則直接用古典概型公式求解.

        若是“無放回”情境,則可分別按“逐次取”或“一次性取”,從排列或組合角度出發(fā)求解.

        【練一練】

        已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球得2分,取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中一次性任?。o放回,且每球取到的機會均等)3個球,記隨機變量X為取出3球所得分數(shù)之和.求X的分布列.

        【參考答案】

        解: 題目是“無放回”情境,且為一次性取球.因在不同類球中取,所以應采用分步計數(shù)原理計算.

        X=3,4,5,6. P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==.故所求X的分布列為

        例 設(shè)袋子中裝有3個紅球、2個黃球、1個藍球,且規(guī)定:取出一個紅球得1分,取出一個黃球得2分,取出一個藍球得3分.現(xiàn)從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機會均等)2個球,記隨機變量為取出此2球所得分數(shù)之和.求的分布列.

        錯解: 的取值為2,3,4,5,“=2”表示“取到2個紅球”,“=3”表示“取到1個紅球、1個黃球”, “=4”表示“取到2個黃球或1個紅球、1個藍球”,“=5”表示“取到1個黃球、1個藍球”. P(=2)==,P(=3)==,P(=4)=+=,P(=5)==. (的分布列略)

        錯因: 混淆了“有放回”和“無放回”兩種情境.

        從袋子中有放回地取出2個球,意味著每個球都有可能被取到2次,包括唯一的一個藍球,那么的取值應為2,3,4,5,6.

        因為是有放回地取球,當=2時,兩次取到的紅球有可能是同一個,所以P(=2)==.同理可知,錯解中求得的P(=3),P(=4),P(=5)也有誤.

        由于沒有正確理解“有無放回”取球類型的各自特點,將“有放回”情境當作“無放回”情境,導致了上述解法的錯誤.

        正解: 當兩次取到的球分別是紅紅時,P(=2)==;當兩次取到的球分別是紅黃、黃紅時,P(=3)=+=;當兩次取到的球分別是黃黃、紅藍、藍紅時,P(=4)=++=;當兩次取到的球分別是黃藍、藍黃時,P(=5)=+=;當兩次取到的球分別是藍藍時,P(=6)==. (的分布列略)

        “有放回”與“無放回”是高考概率問題中兩種最基本的情境.下面,我們再來具體地總結(jié)一下這兩種情境的特點和解答策略.

        “有放回”取球: 必須“逐次取”且可“重復取”,可以理解為獨立重復試驗,用古典概型公式計算.例題的正解就是這種解法.

        “無放回”取球: 既可逐次取球,也可一次性取球.

        (1) 逐次取: 相當于有順序地取出“不同的球”,故其結(jié)果就是一個排列,可以用排列數(shù)公式計算. 在同一類球中取,用排列數(shù)公式計算;在不同類球中取,采用分類、分步計數(shù)原理計算.

        比如,將例題中的“有放回”改為“無放回”,那么P(=3)==,其中,之所以乘“”,是由于“先取紅球后取黃球、先取黃球后取紅球”的分類.

        (2) 一次性?。?結(jié)果相當于一個組合,可以用組合數(shù)公式算.在同類球中取,用組合數(shù)公式算;在不同類球中取,采用分步計數(shù)原理算(因不再考慮順序,故此時不用分類計數(shù)原理求解).

        將例題中“有放回”改成“無放回”后,若考慮一次性取球,則P(=2)==,P(=3)==.

        解答步驟:

        第一步:明確究竟是“有放回”情境還是“無放回”情境.

        第二步:慎重選擇方法求解.

        若是“有放回”情境,則直接用古典概型公式求解.

        若是“無放回”情境,則可分別按“逐次取”或“一次性取”,從排列或組合角度出發(fā)求解.

        【練一練】

        已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球得2分,取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中一次性任取(無放回,且每球取到的機會均等)3個球,記隨機變量X為取出3球所得分數(shù)之和.求X的分布列.

        【參考答案】

        解: 題目是“無放回”情境,且為一次性取球.因在不同類球中取,所以應采用分步計數(shù)原理計算.

        X=3,4,5,6. P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==.故所求X的分布列為

        例 設(shè)袋子中裝有3個紅球、2個黃球、1個藍球,且規(guī)定:取出一個紅球得1分,取出一個黃球得2分,取出一個藍球得3分.現(xiàn)從該袋子中任?。ㄓ蟹呕兀颐壳蛉〉降臋C會均等)2個球,記隨機變量為取出此2球所得分數(shù)之和.求的分布列.

        錯解: 的取值為2,3,4,5,“=2”表示“取到2個紅球”,“=3”表示“取到1個紅球、1個黃球”, “=4”表示“取到2個黃球或1個紅球、1個藍球”,“=5”表示“取到1個黃球、1個藍球”. P(=2)==,P(=3)==,P(=4)=+=,P(=5)==. (的分布列略)

        錯因: 混淆了“有放回”和“無放回”兩種情境.

        從袋子中有放回地取出2個球,意味著每個球都有可能被取到2次,包括唯一的一個藍球,那么的取值應為2,3,4,5,6.

        因為是有放回地取球,當=2時,兩次取到的紅球有可能是同一個,所以P(=2)==.同理可知,錯解中求得的P(=3),P(=4),P(=5)也有誤.

        由于沒有正確理解“有無放回”取球類型的各自特點,將“有放回”情境當作“無放回”情境,導致了上述解法的錯誤.

        正解: 當兩次取到的球分別是紅紅時,P(=2)==;當兩次取到的球分別是紅黃、黃紅時,P(=3)=+=;當兩次取到的球分別是黃黃、紅藍、藍紅時,P(=4)=++=;當兩次取到的球分別是黃藍、藍黃時,P(=5)=+=;當兩次取到的球分別是藍藍時,P(=6)==. (的分布列略)

        “有放回”與“無放回”是高考概率問題中兩種最基本的情境.下面,我們再來具體地總結(jié)一下這兩種情境的特點和解答策略.

        “有放回”取球: 必須“逐次取”且可“重復取”,可以理解為獨立重復試驗,用古典概型公式計算.例題的正解就是這種解法.

        “無放回”取球: 既可逐次取球,也可一次性取球.

        (1) 逐次?。?相當于有順序地取出“不同的球”,故其結(jié)果就是一個排列,可以用排列數(shù)公式計算. 在同一類球中取,用排列數(shù)公式計算;在不同類球中取,采用分類、分步計數(shù)原理計算.

        比如,將例題中的“有放回”改為“無放回”,那么P(=3)==,其中,之所以乘“”,是由于“先取紅球后取黃球、先取黃球后取紅球”的分類.

        (2) 一次性?。?結(jié)果相當于一個組合,可以用組合數(shù)公式算.在同類球中取,用組合數(shù)公式算;在不同類球中取,采用分步計數(shù)原理算(因不再考慮順序,故此時不用分類計數(shù)原理求解).

        將例題中“有放回”改成“無放回”后,若考慮一次性取球,則P(=2)==,P(=3)==.

        解答步驟:

        第一步:明確究竟是“有放回”情境還是“無放回”情境.

        第二步:慎重選擇方法求解.

        若是“有放回”情境,則直接用古典概型公式求解.

        若是“無放回”情境,則可分別按“逐次取”或“一次性取”,從排列或組合角度出發(fā)求解.

        【練一練】

        已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球得2分,取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中一次性任?。o放回,且每球取到的機會均等)3個球,記隨機變量X為取出3球所得分數(shù)之和.求X的分布列.

        【參考答案】

        解: 題目是“無放回”情境,且為一次性取球.因在不同類球中取,所以應采用分步計數(shù)原理計算.

        X=3,4,5,6. P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==.故所求X的分布列為

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