戴三紅

提問： 在計數(shù)問題中，經(jīng)常有“至多”“至少”“不都”等詞語出現(xiàn).一看到這些詞，我就頭腦混亂，弄不清它們到底是什么意思……

回答： 排列組合問題中，“至多”“至少”這類詞語是許多同學(xué)的困擾.要想準確理解題意，首先要理解這些詞語的含義.

至少： 表示最小限度、不少于，即“大于或等于”.

例如，從5名女生和5名男生中選4人參賽，至少有2名女生被選中，表示被選中的女生人數(shù)大于或等于2名，即女生人數(shù)可能為2名、3名或4名.

至多： 表示最大限度、不超過，即“小于或等于”.

例如，從5名女生和5名男生中選4人參賽，至多有2名女生被選中，表示被選中的女生人數(shù)小于或等于2名，即女生可能為2名、1名或沒有.

在準確理解這些詞的含義后，就需要掌握解題方法.通常我們可以采用“分類討論直接計算”和“考慮反面情形間接計算”兩種方法處理這類問題.

例1 [2013年湖州市高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理科）第14題]將7支不同的筆全部放入兩個不同的筆筒中，每個筆筒中至少放2支筆，有 種不同的放法（用數(shù)字作答）.

解析： 例1含有的不確定因素是“每個筆筒中至少放2支筆”，具體哪個筆筒放幾支不明確.我們將這一不確定因素轉(zhuǎn)化為幾類明確的情形：兩個筆筒中分別放2支筆和5支筆、3支筆和4支筆、4支筆和3支筆、5支筆和2支筆.因此所求的放法有+++=2（+）=2×（21+35）=112種.

點評： 在例1中，我們采用分類討論直接計算的方法，將不確定因素轉(zhuǎn)化為幾類確定的、可計數(shù)的情形，這樣的處理使得題意更為清晰，便于逐類解答問題.

例2 [2013年高考數(shù)學(xué)重慶卷（理科）第13題] 從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1個人的選派方法有 種（用數(shù)字作答）.

解析： 從12名醫(yī)生中不加限制隨意選派5名醫(yī)生的方法有種.1名內(nèi)科醫(yī)生都不選，只從3名骨科和4名腦外科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種；1名腦外科醫(yī)生都不選，只從3名骨科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種；1名骨科醫(yī)生都不選，只從4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種.其中后兩類中有重復(fù)的選派法：選派的5人都是內(nèi)科醫(yī)生.由此可得每個科至少有1人的選派方法有：

-（++-1）=792-（21+56+126-1）=590種.

點評： 其實我們也可以采用分類討論直接計算的方法，將選派的5名醫(yī)生明確分為六類： 1名骨科、1名腦外科和3名內(nèi)科醫(yī)生；1名骨科、2名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生；1名骨科、3名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生；2名骨科、1名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生；2名骨科、2名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生；3名骨科、1名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，可得+++++=590種.

在將不確定因素轉(zhuǎn)化后得到的確定情形較多的情況下，直接分類討論法會使解題過程煩瑣，因此，在這種情況下，可以考慮反面情形進行間接計算，提高效率.

不管是運用直接分類討論法還是考慮反面情形間接計算，其實質(zhì)都是為了消除不確定因素，將不確定的問題轉(zhuǎn)化為確定的情形，方便求解.

提問： 在計數(shù)問題中，經(jīng)常有“至多”“至少”“不都”等詞語出現(xiàn).一看到這些詞，我就頭腦混亂，弄不清它們到底是什么意思……

回答： 排列組合問題中，“至多”“至少”這類詞語是許多同學(xué)的困擾.要想準確理解題意，首先要理解這些詞語的含義.

至少： 表示最小限度、不少于，即“大于或等于”.

例如，從5名女生和5名男生中選4人參賽，至少有2名女生被選中，表示被選中的女生人數(shù)大于或等于2名，即女生人數(shù)可能為2名、3名或4名.

至多： 表示最大限度、不超過，即“小于或等于”.

例如，從5名女生和5名男生中選4人參賽，至多有2名女生被選中，表示被選中的女生人數(shù)小于或等于2名，即女生可能為2名、1名或沒有.

在準確理解這些詞的含義后，就需要掌握解題方法.通常我們可以采用“分類討論直接計算”和“考慮反面情形間接計算”兩種方法處理這類問題.

例1 [2013年湖州市高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理科）第14題]將7支不同的筆全部放入兩個不同的筆筒中，每個筆筒中至少放2支筆，有 種不同的放法（用數(shù)字作答）.

解析： 例1含有的不確定因素是“每個筆筒中至少放2支筆”，具體哪個筆筒放幾支不明確.我們將這一不確定因素轉(zhuǎn)化為幾類明確的情形：兩個筆筒中分別放2支筆和5支筆、3支筆和4支筆、4支筆和3支筆、5支筆和2支筆.因此所求的放法有+++=2（+）=2×（21+35）=112種.

點評： 在例1中，我們采用分類討論直接計算的方法，將不確定因素轉(zhuǎn)化為幾類確定的、可計數(shù)的情形，這樣的處理使得題意更為清晰，便于逐類解答問題.

例2 [2013年高考數(shù)學(xué)重慶卷（理科）第13題] 從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1個人的選派方法有 種（用數(shù)字作答）.

解析： 從12名醫(yī)生中不加限制隨意選派5名醫(yī)生的方法有種.1名內(nèi)科醫(yī)生都不選，只從3名骨科和4名腦外科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種；1名腦外科醫(yī)生都不選，只從3名骨科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種；1名骨科醫(yī)生都不選，只從4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種.其中后兩類中有重復(fù)的選派法：選派的5人都是內(nèi)科醫(yī)生.由此可得每個科至少有1人的選派方法有：

-（++-1）=792-（21+56+126-1）=590種.

點評： 其實我們也可以采用分類討論直接計算的方法，將選派的5名醫(yī)生明確分為六類： 1名骨科、1名腦外科和3名內(nèi)科醫(yī)生；1名骨科、2名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生；1名骨科、3名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生；2名骨科、1名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生；2名骨科、2名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生；3名骨科、1名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，可得+++++=590種.

在將不確定因素轉(zhuǎn)化后得到的確定情形較多的情況下，直接分類討論法會使解題過程煩瑣，因此，在這種情況下，可以考慮反面情形進行間接計算，提高效率.

不管是運用直接分類討論法還是考慮反面情形間接計算，其實質(zhì)都是為了消除不確定因素，將不確定的問題轉(zhuǎn)化為確定的情形，方便求解.

提問： 在計數(shù)問題中，經(jīng)常有“至多”“至少”“不都”等詞語出現(xiàn).一看到這些詞，我就頭腦混亂，弄不清它們到底是什么意思……

回答： 排列組合問題中，“至多”“至少”這類詞語是許多同學(xué)的困擾.要想準確理解題意，首先要理解這些詞語的含義.

至少： 表示最小限度、不少于，即“大于或等于”.

例如，從5名女生和5名男生中選4人參賽，至少有2名女生被選中，表示被選中的女生人數(shù)大于或等于2名，即女生人數(shù)可能為2名、3名或4名.

至多： 表示最大限度、不超過，即“小于或等于”.

例如，從5名女生和5名男生中選4人參賽，至多有2名女生被選中，表示被選中的女生人數(shù)小于或等于2名，即女生可能為2名、1名或沒有.

在準確理解這些詞的含義后，就需要掌握解題方法.通常我們可以采用“分類討論直接計算”和“考慮反面情形間接計算”兩種方法處理這類問題.

例1 [2013年湖州市高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理科）第14題]將7支不同的筆全部放入兩個不同的筆筒中，每個筆筒中至少放2支筆，有 種不同的放法（用數(shù)字作答）.

解析： 例1含有的不確定因素是“每個筆筒中至少放2支筆”，具體哪個筆筒放幾支不明確.我們將這一不確定因素轉(zhuǎn)化為幾類明確的情形：兩個筆筒中分別放2支筆和5支筆、3支筆和4支筆、4支筆和3支筆、5支筆和2支筆.因此所求的放法有+++=2（+）=2×（21+35）=112種.

點評： 在例1中，我們采用分類討論直接計算的方法，將不確定因素轉(zhuǎn)化為幾類確定的、可計數(shù)的情形，這樣的處理使得題意更為清晰，便于逐類解答問題.

例2 [2013年高考數(shù)學(xué)重慶卷（理科）第13題] 從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1個人的選派方法有 種（用數(shù)字作答）.

解析： 從12名醫(yī)生中不加限制隨意選派5名醫(yī)生的方法有種.1名內(nèi)科醫(yī)生都不選，只從3名骨科和4名腦外科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種；1名腦外科醫(yī)生都不選，只從3名骨科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種；1名骨科醫(yī)生都不選，只從4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種.其中后兩類中有重復(fù)的選派法：選派的5人都是內(nèi)科醫(yī)生.由此可得每個科至少有1人的選派方法有：

-（++-1）=792-（21+56+126-1）=590種.

點評： 其實我們也可以采用分類討論直接計算的方法，將選派的5名醫(yī)生明確分為六類： 1名骨科、1名腦外科和3名內(nèi)科醫(yī)生；1名骨科、2名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生；1名骨科、3名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生；2名骨科、1名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生；2名骨科、2名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生；3名骨科、1名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，可得+++++=590種.

在將不確定因素轉(zhuǎn)化后得到的確定情形較多的情況下，直接分類討論法會使解題過程煩瑣，因此，在這種情況下，可以考慮反面情形進行間接計算，提高效率.

不管是運用直接分類討論法還是考慮反面情形間接計算，其實質(zhì)都是為了消除不確定因素，將不確定的問題轉(zhuǎn)化為確定的情形，方便求解.