肖華攀，方子帆，何孔德，高 頻，楊蔚華

(1.三峽大學機械與材料學院，湖北宜昌 443002;2.三峽大學水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室，湖北宜昌 443002;3.中國船舶重工集團公司第七一○研究所，湖北宜昌 443003）

橫流中水下氣泡運動特性模型對比研究

肖華攀1，2，方子帆1，2，何孔德1，高 頻3，楊蔚華1

(1.三峽大學機械與材料學院，湖北宜昌 443002;2.三峽大學水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室，湖北宜昌 443002;3.中國船舶重工集團公司第七一○研究所，湖北宜昌 443003）

為更好地研究水下氣泡的運動規(guī)律，開展橫流作用下水下氣泡的運動特性模型研究。首先以動量定理為基礎，推導橫流中水下高速氣體的射流軌跡模型;其次依據(jù)牛頓定理，對水下氣泡進行受力分析，建立橫流中單氣泡的運動數(shù)學模型;最后采用龍格－庫塔法對2個模型進行求解與分析。結果表明，2個計算模型在各自的氣泡速度范圍內，能夠模擬對應的氣泡運動軌跡，而隨著橫流速度的不斷增加，計算結果誤差越來越大。研究結果為水下氣泡在復雜流場中的運動特性研究提供參考。

橫流;水下氣泡;運動特性;模型

0 引言

水下氣泡的運動特性分析在化工、醫(yī)藥、動力、航天、熱能、艦船等各個領域中經常遇到。例如，在高速艇的水下排氣當中，大量的水下氣泡很可能會增加行駛阻力，加快螺旋槳的氣蝕，因此有必要研究水下氣泡的運動規(guī)律［1］。

Best和Kucera等［2］利用軸對稱模型研究了氣泡在剛性壁面附近的運動規(guī)律。Wang等［3］利用同樣的模型模擬了近自由液面氣泡的動力學特性。蔣炎坤［4－5］建立了靜水下單氣泡的運動數(shù)學模型，對模型進行求解，獲得水下氣泡的運動特性。張阿漫［6］等基于勢流假設，建立氣泡動力學數(shù)值模型，模擬氣泡在重力場中的特性。徐炯［7］等用高速攝影對穩(wěn)定狀態(tài)靜水下氣泡生成和運動形態(tài)進行分析，討論了氣泡的動力理論特性。石晟瑋［8］、鞠花［9］等人從受力分析的角度，對氣泡運動方程進行推導，對靜水中氣泡的上浮過程進行計算。

上述氣泡動力學模型沒有考慮水流的作用，以及氣泡的不斷破裂與合并。據(jù)此，本文推導了在橫流作用下，水下高、低速氣泡的運動軌跡方程，探求出一種研究水下氣泡動態(tài)特性的新思路。

1 水下高速氣體射流軌跡模型

當氣泡的初始速度很大時，氣泡之間不斷破裂與合并，形成氣液兩相的上升射流。賽麥里斯等在研究銅轉爐中氣液流軌跡時，推導了高速氣體的射流軌跡方程［10］。如圖1所示，高速氣體噴入溶液后，二者之間將不斷發(fā)生質量和能量交換，形成膨脹的氣液兩相流;同時，在浮力的作用下，氣液兩相流又逐漸轉為上升射流。圖中建立oxy坐標系，并標出在x處直徑為d，長為氣微團。

圖1 橫流作用下高速氣體的射流軌跡模型Fig.1 The jet trajectorymodel of underwater high-speed gas in cross flow

式中:ρ1為氣體密度;ρ2為液體密度;B為噴嘴處射流軸的無因次水平距離;C為氣液兩相流體積中氣體體積所占的百分數(shù)。其表達式分別為式中θ為氣液流錐角，一般取θ=20°。

根據(jù)圖1，對圖中微團應用動量定理，推導出在橫流作用下水下高速氣體的射流軌跡方程。

在x方向，每個氣微團受到水流沖力Fx的作用;在y方向，每個氣微團受到浮力和重力的合力Fy的作用，在2個方向上對微團利用動量定理有

式中:M為射流在x處的總動量;φ為射流軸在x處的傾斜角。

在x方向，水流沖力實際上與作用在氣微團上的繞流阻力是一對相互作用力。由于氣微團體積很小，繞流阻力只需考慮摩擦阻力，即水流剪切力。每個微團受水流沖力為［11］

式中:Cd為氣微團的阻力系數(shù);v為橫流速度;d A為氣微團在垂直于流體運動方向平面上的投影面積，每個微團的投影面積為

式中μ2為水的動力粘度。上式中微元體的直徑d是1個變值，本文選取d為一定范圍內射流直徑的平均值。

在y方向，氣微團受自身重力和浮力的作用，二者的合力為

若橫流速度v=0，即只考慮由浮力引起的射流軌跡變化，根據(jù)式(12）可知:

2 水下低速氣泡運動軌跡模型

當氣泡速度很低時，忽略氣泡彼此之間的組合與破裂過程，氣泡在運動過程中始終為單一氣泡。本文在水下氣泡受力分析基礎上，推導出橫流作用下水下低速氣泡的運動軌跡方程。

依據(jù)牛頓定律，建立單氣泡運動學模型為

式中:db為氣泡的等效直徑;ux和uy為氣泡運行速度u沿x方向和y方向的分量;Fx為水流沖力;fx和fy為氣泡粘性阻力f沿x方向和y方向的分量。其計算公式分別為

采用龍格－庫塔法可求得氣泡在x，y方向的速度和位移，其初始條件為:當t=0時，ux=ux0，uy=0，其中ux0為氣泡的初始速度，且氣泡的初始位置為x0=0.5db。

3 求解與分析

設射流氣體密度ρ1=1.25 kg/m3，水密度ρ2=1 000 kg/m3，水動力粘度 μ2=0.001 N·s/m2，噴嘴口直徑d0=0.15 cm。當橫流速度v=0 m/s時，根據(jù)式(15），在不同射流速度下，水下氣體的射流軌跡如圖2所示，圖中射流速度u分別為25 m/s，35 m/s，45 m/s，55 m/s，65 m/s。由圖可見，隨著射流速度的增加，射流水平方向穿透的距離也增加，在一定程度上，驗證了該模型的正確性。

圖2 不同射流速度下，式(15）計算的射流軌跡Fig.2 The jet trajectory of formula(15）in different jet velocity

由于水下氣泡不只是單純的氣體介質，設其氣泡密度ρ1=29.74 kg/m3，直徑db=0.014 m。圖3為不同射流速度下，采用式(15）和式(22）計算的水下氣體運動軌跡對比圖。由圖可知，當射流速度較低時，式(22）對應的射流軌跡在式(15）對應的射流軌跡右邊;當射流速度較高時，這種位置關系發(fā)生顛倒。在給定的參數(shù)條件下，當射流速度為35 m/s時，采用2個公式計算的射流軌跡吻合性良好。由此，在給定參數(shù)條件下，當射流速度小于35 m/s時，采用式(22）更能準確的模擬氣泡的運動軌跡;反之，當射流速度大于35 m/s時，采用式(15）更合理。

圖3 不同射流速度下，兩公式計算的運動軌跡對比圖Fig.3 Comparison between themotion trajectories of two formulas in different jet velocity

根據(jù)圖3可知，隨著射流速度不斷增加，射流直徑的平均值 d不斷增加，分別為0.005 6 m，0.007 1 m，0.008 5 m，0.009 7 m，0.010 9 m。在橫流作用下，射流直徑的平均值將更大，設平均值d的上限為0.05m。根據(jù)式(7），Re在600～100 000范圍內時，對應的橫流速度v為0.012～2 m/s，圓柱體的阻力系數(shù)Cd在1.0～1.2之間。本文忽略氣微團的傾斜效應，取該速度范圍內的Cd為1.2［14］。

當射流速度ux0=35 m/s，根據(jù)式(15），在不同橫流作用下，水下氣體的射流軌跡圖如圖4所示。圖中，橫流速度分別為0.01 m/s，0.02 m/s，0.03 m/s，0.04 m/s，0.05 m/s;曲線上所有相鄰離散點橫坐標差的平均值為極大值Max，分別為10 394，10 285，10 081，10 016，10 415;射流直徑的平均值d分別為0.007 2 m，0.007 4 m，0.007 7 m，0.008 3 m，0.010 5 m，均小于d的上限值。由圖可知，隨著橫流速度的不斷增加，射流水平方向穿透的距離也增加，這符合實際情況。

圖4 不同橫流速度下，式(15）計算的射流軌跡Fig.4 The jet trajectory of formula(15）in different cross flow velocity

設仿真時間為0.12 s，根據(jù)式(22），如圖5所示，在不同橫流速度下，氣泡在x方向的速度、位移圖。由圖可知，在x方向，氣泡在很短的時間內減速，最終速度與橫流速度一致;隨著橫流速度的不斷增加，氣泡在水平方向的距離不斷增加，經過0.026 s后，水平距離的增加不再明顯。

圖5 不同橫流速度下，氣泡沿x方向的速度、位移曲線圖Fig.5 The velocity and displacement of bubbles along x direction in different cross flow velocity

在y方向，氣泡由于受到浮力作用，速度從0開始不斷增加，同時粘性阻力也隨之產生，當粘性阻力、浮力和氣泡的重力三者達到平衡時，氣泡做勻速運動。經計算，氣泡在0.017 8 s內達到平衡狀態(tài)，且終止速度為0.981 3m/s，由于仿真時間0.12 s遠大于氣泡達到平衡狀態(tài)的時間，為計算簡便，直接給定氣泡在y方向的初始速度為0.981 3m/s。

圖6 不同橫流速度下，式(22）計算的運動軌跡Fig.6 Themotion trajectory of formula(22）in different cross flow velocity

圖6為氣泡在不同橫流作用下，根據(jù)式(22）計算的水下氣體的射流軌跡。由圖可知，水下氣泡脫離出口后，剛開始在水平方向的距離明顯增加，一段時間后轉而在豎直方向的距離增加明顯，這與氣泡在2個方向的運行速度變化有關。

對比圖4可知，當橫流速度較低時，采用式(15）和式(22）計算的運動軌跡重合度較高，而隨著橫流速度的不斷增加，兩計算公式下的運動軌跡偏距也不斷加大，式(15）計算的射流軌跡始終在式(22）軌跡的右邊。

4 結語

水下高速氣泡在運行過程中不斷地破裂與合并，并與周圍發(fā)生物質和能量的交換，當水下氣泡處于橫流中時，這種交換更為明顯，因此難以用單一氣泡數(shù)學模型來模擬。為了獲取水下氣泡在橫流作用下的運動軌跡，在水下氣體受力分析基礎上，分別推導了橫流中水下高速氣體的射流軌跡模型以及水下單氣泡的運動數(shù)學模型。結合具體的實例，對這2個模型進行求解與分析表明:兩計算模型有各自的速度使用范圍，且只有當橫流速度較低時，兩模型的計算結果才能吻合良好。

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Comparative study on kinetic characteristic model of underwater bubble in cross flow

XIAO Hua-pan1，2，F(xiàn)ANG Zi-fan1，2，HE Kong-de1，GAO Pin3，YANGWei-hua1
(1.College of Mechanical＆Material Engineering，China Three Gorges University，Yichang 443002，China;2.Hubei Key Laboratory of Hydroelectric Machinery Design ＆ Maintenance，China Three Gorges University，Yichang 443002，China;3.The 710 Research Institute of CSIC，Yichang 443002，China）

In order to study themotion law of underwater bubble correctly，the kinetic characteristic of underwater bubble is carried out in cross flow.Firstly，based on momentum theory，the jet trajectory equation of underwater high-speed gas is deduced in cross flow.Then，according to Newton's law，the force analysis of underwater bubble is carried out，and the motion mathematical model of single bubble is established in cross flow.Finally，both two models are solved and analyzed by Runge-Kutta algorithm.It shows that themotion trajectory of bubble can be simulated accurately by use of twomodels only in their own range of bubble velocity，and the difference of calculation result becomes bigger and bigger when the crossflow velocity increases.The result provides a reference on kinetic characteristic study for underwater bubble in complex flow field.

cross flow;underwater bubble;kinetic characteristic;model

2013－06－17;

2013－07－12

肖華攀(1988－），男，碩士，主要研究方向為水下多體動力學。

U661.71

A

1672－7649(2014）05－0072－05

10.3404/j.issn.1672－7649.2014.05.014