葛敏輝

一、解讀“周長(zhǎng)”

“周長(zhǎng)”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著十分重要的地位。它的本質(zhì)意義可以理解為是封閉圖形一周的長(zhǎng)度。但低段學(xué)生比較難理解這樣的意義，原因有二：

第一，周長(zhǎng)是一種特殊的長(zhǎng)度。我們知道，周長(zhǎng)是屬于一維空間的，然而它卻存在于二維空間中，所以它很容易與形或面相混淆。兒童比較習(xí)慣根據(jù)自己的直觀視覺(jué)觀察，容易把“大小”拿來(lái)作為判斷周長(zhǎng)的依據(jù)，很難把圖形的“周長(zhǎng)”歸納于“長(zhǎng)度”的大家庭中。

第二，因?yàn)橹荛L(zhǎng)是指一周的長(zhǎng)度，這“一周”的意義對(duì)于兒童來(lái)說(shuō)，有著豐富的個(gè)性化理解，有人理解為是一星期，有人認(rèn)為一個(gè)周期，也有的理解為是周圍……要剔除非本質(zhì)的屬性，把握住概念中的本質(zhì)內(nèi)涵，對(duì)于兒童來(lái)說(shuō)似乎比較困難。

各版本教材在編排這一內(nèi)容時(shí)，都強(qiáng)調(diào)通過(guò)看一看、描一描、摸一摸等活動(dòng)來(lái)認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)。這雖然符合兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律，但細(xì)細(xì)想來(lái)，還是存在著一些困惑。例如，如果只是觀察，沒(méi)有比較歸納，哪怕是有再多的實(shí)例，也只是量的疊加，而非質(zhì)的豐富，也就沒(méi)有真正意義上的抽象；如果只是操作，沒(méi)有思維參與、沒(méi)有內(nèi)省，盡管五官都動(dòng)起來(lái)，學(xué)生也可以“依樣畫(huà)葫蘆”，以至于沒(méi)有準(zhǔn)確理解概念的本質(zhì)意義。那么如何才能讓學(xué)生有了觀察還會(huì)自主歸納，有了操作還會(huì)體驗(yàn)內(nèi)省呢？我們需要為教學(xué)尋找一個(gè)支點(diǎn)。

二、尋找支點(diǎn)

陶行知先生曾說(shuō)過(guò)：“教育只有通過(guò)生活才能產(chǎn)生作用并真正成為教育?！笔聦?shí)上許多數(shù)學(xué)概念正是從生活形象中抽象出本質(zhì)特征而形成的。周長(zhǎng)這一概念也不例外，其核心意義“一周的長(zhǎng)度”，兒童在生活體驗(yàn)中已經(jīng)積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)。比如，學(xué)生每天在學(xué)校繞操場(chǎng)跑步，經(jīng)常陪爸爸媽媽繞公園散步，買褲子時(shí)要量腰圍，等等。只是在他們的理解中，這種經(jīng)驗(yàn)一般以“一圈的長(zhǎng)度”來(lái)表述?？梢?jiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)周長(zhǎng)之前并不是一張白紙，他們有著豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，如何利用好這些生長(zhǎng)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)的對(duì)接，引導(dǎo)學(xué)生將經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)提升為學(xué)科數(shù)學(xué)，是我們教師需要思考和努力的。

因此，從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷參與、反思、內(nèi)化、運(yùn)用等數(shù)學(xué)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)反省經(jīng)驗(yàn)、改造經(jīng)驗(yàn)，豐富經(jīng)驗(yàn)的目的，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)意義的理解，是我們組織教學(xué)的支點(diǎn)！

三、教學(xué)實(shí)踐

有了以上的分析和思考，我設(shè)計(jì)并教學(xué)了“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”一課，現(xiàn)擷取幾個(gè)教學(xué)片斷并加以分析，以期能與同行交流、探討。

1.激活經(jīng)驗(yàn)

師（板書(shū)：長(zhǎng)度）：以前學(xué)過(guò)嗎？說(shuō)說(shuō)看，長(zhǎng)度的知識(shí)你已經(jīng)學(xué)會(huì)了哪些？

生1：我們學(xué)過(guò)了米、分米、厘米這些長(zhǎng)度單位。

生2：我們學(xué)過(guò)了可以用尺子來(lái)測(cè)量長(zhǎng)度。

師：這里有兩根電線，哪一根電線長(zhǎng)一些？

投影：

第1根：■

第2根： ■

生3：第1根電線長(zhǎng)一些。因?yàn)樗F(xiàn)在是彎的，把它拉直了就一定比第2根電線長(zhǎng)。

師：今天我們要來(lái)認(rèn)識(shí)一種特殊的長(zhǎng)度。（板書(shū)：周長(zhǎng)）

師：誰(shuí)能來(lái)解釋一下“周長(zhǎng)”是什么意思？

生4：周長(zhǎng)是一星期的時(shí)間。

生5：周長(zhǎng)應(yīng)該是指一圈的長(zhǎng)度。

師：你們覺(jué)得哪一種理解在這里比較合適？你能不能舉個(gè)例子說(shuō)說(shuō)“一圈的長(zhǎng)度”什么意思？

生6：我們繞操場(chǎng)跑一圈，操場(chǎng)一圈的長(zhǎng)度是200米。

師：怎樣跑就是操場(chǎng)的一圈？

生7：從哪里開(kāi)始跑，跑回到起跑的地方就剛好是一圈。

師：你在哪還經(jīng)歷過(guò)這樣的一圈？

生8：我每天吃過(guò)晚飯要和爸爸去小區(qū)散步，繞小區(qū)走一圈。

生9：繞公園走也有一圈，教室也有一圈……

師：操場(chǎng)上跑一圈，這一圈也可以叫做一周；小區(qū)里的一圈，教室里跑一圈也叫一周……所以你們說(shuō)的“一圈”數(shù)學(xué)上一般叫“一周”，一周的長(zhǎng)度就是一圈的長(zhǎng)度，叫周長(zhǎng)。

生（齊讀）：一周的長(zhǎng)度是周長(zhǎng)。

[分析與思考]教師在一開(kāi)始就幫助學(xué)生回憶起關(guān)于長(zhǎng)度的經(jīng)驗(yàn)，目的是為后續(xù)理解在二維空間中的圖形的周長(zhǎng)其實(shí)質(zhì)與一維空間中的長(zhǎng)度的意義相同。周長(zhǎng)因?yàn)槭恰耙恢艿拈L(zhǎng)度”，因此其第二個(gè)核心意義就是“一周”，通過(guò)喚醒學(xué)生在生活中跑步、散步、買褲子量腰圍的經(jīng)驗(yàn)，抽取出其相同的屬性，即“一圈”。對(duì)于一圈，學(xué)生完全可以找到很多經(jīng)驗(yàn)來(lái)理解。有了這樣的領(lǐng)悟，由此可使所有的學(xué)生在自己原有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上開(kāi)始轉(zhuǎn)化。從領(lǐng)悟到轉(zhuǎn)化，這就實(shí)現(xiàn)了經(jīng)驗(yàn)向數(shù)學(xué)的對(duì)接，符合兒童的認(rèn)識(shí)規(guī)律。

2.感知周長(zhǎng)

師：現(xiàn)在按你的理解，請(qǐng)判斷：螞蟻爬過(guò)的路線長(zhǎng)度是這片桑葉的周長(zhǎng)嗎？（如圖1）?！?/p>

生1：不是。因?yàn)槲浵仜](méi)有爬回到起點(diǎn)，這樣就沒(méi)有一周。

生2：要從起點(diǎn)出發(fā)回到起點(diǎn)。

師（投影第二只螞蟻爬。如圖2）：這個(gè)呢？■

生：不是。

師：已經(jīng)爬回到起點(diǎn)了，為什么還不是??？

生3：它爬到里面去了，這樣不是桑葉的周長(zhǎng)。

生4：應(yīng)該在桑葉的邊緣爬，再回到起點(diǎn)就是了。

師：沿著邊緣爬的路線我們可以叫做“邊線”。（投影第三只螞蟻爬，如圖3）■沿著邊線爬，回到起點(diǎn)這樣正好是一周，這一周的長(zhǎng)度就是這片桑葉的周長(zhǎng)。（學(xué)生動(dòng)手指一指）

師：靜靜地想一想，那你覺(jué)得哪張葉子一周的長(zhǎng)度長(zhǎng)一些？

生5：桑葉的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些。因?yàn)樗笠稽c(diǎn)。

生6：楓葉的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些。因?yàn)樗倪吘€有很多曲折。

師：好像都有道理，有什么辦法能比一比？

生7：我們可以把它們一周的長(zhǎng)度拉直來(lái)比一比。

師演示兩張樹(shù)葉邊線拉直的圖進(jìn)行比較（如圖4）。得出結(jié)論：楓葉的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些。

■

師：通過(guò)剛才的比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生8：面大也不一定周長(zhǎng)長(zhǎng)一些。

生9：周長(zhǎng)是一周的長(zhǎng)度，不看里面的。

生10：邊線越曲折，它的周長(zhǎng)會(huì)越長(zhǎng)。

……

[分析與思考]研究表明，為學(xué)生提供有層次性的、與數(shù)學(xué)本質(zhì)一樣的活動(dòng)情境，讓學(xué)生獲得足夠的替代性經(jīng)驗(yàn)，可以有效地幫助學(xué)生從現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)中抽象出數(shù)學(xué)概念和結(jié)構(gòu)。因此，教師安排了觀察螞蟻爬桑葉來(lái)讓學(xué)生思考螞蟻爬過(guò)的路線長(zhǎng)度是不是這片桑葉的周長(zhǎng)，很好地使每一個(gè)學(xué)生在參與觀察、思考、交流的活動(dòng)中，獲得具體經(jīng)驗(yàn)，即要從起點(diǎn)回到起點(diǎn)、要繞邊線，實(shí)現(xiàn)了對(duì)自己生活經(jīng)驗(yàn)的加工改造。然后再讓學(xué)生經(jīng)歷指一指、比一比的活動(dòng)，促進(jìn)他們把獲得的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行內(nèi)化，進(jìn)一步獲得了合乎邏輯的、抽象的經(jīng)驗(yàn)，即周長(zhǎng)的實(shí)質(zhì)是一周的長(zhǎng)度。把一周的邊線拉直就是以前的長(zhǎng)度知識(shí)，亦可測(cè)量、比較，打通了新舊知識(shí)間的聯(lián)系。

3.理解本質(zhì)

師：我們還學(xué)過(guò)一些平面圖形。

■

圖4

師：你能指出這些圖形（如圖4）的周長(zhǎng)嗎？指給同桌看一看。

師：誰(shuí)上來(lái)指長(zhǎng)方形的給大家看一看？（讓一名學(xué)生上講臺(tái)指）

師：有跟他指的不一樣的嗎？（不同指法展示）

師：他們剛才哪里不一樣？

生1：他們指的方向不一樣。

生2：他們指的起點(diǎn)也不一樣。

師：為什么他們指的方向和起點(diǎn)都不一樣也都可以呢？

生3：因?yàn)樗麄兌贾噶碎L(zhǎng)方形的一周。

師：有人說(shuō)圓這個(gè)圖形很難指的，你知道為什么嗎？

生4：我們不知道從哪里開(kāi)始，指的時(shí)候有可能指過(guò)頭了，或者還沒(méi)有到起點(diǎn)就停下來(lái)了。

師：有什么辦法克服嗎？

生5：做個(gè)起點(diǎn)的記號(hào)。

師：誰(shuí)來(lái)試一試？（學(xué)生演示）

師：根據(jù)你現(xiàn)在對(duì)周長(zhǎng)的理解，你覺(jué)得下面這個(gè)圖形有周長(zhǎng)嗎？

■

生6：有周長(zhǎng)。

生7：沒(méi)有周長(zhǎng)。

師：說(shuō)說(shuō)你們的想法？

生8：沒(méi)有周長(zhǎng)。因?yàn)榛夭坏狡瘘c(diǎn)了。

生9：這個(gè)圖形有開(kāi)口，沒(méi)有一周。

師：那你能把這個(gè)沒(méi)有周長(zhǎng)的圖形變成一個(gè)有周長(zhǎng)的圖形嗎？

（展示學(xué)生的作品，如圖5）

■

圖5

師：看來(lái)只有像這樣沒(méi)有缺口的圖形才有“周長(zhǎng)”。像這樣的圖形我們簡(jiǎn)稱為封閉圖形（板書(shū)：封閉圖形）。只有封閉圖形才有一周的長(zhǎng)度。

[分析與思考]對(duì)一個(gè)概念本質(zhì)屬性的準(zhǔn)確把握，不僅需要豐富的正例，也需要通過(guò)將其和反例進(jìn)行比較，才能剔除非本質(zhì)的屬性，從而理解概念的本質(zhì)意義。因此，雖然教師安排了指一指已學(xué)過(guò)的平面圖形的周長(zhǎng)在哪，這樣的活動(dòng)可以讓學(xué)生獲得豐富的正例經(jīng)驗(yàn)，但這種經(jīng)驗(yàn)很容易受到畫(huà)圖經(jīng)驗(yàn)的干擾。因?yàn)閮和焐矚g畫(huà)圖，在操作時(shí)他不一定真正理解并運(yùn)用周長(zhǎng)的本質(zhì)屬性，而可能只是“照形畫(huà)形”。基于這樣的思考，教師安排了比較兩位學(xué)生指長(zhǎng)方形周長(zhǎng)所在的邊的異同和思考圓的周長(zhǎng)怎么指的情境，目的是為了排除畫(huà)圖經(jīng)驗(yàn)的干擾，突出周長(zhǎng)概念的本質(zhì)屬性，即一周的長(zhǎng)度。同時(shí)，再設(shè)置一個(gè)反例來(lái)引發(fā)學(xué)生回顧、反思、比較，這可以促使學(xué)生把內(nèi)隱的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)外顯化，在反省、運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造和生長(zhǎng)，學(xué)生通過(guò)同化或順應(yīng)的方式把周長(zhǎng)概念的核心意義建立在自己的認(rèn)識(shí)世界里?？梢?jiàn)，加強(qiáng)反省、概括和運(yùn)用的活動(dòng)，可以很好地幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)意義。

4.鞏固運(yùn)用

師：你能用彩筆描出城堡圖（如圖6）周長(zhǎng)所在的邊嗎？

■

（展示學(xué)生的作品，如圖7）

■

師：這里有兩位同學(xué)的描法，你支持誰(shuí)的想法？

生（交流后得出結(jié)論）：要沿圖形的邊線描。

師：現(xiàn)在有一張長(zhǎng)方形紙，從這張長(zhǎng)方形紙上像這樣剪下一個(gè)小正方形（如圖8），你覺(jué)得與原來(lái)的長(zhǎng)方形相比，哪幅圖的“周長(zhǎng)”長(zhǎng)一些？

■

生1：第（1） 幅圖的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些。

生2：一樣長(zhǎng)。

師：其他同學(xué)支持誰(shuí)的觀點(diǎn)？說(shuō)說(shuō)你的理由。

生3：我也認(rèn)為是一樣長(zhǎng)。因?yàn)榭梢酝ㄟ^(guò)平移的辦法把第（2）幅圖的周長(zhǎng)變成和第（1）幅圖一樣。（演示）

師：如果像這樣剪掉一個(gè)正方形（如圖9），這時(shí)與原來(lái)的長(zhǎng)方形相比，哪幅圖的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些？

■

生：第（4）幅的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些。

師：這時(shí)怎么又不一樣長(zhǎng)了？（交流后演示）

師：通過(guò)剛才的比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：長(zhǎng)方形剪掉一個(gè)正方形，周長(zhǎng)沒(méi)有減少。

生2：有時(shí)會(huì)一樣長(zhǎng)，有時(shí)還是剪掉后的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些。

生3：我們不能被外表欺騙，因?yàn)橹荛L(zhǎng)是圖形一周的長(zhǎng)度。

……

[分析與思考]通過(guò)變式的練習(xí)可以幫助學(xué)生深刻理解概念的意義。教師通過(guò)設(shè)置找組合圖形的周長(zhǎng)來(lái)激發(fā)學(xué)生的探究欲和思考力，使學(xué)生在運(yùn)用知識(shí)來(lái)解決新問(wèn)題的過(guò)程中凸顯思維的張力。因?yàn)槲覀兊慕虒W(xué)絕不僅僅只是為了實(shí)現(xiàn)知識(shí)的達(dá)成，數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)同樣要滲透在教學(xué)過(guò)程中。教師最后安排了“在一張長(zhǎng)方形紙上剪掉一個(gè)正方形，比較這時(shí)的周長(zhǎng)與原來(lái)圖形的周長(zhǎng)”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是為了通過(guò)“面積”的大小變化來(lái)干擾學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)”的判斷，試圖進(jìn)一步拓展學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)”概念的本質(zhì)理解，以便能區(qū)分“周長(zhǎng)”與“面積”的不同內(nèi)涵。學(xué)生在觀察、比較、想象、操作、歸納等活動(dòng)中，不僅積累了豐富的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也發(fā)展了空間觀念和抽象思維。最后學(xué)生的小結(jié)更讓我們欣喜地看到，他們?cè)谶@樣的過(guò)程中也收獲了情感體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)的提升。

（責(zé)編 金 鈴）

生8：面大也不一定周長(zhǎng)長(zhǎng)一些。

生9：周長(zhǎng)是一周的長(zhǎng)度，不看里面的。

生10：邊線越曲折，它的周長(zhǎng)會(huì)越長(zhǎng)。

……

[分析與思考]研究表明，為學(xué)生提供有層次性的、與數(shù)學(xué)本質(zhì)一樣的活動(dòng)情境，讓學(xué)生獲得足夠的替代性經(jīng)驗(yàn)，可以有效地幫助學(xué)生從現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)中抽象出數(shù)學(xué)概念和結(jié)構(gòu)。因此，教師安排了觀察螞蟻爬桑葉來(lái)讓學(xué)生思考螞蟻爬過(guò)的路線長(zhǎng)度是不是這片桑葉的周長(zhǎng)，很好地使每一個(gè)學(xué)生在參與觀察、思考、交流的活動(dòng)中，獲得具體經(jīng)驗(yàn)，即要從起點(diǎn)回到起點(diǎn)、要繞邊線，實(shí)現(xiàn)了對(duì)自己生活經(jīng)驗(yàn)的加工改造。然后再讓學(xué)生經(jīng)歷指一指、比一比的活動(dòng)，促進(jìn)他們把獲得的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行內(nèi)化，進(jìn)一步獲得了合乎邏輯的、抽象的經(jīng)驗(yàn)，即周長(zhǎng)的實(shí)質(zhì)是一周的長(zhǎng)度。把一周的邊線拉直就是以前的長(zhǎng)度知識(shí)，亦可測(cè)量、比較，打通了新舊知識(shí)間的聯(lián)系。

3.理解本質(zhì)

師：我們還學(xué)過(guò)一些平面圖形。

■

圖4

師：你能指出這些圖形（如圖4）的周長(zhǎng)嗎？指給同桌看一看。

師：誰(shuí)上來(lái)指長(zhǎng)方形的給大家看一看？（讓一名學(xué)生上講臺(tái)指）

師：有跟他指的不一樣的嗎？（不同指法展示）

師：他們剛才哪里不一樣？

生1：他們指的方向不一樣。

生2：他們指的起點(diǎn)也不一樣。

師：為什么他們指的方向和起點(diǎn)都不一樣也都可以呢？

生3：因?yàn)樗麄兌贾噶碎L(zhǎng)方形的一周。

師：有人說(shuō)圓這個(gè)圖形很難指的，你知道為什么嗎？

生4：我們不知道從哪里開(kāi)始，指的時(shí)候有可能指過(guò)頭了，或者還沒(méi)有到起點(diǎn)就停下來(lái)了。

師：有什么辦法克服嗎？

生5：做個(gè)起點(diǎn)的記號(hào)。

師：誰(shuí)來(lái)試一試？（學(xué)生演示）

師：根據(jù)你現(xiàn)在對(duì)周長(zhǎng)的理解，你覺(jué)得下面這個(gè)圖形有周長(zhǎng)嗎？

■

生6：有周長(zhǎng)。

生7：沒(méi)有周長(zhǎng)。

師：說(shuō)說(shuō)你們的想法？

生8：沒(méi)有周長(zhǎng)。因?yàn)榛夭坏狡瘘c(diǎn)了。

生9：這個(gè)圖形有開(kāi)口，沒(méi)有一周。

師：那你能把這個(gè)沒(méi)有周長(zhǎng)的圖形變成一個(gè)有周長(zhǎng)的圖形嗎？

（展示學(xué)生的作品，如圖5）

■

圖5

師：看來(lái)只有像這樣沒(méi)有缺口的圖形才有“周長(zhǎng)”。像這樣的圖形我們簡(jiǎn)稱為封閉圖形（板書(shū)：封閉圖形）。只有封閉圖形才有一周的長(zhǎng)度。

[分析與思考]對(duì)一個(gè)概念本質(zhì)屬性的準(zhǔn)確把握，不僅需要豐富的正例，也需要通過(guò)將其和反例進(jìn)行比較，才能剔除非本質(zhì)的屬性，從而理解概念的本質(zhì)意義。因此，雖然教師安排了指一指已學(xué)過(guò)的平面圖形的周長(zhǎng)在哪，這樣的活動(dòng)可以讓學(xué)生獲得豐富的正例經(jīng)驗(yàn)，但這種經(jīng)驗(yàn)很容易受到畫(huà)圖經(jīng)驗(yàn)的干擾。因?yàn)閮和焐矚g畫(huà)圖，在操作時(shí)他不一定真正理解并運(yùn)用周長(zhǎng)的本質(zhì)屬性，而可能只是“照形畫(huà)形”?；谶@樣的思考，教師安排了比較兩位學(xué)生指長(zhǎng)方形周長(zhǎng)所在的邊的異同和思考圓的周長(zhǎng)怎么指的情境，目的是為了排除畫(huà)圖經(jīng)驗(yàn)的干擾，突出周長(zhǎng)概念的本質(zhì)屬性，即一周的長(zhǎng)度。同時(shí)，再設(shè)置一個(gè)反例來(lái)引發(fā)學(xué)生回顧、反思、比較，這可以促使學(xué)生把內(nèi)隱的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)外顯化，在反省、運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造和生長(zhǎng)，學(xué)生通過(guò)同化或順應(yīng)的方式把周長(zhǎng)概念的核心意義建立在自己的認(rèn)識(shí)世界里?？梢?jiàn)，加強(qiáng)反省、概括和運(yùn)用的活動(dòng)，可以很好地幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)意義。

4.鞏固運(yùn)用

師：你能用彩筆描出城堡圖（如圖6）周長(zhǎng)所在的邊嗎？

■

（展示學(xué)生的作品，如圖7）

■

師：這里有兩位同學(xué)的描法，你支持誰(shuí)的想法？

生（交流后得出結(jié)論）：要沿圖形的邊線描。

師：現(xiàn)在有一張長(zhǎng)方形紙，從這張長(zhǎng)方形紙上像這樣剪下一個(gè)小正方形（如圖8），你覺(jué)得與原來(lái)的長(zhǎng)方形相比，哪幅圖的“周長(zhǎng)”長(zhǎng)一些？

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生1：第（1） 幅圖的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些。

生2：一樣長(zhǎng)。

師：其他同學(xué)支持誰(shuí)的觀點(diǎn)？說(shuō)說(shuō)你的理由。

生3：我也認(rèn)為是一樣長(zhǎng)。因?yàn)榭梢酝ㄟ^(guò)平移的辦法把第（2）幅圖的周長(zhǎng)變成和第（1）幅圖一樣。（演示）

師：如果像這樣剪掉一個(gè)正方形（如圖9），這時(shí)與原來(lái)的長(zhǎng)方形相比，哪幅圖的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些？

■

生：第（4）幅的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些。

師：這時(shí)怎么又不一樣長(zhǎng)了？（交流后演示）

師：通過(guò)剛才的比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：長(zhǎng)方形剪掉一個(gè)正方形，周長(zhǎng)沒(méi)有減少。

生2：有時(shí)會(huì)一樣長(zhǎng)，有時(shí)還是剪掉后的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些。

生3：我們不能被外表欺騙，因?yàn)橹荛L(zhǎng)是圖形一周的長(zhǎng)度。

……

[分析與思考]通過(guò)變式的練習(xí)可以幫助學(xué)生深刻理解概念的意義。教師通過(guò)設(shè)置找組合圖形的周長(zhǎng)來(lái)激發(fā)學(xué)生的探究欲和思考力，使學(xué)生在運(yùn)用知識(shí)來(lái)解決新問(wèn)題的過(guò)程中凸顯思維的張力。因?yàn)槲覀兊慕虒W(xué)絕不僅僅只是為了實(shí)現(xiàn)知識(shí)的達(dá)成，數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)同樣要滲透在教學(xué)過(guò)程中。教師最后安排了“在一張長(zhǎng)方形紙上剪掉一個(gè)正方形，比較這時(shí)的周長(zhǎng)與原來(lái)圖形的周長(zhǎng)”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是為了通過(guò)“面積”的大小變化來(lái)干擾學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)”的判斷，試圖進(jìn)一步拓展學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)”概念的本質(zhì)理解，以便能區(qū)分“周長(zhǎng)”與“面積”的不同內(nèi)涵。學(xué)生在觀察、比較、想象、操作、歸納等活動(dòng)中，不僅積累了豐富的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也發(fā)展了空間觀念和抽象思維。最后學(xué)生的小結(jié)更讓我們欣喜地看到，他們?cè)谶@樣的過(guò)程中也收獲了情感體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)的提升。

（責(zé)編 金 鈴）

生8：面大也不一定周長(zhǎng)長(zhǎng)一些。

生9：周長(zhǎng)是一周的長(zhǎng)度，不看里面的。

生10：邊線越曲折，它的周長(zhǎng)會(huì)越長(zhǎng)。

……

[分析與思考]研究表明，為學(xué)生提供有層次性的、與數(shù)學(xué)本質(zhì)一樣的活動(dòng)情境，讓學(xué)生獲得足夠的替代性經(jīng)驗(yàn)，可以有效地幫助學(xué)生從現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)中抽象出數(shù)學(xué)概念和結(jié)構(gòu)。因此，教師安排了觀察螞蟻爬桑葉來(lái)讓學(xué)生思考螞蟻爬過(guò)的路線長(zhǎng)度是不是這片桑葉的周長(zhǎng)，很好地使每一個(gè)學(xué)生在參與觀察、思考、交流的活動(dòng)中，獲得具體經(jīng)驗(yàn)，即要從起點(diǎn)回到起點(diǎn)、要繞邊線，實(shí)現(xiàn)了對(duì)自己生活經(jīng)驗(yàn)的加工改造。然后再讓學(xué)生經(jīng)歷指一指、比一比的活動(dòng)，促進(jìn)他們把獲得的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行內(nèi)化，進(jìn)一步獲得了合乎邏輯的、抽象的經(jīng)驗(yàn)，即周長(zhǎng)的實(shí)質(zhì)是一周的長(zhǎng)度。把一周的邊線拉直就是以前的長(zhǎng)度知識(shí)，亦可測(cè)量、比較，打通了新舊知識(shí)間的聯(lián)系。

3.理解本質(zhì)

師：我們還學(xué)過(guò)一些平面圖形。

■

圖4

師：你能指出這些圖形（如圖4）的周長(zhǎng)嗎？指給同桌看一看。

師：誰(shuí)上來(lái)指長(zhǎng)方形的給大家看一看？（讓一名學(xué)生上講臺(tái)指）

師：有跟他指的不一樣的嗎？（不同指法展示）

師：他們剛才哪里不一樣？

生1：他們指的方向不一樣。

生2：他們指的起點(diǎn)也不一樣。

師：為什么他們指的方向和起點(diǎn)都不一樣也都可以呢？

生3：因?yàn)樗麄兌贾噶碎L(zhǎng)方形的一周。

師：有人說(shuō)圓這個(gè)圖形很難指的，你知道為什么嗎？

生4：我們不知道從哪里開(kāi)始，指的時(shí)候有可能指過(guò)頭了，或者還沒(méi)有到起點(diǎn)就停下來(lái)了。

師：有什么辦法克服嗎？

生5：做個(gè)起點(diǎn)的記號(hào)。

師：誰(shuí)來(lái)試一試？（學(xué)生演示）

師：根據(jù)你現(xiàn)在對(duì)周長(zhǎng)的理解，你覺(jué)得下面這個(gè)圖形有周長(zhǎng)嗎？

■

生6：有周長(zhǎng)。

生7：沒(méi)有周長(zhǎng)。

師：說(shuō)說(shuō)你們的想法？

生8：沒(méi)有周長(zhǎng)。因?yàn)榛夭坏狡瘘c(diǎn)了。

生9：這個(gè)圖形有開(kāi)口，沒(méi)有一周。

師：那你能把這個(gè)沒(méi)有周長(zhǎng)的圖形變成一個(gè)有周長(zhǎng)的圖形嗎？

（展示學(xué)生的作品，如圖5）

■

圖5

師：看來(lái)只有像這樣沒(méi)有缺口的圖形才有“周長(zhǎng)”。像這樣的圖形我們簡(jiǎn)稱為封閉圖形（板書(shū)：封閉圖形）。只有封閉圖形才有一周的長(zhǎng)度。

[分析與思考]對(duì)一個(gè)概念本質(zhì)屬性的準(zhǔn)確把握，不僅需要豐富的正例，也需要通過(guò)將其和反例進(jìn)行比較，才能剔除非本質(zhì)的屬性，從而理解概念的本質(zhì)意義。因此，雖然教師安排了指一指已學(xué)過(guò)的平面圖形的周長(zhǎng)在哪，這樣的活動(dòng)可以讓學(xué)生獲得豐富的正例經(jīng)驗(yàn)，但這種經(jīng)驗(yàn)很容易受到畫(huà)圖經(jīng)驗(yàn)的干擾。因?yàn)閮和焐矚g畫(huà)圖，在操作時(shí)他不一定真正理解并運(yùn)用周長(zhǎng)的本質(zhì)屬性，而可能只是“照形畫(huà)形”?；谶@樣的思考，教師安排了比較兩位學(xué)生指長(zhǎng)方形周長(zhǎng)所在的邊的異同和思考圓的周長(zhǎng)怎么指的情境，目的是為了排除畫(huà)圖經(jīng)驗(yàn)的干擾，突出周長(zhǎng)概念的本質(zhì)屬性，即一周的長(zhǎng)度。同時(shí)，再設(shè)置一個(gè)反例來(lái)引發(fā)學(xué)生回顧、反思、比較，這可以促使學(xué)生把內(nèi)隱的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)外顯化，在反省、運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造和生長(zhǎng)，學(xué)生通過(guò)同化或順應(yīng)的方式把周長(zhǎng)概念的核心意義建立在自己的認(rèn)識(shí)世界里?？梢?jiàn)，加強(qiáng)反省、概括和運(yùn)用的活動(dòng)，可以很好地幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)意義。

4.鞏固運(yùn)用

師：你能用彩筆描出城堡圖（如圖6）周長(zhǎng)所在的邊嗎？

■

（展示學(xué)生的作品，如圖7）

■

師：這里有兩位同學(xué)的描法，你支持誰(shuí)的想法？

生（交流后得出結(jié)論）：要沿圖形的邊線描。

師：現(xiàn)在有一張長(zhǎng)方形紙，從這張長(zhǎng)方形紙上像這樣剪下一個(gè)小正方形（如圖8），你覺(jué)得與原來(lái)的長(zhǎng)方形相比，哪幅圖的“周長(zhǎng)”長(zhǎng)一些？

■

生1：第（1） 幅圖的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些。

生2：一樣長(zhǎng)。

師：其他同學(xué)支持誰(shuí)的觀點(diǎn)？說(shuō)說(shuō)你的理由。

生3：我也認(rèn)為是一樣長(zhǎng)。因?yàn)榭梢酝ㄟ^(guò)平移的辦法把第（2）幅圖的周長(zhǎng)變成和第（1）幅圖一樣。（演示）

師：如果像這樣剪掉一個(gè)正方形（如圖9），這時(shí)與原來(lái)的長(zhǎng)方形相比，哪幅圖的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些？

■

生：第（4）幅的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些。

師：這時(shí)怎么又不一樣長(zhǎng)了？（交流后演示）

師：通過(guò)剛才的比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：長(zhǎng)方形剪掉一個(gè)正方形，周長(zhǎng)沒(méi)有減少。

生2：有時(shí)會(huì)一樣長(zhǎng)，有時(shí)還是剪掉后的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些。

生3：我們不能被外表欺騙，因?yàn)橹荛L(zhǎng)是圖形一周的長(zhǎng)度。

……

[分析與思考]通過(guò)變式的練習(xí)可以幫助學(xué)生深刻理解概念的意義。教師通過(guò)設(shè)置找組合圖形的周長(zhǎng)來(lái)激發(fā)學(xué)生的探究欲和思考力，使學(xué)生在運(yùn)用知識(shí)來(lái)解決新問(wèn)題的過(guò)程中凸顯思維的張力。因?yàn)槲覀兊慕虒W(xué)絕不僅僅只是為了實(shí)現(xiàn)知識(shí)的達(dá)成，數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)同樣要滲透在教學(xué)過(guò)程中。教師最后安排了“在一張長(zhǎng)方形紙上剪掉一個(gè)正方形，比較這時(shí)的周長(zhǎng)與原來(lái)圖形的周長(zhǎng)”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是為了通過(guò)“面積”的大小變化來(lái)干擾學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)”的判斷，試圖進(jìn)一步拓展學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)”概念的本質(zhì)理解，以便能區(qū)分“周長(zhǎng)”與“面積”的不同內(nèi)涵。學(xué)生在觀察、比較、想象、操作、歸納等活動(dòng)中，不僅積累了豐富的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也發(fā)展了空間觀念和抽象思維。最后學(xué)生的小結(jié)更讓我們欣喜地看到，他們?cè)谶@樣的過(guò)程中也收獲了情感體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)的提升。

（責(zé)編 金 鈴）