薛冬梅，劉 巍

(吉林化工學院理學院，吉林吉林132022)

利率是金融市場上最重要的價格變量之一，它直接決定了相關金融產品的定價和利率風險的管理.HJM模型是描述利率隨機行為的連續(xù)時間模型，由Heath，Jarrow，Morton于1992年在其發(fā)表的論文《債券定價及期限結構:一種新方法》［1］中所提出.它的新穎之處在于:直接從遠期利率期限結構的跨期波動特征入手，設定債券和相關衍生品在有效期內的波動率函數結構，以整條收益率曲線作為狀態(tài)變量，根據給定的初始遠期利率曲線精確擬合當前的各種遠期利率曲線，已成為嵌套所有利率期限結構模型的一致框架［2］.

由于久期作為利率風險管理的重要工具，可以準確、有效地衡量利率水平對債券價格的影響，因此為了更好地在利率風險管理中實施有效的風險控制策略，本文研究了具有馬爾可夫性的HJM模型下的廣義久期.

1 HJM模型概述

考慮市場行為在有限時間間隔［0，τ］內發(fā)生，市場信息的到達可由一個完備過濾概率空間(Ω，F，P)獲得，其中Ω是狀態(tài)空間，F是可測事件的σ－代數，P是概率測度，完備過濾結構{Ftt∈［0，τ］}由n≥1個初始值為0的獨立標準布朗運動Wi(t)，1≤i≤n生成.

1.1 風險中性的單因素HJM模型

令r(t)表示t時刻當期的瞬時遠期利率，對所有的t∈［0，τ］，有r(t)=f(t，t).

對每一個T≤τ，HJM(1992)利用代表遠期利率運動的隨機過程族描述了利率期限結構的動態(tài)，遠期利率動態(tài)的積分形式為:

這里α:［0，t］×Ω→R是瞬時漂移率，σ:［0，t］×Ω→Rn是到期日為T的遠期利率在時刻t時的

瞬時波動率.W是一個n維標準布朗運動，過程α與σ分別是R和Rn上的適應過程.引理1 在上面的條件下，無套利零息債券價格過程為

值得注意的是，整個模型估計的參數只有一個，即波動性，而且這個波動性不會隨測度的變化而變化，它表明我們可以通過測量波動率并與短期利率相匹配，利用模型求出債券價格及遠期利率等.

1.2 風險中性的n因素HJM模型

前提條件不變，此時瞬時遠期利率過程假定滿足隨機積分方程滿足:

則(1)及(2)的微分形式為

1.3 具有馬爾可夫性的HJM模型

在一般意義上講，HJM中蘊涵的r(t)不僅僅取決于t，而且還依賴于收益率曲線從0至t時刻的全部歷史(the whole history of the yield curve up to that time)，也就是說，r(t)不具備馬爾可夫性［4］.

2 具有馬爾可夫性的HJM模型下的廣義久期

2.1 久期

在1938年的一份研究報告中，弗里德里克﹒麥考利(Frederick Macaulay)創(chuàng)造性地提出了久期(Duration)的概念.它是債券風險度量中一個重要的特征參數.

久期可定義為債券的所有現金流量發(fā)生時間的加權平均值.權重根據各現金流對總體債券價值的重要性來確定.具體地講，權重可以表示為某現金流量的現值與債券價格的比值.以CFt代表t時的現金流，Wt代表權重，則有

因為債券價格P是所有現金流量的現值的總和，所以Wt也可表示成，很顯然，所有權重的總和為1.0.這樣債券的久期D就可以用下式來表示:

2.2 廣義久期測度

息票債券的久期測度被定義為與息票債券具有相同瞬時方差的零息債券的到期時間［8］.考慮一個在tj，(j=1，2，…，N，t＜t1＜… ＜tN)支付Cj單位賬戶的自由違約息票債券，在無套利機會的條件下，時刻t的債券價格為

對單因子模型可以簡化為:

2.3 應用

3 結 論

本文介紹了具有馬爾可夫性的HJM模型，在此框架下引入了廣義久期測度，介紹了廣義久期在波動結構確定的HJM模型中的應用，并給出了它們的解析解.

［1］ Heath D.，Jarrow R.，Morton A..Bond Pricing and The Term Structure of Interest Rates:A New Methodology for Contingent Claims Valuation［J］.Econometrica，1992，60(1):77-105.

［2］ 孫大鵬，汪波.HJM框架下利率風險測度的隨機久期和凸度研究［J］.西安電子科技大學學報(社會科學版)，2007，17(5):45-49.

［3］ Carl Chiarella，Oh Kangkwon.Class of Interest Rate Models under the HJM Framework［J］.Asia-Pacific Financial Market，2001，8:1-22.

［4］ 徐景峰，于謹.利率與壽險產品定價研究［M］.北京:中國財政經濟出版社，2004.

［5］ Carl Chiarella，Oh Kangkwon.A Complete Markovian Stochastic Volatility Model in the HJM Framework［J］.Asia-Pacific Financial Market，2000，7:293-304.

［6］ Carverhill，A.When is Short Rate Markovian［J］.Mathematical Finance4，1994，4:305-312.

［7］ Bhar R，Chiarella C.Transformation of Heath-Jarrow-Morton Models to Markovian Systems［J］.European Journal of Finance，1997，3:1-26.

［8］ Munk C.Stochastic Duration and Fast Coupon Bond Option Pricing in Multi-Factor Models［J］.Oden University，Working Paper，1998.

［9］ 龔光魯.隨機微分方程引論［M］.北京:北京大學出版社，1995.

［10］ Jian Zhihong，Li Chulin.Generalized Stochastic Duration in Markovian Heath-Jarrow-Morton Framework［J］.數學物理學報，2002，22B(1)，99-106.