王磊

（韓山師范學(xué)院物理與電子工程系，廣東潮州 521041）

電壓模式控制單級反激變換器的快時(shí)標(biāo)分岔研究

王磊

（韓山師范學(xué)院物理與電子工程系，廣東潮州 521041）

以電壓模式控制單級反激變換器為研究對象，在簡化的離散時(shí)間模型基礎(chǔ)上，運(yùn)用非線性動(dòng)力學(xué)對其穩(wěn)定性問題進(jìn)行了探討，基于特征值的穩(wěn)定性分析和仿真結(jié)果能夠較好的吻合，并與相同運(yùn)行點(diǎn)的直流變換器的仿真進(jìn)行了比較．

單級反激變換器；電壓控制；分岔；快時(shí)標(biāo)

1 引言

近年來，開關(guān)電源中的非線性現(xiàn)象受到越來越多的電力電子領(lǐng)域?qū)＜业年P(guān)注[1-4]．批量的開關(guān)電源產(chǎn)品中有一些在正常運(yùn)行中會(huì)突然崩潰，或出現(xiàn)不明的電磁干擾，這種現(xiàn)象主要原因是電源構(gòu)成器件的非線性特性及開關(guān)的高速切換、敏感參數(shù)的細(xì)微差異導(dǎo)致分岔并進(jìn)入混沌狀態(tài)．通過研究開關(guān)電源中的非線性動(dòng)力學(xué)規(guī)律，將會(huì)加深對開關(guān)電源系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，有助于設(shè)計(jì)出更可靠的開關(guān)電源.

反激變換器本質(zhì)上是Buck/Boost變換器的隔離版本[5-6]，由于其結(jié)構(gòu)簡單、控制方便、性價(jià)比高，被廣泛應(yīng)用在150 W以下的功率變換場合．由于功率變壓器的引入，在結(jié)構(gòu)上反激變換器與基本的變換器有了本質(zhì)的區(qū)別，目前對其非線性動(dòng)力學(xué)特性還缺乏深入系統(tǒng)的研究.

本文對電壓模式控制的單級反激變換器建立了簡化的離散時(shí)間模型，并采用基于特征值的穩(wěn)定性分析方法對快時(shí)標(biāo)分岔現(xiàn)象進(jìn)行了分析，然后得出了兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)的穩(wěn)定域．分析和仿真吻合得比較好，并與對應(yīng)的直流變換器的仿真進(jìn)行了比較，對基于特征值的分析方法在對交流輸入變換器的穩(wěn)定性分析誤差原因進(jìn)行了深入的探討.

2 電壓模式控制單級反激變換器的運(yùn)行原理

電壓模式控制單級反激變換器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)見圖1（a），僅包含比例環(huán)節(jié)的單電壓反饋環(huán)．電壓環(huán)的核心是運(yùn)放和PWM比較器．輸出電壓的采樣信號接入運(yùn)放的負(fù)端，電壓環(huán)的基準(zhǔn)Vref接入運(yùn)放的正端．兩者的誤差通過比例放大得到控制電壓Vco，并接入PWM比較器正端，與接在負(fù)端的鋸齒波Vsaw比較形成PWM脈沖控制開關(guān)Q1．一個(gè)工作周期開始時(shí)，鋸齒波下降至較低電位，比較器輸出高電位，Q1導(dǎo)通；當(dāng)鋸齒波的線性上升部分與Vco相遇，比較器輸出低電位，Q1關(guān)斷．圖1（b）是電壓環(huán)控制電壓的波形和鋸齒波相比較，產(chǎn)生了與Vco幅度成正比關(guān)系的開關(guān)驅(qū)動(dòng)脈沖．

圖 1 電壓模式控制單級反激變換器及典型控制波形

仿真中，為了與實(shí)際更接近，最大占空比限制在0.9．控制信號飽和（占空時(shí)間超過周期）會(huì)引起邊界碰撞分岔等更復(fù)雜的不穩(wěn)定情況，本文不予考慮.

為了實(shí)現(xiàn)功率因數(shù)校正，單電壓環(huán)控制的單級反激變換器必須運(yùn)行在電感電流不連續(xù)模式．變換器也可能以很復(fù)雜的方式在兩種模式間跳變．正常的運(yùn)行指穩(wěn)定的連續(xù)模式周期-1運(yùn)行．不穩(wěn)定指輸出無法穩(wěn)定的運(yùn)行狀態(tài)，分岔指從一種模式運(yùn)行變?yōu)榱硪环N．

反激變換器的變壓器實(shí)質(zhì)是個(gè)耦合電感，一次側(cè)的電流是不可能連續(xù)的，因?yàn)殚_關(guān)關(guān)斷之后，一次側(cè)的電流必然為零，但同時(shí)在二次側(cè)產(chǎn)生感應(yīng)電流．所以對于反激變換器來說，電流連續(xù)指的是變壓器的兩個(gè)繞組合成安匝在一個(gè)開關(guān)周期一直大于零，而電流斷續(xù)指的是合成安匝在開關(guān)關(guān)斷期間有一段時(shí)間為零．圖2給出了DCM運(yùn)行時(shí)反激變換器原副邊電流及安匝和 jps=ip+is*Ns/Np的波形，其中一個(gè)周期Ts里的三個(gè)模態(tài)，分別對應(yīng)ts和td兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)．

圖 2 斷續(xù)模式下變壓器原、副邊電流波形和對應(yīng)的安匝和波形

不連續(xù)模式下反激變換器每個(gè)周期有三個(gè)模態(tài)：

開關(guān)模態(tài)1：當(dāng)Q1導(dǎo)通時(shí)，變壓器原邊Lp承受交流輸入e(t) =Vm*sin(wt)，原邊電流ip從零開始線性上升；D1承受反壓關(guān)斷，輸出電壓由電容維持，狀態(tài)方程為

開關(guān)模態(tài)2：當(dāng)Q1關(guān)斷時(shí)，ip按照安匝守恒的關(guān)系轉(zhuǎn)移到副邊電流is，即為Np*ip=Ns*is，且Lp/Ls=Np

2/Ns2，ip變?yōu)榱悖桓边匘1導(dǎo)通，is給輸出電容和負(fù)載供電，直至is為零，狀態(tài)方程為

開關(guān)模態(tài)3：當(dāng)變換器處在不連續(xù)模式時(shí)才會(huì)出現(xiàn)模態(tài)3，此時(shí)原副邊電流均為零，輸出電壓由電容維持，狀態(tài)方程為

狀態(tài)變量x選為原邊電感電流ip、輸出電容電壓vc．反激變換器在DCM模式下的狀態(tài)方程可以表示為

電壓控制下反激變換器的狀態(tài)矩陣Ai、Bi分別為

3 電壓模式控制單級反激變換器的簡化離散模型

一般對變換器的分析可基于3種模型：連續(xù)時(shí)間模型，離散時(shí)間模型，及連續(xù)、離散時(shí)間模型的組合.基于狀態(tài)空間平均的連續(xù)時(shí)間模型的小信號分析方法不能研究快時(shí)標(biāo)動(dòng)態(tài)，因?yàn)樗鼘Ω哳l特性進(jìn)行了平均；精確的離散時(shí)間建模方法可以捕捉到快、慢時(shí)標(biāo)的分岔，但其表達(dá)式較為復(fù)雜，無法直觀看出各個(gè)參量對變換器運(yùn)行特性的影響．截去狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的展開級數(shù)高階項(xiàng)，即得到簡化的離散時(shí)間模型[7-8]，可以看做對離散時(shí)間模型進(jìn)行了平均．由此可以得到平衡點(diǎn)和特征多項(xiàng)式的解析式，減少了運(yùn)算量，而且可以解釋系統(tǒng)參數(shù)互相作用產(chǎn)生的不穩(wěn)定.

對變換器建模要得到的離散迭代映射應(yīng)具有下面的形式

其中下標(biāo)n代表第n周期開始時(shí)的值，即xn=x(n T).

狀態(tài)方程（4）是電流控制反激變換器的精確離散模型，屬于超越方程，沒有解析解，因此無法寫成（5）的形式，只能用來迭代計(jì)算以得到數(shù)值解．求解（4）式得到：

其中ts是開關(guān)導(dǎo)通的占空時(shí)間，Ts為工作周期．指數(shù)矩陣展開是無窮級數(shù)：為得到簡化的離散時(shí)間模型，采用線性紋波假設(shè)，若dn代表第n個(gè)開關(guān)周期的占空比，則有ts=dn*Ts，代入（4）式并對其解的展開式中所有含有Ts的二次及高次的項(xiàng)加以忽略，（6）式可簡化為：

由于變換器工作于DCM，ip在起始和結(jié)尾都為零，且在第三模態(tài)保持為零，因此從（7）式可以得到：

定義開關(guān)函數(shù)：

很明顯，式（8）、（10）兩式共同定義了一個(gè)基于線性紋波假設(shè)的大信號離散時(shí)間平均模型．依據(jù)電感的伏秒平衡原則可知ts和td的關(guān)系：

4 電壓模式控制單級反激變換器的分岔分析

基于上面的簡化離散模型，可以對電壓控制的單級反激變換器的穩(wěn)定特性進(jìn)行進(jìn)一步分析．常規(guī)的分析方法有雅可比矩陣法、單值矩陣法、最大李雅普諾夫指數(shù)和龐加萊截面法．由于對離散模型進(jìn)行了簡化，可以按照雅可比矩陣法的步驟，分析其特征值．

一定輸入功率Pin下單級反激變換器的穩(wěn)態(tài)占空比為：

在（8）式中令vc()n+1=vcn=Vcq，同時(shí)將Dq代入，即可得到Vcq．這樣由Dq和Vcq定義了變換器的平衡點(diǎn)．將（10）代入（8）并對vcn求導(dǎo)，即可得到特征乘子的表達(dá)式．為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，平衡點(diǎn)附近的特征乘子必須滿足：

其中依據(jù)不動(dòng)點(diǎn)處特征值所處的位置，用下面的判據(jù)判定系統(tǒng)的分岔行為：

1）所有特征值都在單位圓內(nèi)預(yù)示著系統(tǒng)穩(wěn)定工作；

2）當(dāng)一對共軛特征值在單位圓外而其他特征值都在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)為慢時(shí)標(biāo)分岔；

3）當(dāng)一負(fù)實(shí)數(shù)特征值在單位圓外而其他特征值都在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)為快時(shí)標(biāo)分岔；

4）當(dāng)一對共軛特征值和一負(fù)實(shí)數(shù)特征值同時(shí)在單位圓外，系統(tǒng)為共存快-慢時(shí)標(biāo)分岔；

5）當(dāng)運(yùn)行的控制量飽和及有特征值在單位圓外時(shí)，會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的邊界碰撞分岔．

下面運(yùn)用上述關(guān)系式對一個(gè)具體的反激變換器進(jìn)行分析．變換器的主要參數(shù)見表1，為了研究穩(wěn)定參數(shù)邊界，負(fù)載電阻和比例k都在一個(gè)范圍內(nèi)取值．

表1 反激變換器的電路參數(shù)

當(dāng)Ro=10Ω，k=0.18時(shí)，得出圖3，其中（a）圖是反激變換器特征值隨著vin在半周期的改變（見（b）圖）而變動(dòng)的軌跡．隨著vin增大，λ逐漸減小，在vin峰值處取到最小值．依照上面的判據(jù)可知，系統(tǒng)可能出現(xiàn)快時(shí)標(biāo)分岔．其中λ=-1的臨界點(diǎn)出現(xiàn)在vin為141 V處.

圖 3 反激變換器特征值隨vin變化的移動(dòng)軌跡

由圖3可知，λ在vin峰值處取到最小值，因此求取參數(shù)邊界時(shí)，只需要看vin峰值處的特征值即可．下面圖4（a）、（b）分別給出負(fù)載電阻Ro在3～15 Ω及比例k在0.1～0.2之間變動(dòng)時(shí)，λ最小值的軌跡．（a）圖得到臨界電阻Ro4.1 Ω，（b）圖得到臨界比例0.14.

圖 4 電壓模式控制單級反激變換器在負(fù)載電阻和比例系數(shù)波動(dòng)時(shí)λ最小值的軌跡

5 電壓模式控制單級反激變換器的仿真

為了驗(yàn)證上面穩(wěn)定性分析的結(jié)果，用表1同樣的參數(shù)，采用精確的離散模型對反激變換器進(jìn)行仿真．下面圖5（a）是交流輸入反激變換器的輸入電流仿真波形，作為對比，圖5（b）是直流輸入電壓為156 V的反激變換器的輸入電流仿真波形，從圖5（b）放大的輸入電流波形可見，快時(shí)標(biāo)分岔時(shí)相鄰開關(guān)周期的輸入電流波形有一定的跳動(dòng).

圖 5 電壓模式控制反激變換器的輸入電流波形（Ro=10Ω，k=0.18）

通過多次運(yùn)行仿真得到的結(jié)果與分析結(jié)果的對比發(fā)現(xiàn)，分析數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)劃定的區(qū)域分界是比較接近的．存在的一些差異有兩方面的原因．首先是分析方法的差異，由于分析方法不能體現(xiàn)仿真的一些設(shè)定．在特征值的分析中無法體現(xiàn)占空比最大為0.9的限制，而且分析模型取了線性近似．因?yàn)榻咏€(wěn)定邊界系統(tǒng)的控制特性會(huì)比較差，設(shè)計(jì)參考應(yīng)以分析數(shù)據(jù)的穩(wěn)定區(qū)分界為準(zhǔn).其次是變換器本身運(yùn)行情況和分析方法的假定有差異．因?yàn)榻涣鬏斎胍恢痹陔S時(shí)間而變化，電路并未真正進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，交流輸入過零時(shí)會(huì)積累較大的誤差，因此主要是初態(tài)以及是否進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的差異．特征值分析法對直流變換器穩(wěn)定工作點(diǎn)的分析較為準(zhǔn)確，交流輸入沒有真正意義上的平衡點(diǎn)，因此分析會(huì)出現(xiàn)偏差．初態(tài)的差異會(huì)體現(xiàn)為vin在峰值兩側(cè)相同的瞬時(shí)輸入電壓下系統(tǒng)特征值不同.

6 結(jié)論

本文對電壓控制的單級反激變換器的快時(shí)標(biāo)分岔做了研究，采用基于特征值和平均離散模型進(jìn)行了分析和仿真驗(yàn)證，兩者能夠較好地吻合．本文的結(jié)果對電壓控制的反激變換器的參數(shù)設(shè)計(jì)有一定的參考價(jià)值，同時(shí)對一般變換器基于交流輸入和直流輸入的穩(wěn)定性的不同特征進(jìn)行了分析對比，分析的結(jié)果具有一般性的意義．

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A Study on Fast-scale Instability in Voltage Controlled Single-stage Flyback Converter

WANG Lei
（Department of Physics and Electronic Engineering,Hanshan Normal University,Chaozhou,Guangdong,521041）

The closed-loop stability characteristics of single-stage flyback converter under voltage con?trol is investigated based on the simplified discrete-time model using nonlinear dynamics method.The stability analysis based on the eigen value of Jacobin matrix is in relatively good agreement with the simulation results. And the comparison with the corresponding DC converter is provided.

flyback converter；voltage-mode control；bifurcation；fast-scale instability

TM463

A

1007-6883（2014）06-0036-07

責(zé)任編輯 朱本華

2014-11-06

王磊（1978-），男，湖南婁底人，韓山師范學(xué)院物理與電子工程系講師．