盧軍鋒 吳鐘鳴 向崢嶸

(1.金陵科技學(xué)院學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，南京 211169)(2.南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210094)

引言

切換系統(tǒng)是一類十分重要的混雜系統(tǒng)，一般情況下系統(tǒng)包含一個(gè)切換規(guī)則和由多個(gè)微分方程所構(gòu)成的子系統(tǒng)，該系統(tǒng)有著重要的理論價(jià)值與廣泛的工程背景，切換系統(tǒng)的研究可以為許多領(lǐng)域提供理論支持，目前已經(jīng)受到越來越多關(guān)注［1-4］.

控制系統(tǒng)在實(shí)際工作中，來自內(nèi)部與外部的干擾是很多的，比如傳感器測量誤差，溫度引起的參數(shù)變化等，會(huì)給系統(tǒng)帶來很多的不確定性，因此系統(tǒng)帶有參數(shù)不確定性是普遍存在的情況.另外，系統(tǒng)中的執(zhí)行器的故障是不可避免的，它的故障會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不能正常工作從而帶來十分嚴(yán)重的后果.因此，帶有參數(shù)不確定性和外部擾動(dòng)的切換系統(tǒng)的可靠控制研究是十分必要的［5-9］.文獻(xiàn)［6］研究了一類線性切換系統(tǒng)的魯棒可靠控制問題，運(yùn)用凸組合技術(shù)設(shè)計(jì)可靠狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的;文獻(xiàn)［7］運(yùn)用時(shí)間駐留法對線性切換系統(tǒng)魯棒容錯(cuò)控制進(jìn)行了研究，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器;文獻(xiàn)［8］研究了一類含有非線性干擾的時(shí)滯切換系統(tǒng)魯棒容錯(cuò)控制問題，使得系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定.上述這些文章穩(wěn)定的前提是控制器在確定的切換規(guī)則下切換，因此不能滿足任意切換規(guī)則的要求，另外，這些文章在研究可靠控制時(shí)，對系統(tǒng)抑制外界擾動(dòng)的H∞性能指標(biāo)和所有系統(tǒng)矩陣都含不確定項(xiàng)的情況沒有充分考慮.然而，在實(shí)際系統(tǒng)中這些問題是廣泛存在的，而且是十分重要的.

本文利用LMI方法和公共利亞普諾夫函數(shù)方法，將可靠控制技術(shù)與切換控制技術(shù)相結(jié)合，給出系統(tǒng)存在擾動(dòng)以及不確定性時(shí)，在任意切換規(guī)則下的魯棒反饋可靠控制器存在的充分條件，以保證系統(tǒng)在執(zhí)行器正常和失效時(shí)仍能使系統(tǒng)全局二次穩(wěn)定，并且滿足一定的擾動(dòng)抑制性能指標(biāo).

1 問題的描述與準(zhǔn)備知識(shí)

考慮以下的非線性不確定切換系統(tǒng):

其中，x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，u(t)∈Rk為系統(tǒng)的輸入信號(hào)，w(t)∈Rp是屬于L2∈［0，∞)的噪聲，z(t)∈Rq為被控輸出向量，fσ(t)(x(t))為系統(tǒng)的非線性函數(shù)，σ(t):R+→M={1，2，…，m}為系統(tǒng)的切換信號(hào)，它是一個(gè)依賴于狀態(tài)或時(shí)間的分段常值函數(shù)，對于Ai，Bi，Ci，Di，Gi，Li為已知實(shí)常數(shù)矩陣，并且

其中H1i，H2i，E1i，E2i，E3i，E4i為已知適維實(shí)常矩陣.假設(shè)1:對于任意的i∈M，非線性部分fi滿足全局Lipschitz條件

其中Mi為已知的Lipschitz常數(shù)矩陣.定義1:給定擾動(dòng)性能指標(biāo)γ＞0，系統(tǒng)參數(shù)不確定性滿足式(2)，那么在任意隨機(jī)切換規(guī)則以及執(zhí)行器失效的情況下，設(shè)計(jì)反饋控制器，使得系統(tǒng)(1)當(dāng)w=0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)是二次穩(wěn)定的，且在x(t)=0時(shí)，控制輸出z滿足‖z‖2＜γ‖ω‖2，?ω(t)∈L2∈［0，∞)則稱控制器是系統(tǒng)(1)的魯棒H∞次優(yōu)可靠控制器，若該控制器使得γ最小，則該控制器為系統(tǒng)(1)的魯棒H∞最優(yōu)可靠控制器.

引理1 X，Y為任意適當(dāng)維數(shù)的矩陣，若常數(shù)ξ＞0，則如下不等式成立

引理2 矩陣ΔBi=H1iFi(t)E2i，其中Hi1，E2i為已知適維實(shí)常矩陣，且(t)Fi(t)≤I.如果有常數(shù)ρi，i={1，…，m}，使得ρiI-E2i＞0，則下列不等式成立

證明:定義

那么ΔBiΔ≤ρiH1i.

引理3 Y，D，E是任意適當(dāng)維數(shù)的矩陣，其中Y是對稱的，Y+DF(t)E+ETFT(t)DT≤0對所有滿足FT(t)F(t)＜I的矩陣F(t)成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)ε＞0，使得，Y+εDDT+ε-1ETE≤0.

在研究可靠控制問題時(shí)，將切換系統(tǒng)(1)的執(zhí)行器分成兩部分，第一部分結(jié)構(gòu)形式為Ωi?{1，2，…，n}(i∈M)，表示系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)可能失效的全體執(zhí)行器所組成的集合;第二部分為?{1，2，…，n}-Ωi(i∈M)，表示在系統(tǒng)中具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性基本保證從來都不失效的全體執(zhí)行器所組成的集合，于是有Bi=()(i∈M)，其中BΩi，是分別將對應(yīng)于，Ωi的列元素取0得到.系統(tǒng)運(yùn)行中實(shí)際的執(zhí)行器失效集為ωi，ωi?Ωi，，為未失效執(zhí)行器集合，則有下列不等式成立:

2 可靠控制器設(shè)計(jì)與優(yōu)化

定理1 給定性能指標(biāo)γ＞0，對于系統(tǒng)(1)若給定一組正數(shù)εi，ηi，ζi，ρi，αi，ξi，βi，μi，使得下列矩陣不等式組

式中:

有正定解矩陣P，則系統(tǒng)(1)在任意切換律下是二次穩(wěn)定的，且存在魯棒H∞次優(yōu)可靠控制器，即系統(tǒng)對執(zhí)行器失效以及參數(shù)不確定性具有抑制性與魯棒性，控制器ki=-αiP.

證明:在任意切換律以及?x∈Rn{0}下，取公共李雅普諾夫函數(shù)V(x)=x(t)TPx(t)，并且假設(shè)失效執(zhí)行器的輸出為0，此時(shí)ki=-αiP..李雅普諾夫函數(shù)沿系統(tǒng)(1)的軌線的導(dǎo)數(shù)為:

由引理1、引理2得

將式(7)～(9)帶入式(6)并由式(4)得

式中:

顯然Σi＞0，λmin(Σi)代表矩陣的最小特征值，取?=min{λmin(Πi)}，得到(x)＜-?xTx.由于?i∈M，根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)方法可知，系統(tǒng)(1)二次穩(wěn)定.

記

切換信號(hào)σ(t):{(0，i(0))，(t1，i(1))，…，(tk，i(k))}，k={1，2，…，m}表示時(shí)刻tk第i(k)個(gè)子系統(tǒng)在tk時(shí)刻運(yùn)行.對?T＞0且T∈［tk，tk+1)，在零初始條件下，且擾動(dòng)w∈L2［0，∞)，類似于文獻(xiàn)［6］的證明方法，可以得到:

得

記:

其中:

如果Ni＜0，那么系統(tǒng)可解.由引理3可知Ni＜0可以等價(jià)為

即

一定存在適當(dāng)?shù)某?shù)μi＞0使得μiH2i-I＜0，由Schur補(bǔ)引理可知滿足定理?xiàng)l件時(shí)J＜0，系統(tǒng)(1)H∞魯棒可靠控制可解，定理證畢.

注1:由于式(5)是雙線性矩陣不等式，無法直接求解因此通過引入輔助變量Qi進(jìn)行化簡，使Qi代替定理1中的項(xiàng)，(4)式依然成立.

推論1 對于切換系統(tǒng)(1)，如果給定正數(shù)ρi，αi，若以下最優(yōu)化問題

有可行解，則系統(tǒng)(1)在任意切換律下，對于系統(tǒng)允許的參數(shù)不確定是二次穩(wěn)定的，且存在魯棒H∞最優(yōu)可靠控制器，即系統(tǒng)滿足最小干擾衰減指標(biāo)γ，控制器其中X-1是定理1的最優(yōu)可行解.

注2:由于非線性項(xiàng)存在于式(5f)中，因此求解時(shí)不便于運(yùn)算，因此將注1中結(jié)論帶入定理1中的式(5f)中，并對式(5f)分別做左乘與右乘矩陣diag(P-1，I，I，I，I，I，I，I)，并記=v由Schur補(bǔ)引理可得

其中:

利用矩陣變換技術(shù)，上式等價(jià)于式(5f)，魯棒H∞最優(yōu)可靠控制器

在定理1中我們假設(shè)執(zhí)行器失效時(shí)輸出信號(hào)大小為零，但很多時(shí)候故障執(zhí)行器輸出可能不為零，因此假設(shè)失效執(zhí)行器的輸出為任意能量有界的干擾信號(hào)，屬于L2［0，∞］.令為失效執(zhí)行器的輸出信號(hào)矢量.此時(shí)故障執(zhí)行器輸出被定義為干擾信號(hào)，那么系統(tǒng)(1)將為如下形式

定理2 對于切換系統(tǒng)(10)，指定性能指標(biāo)γ＞0，若給定一組正數(shù)ζi，ρi，αi，ξi，βi，μi，εi，使得下列矩陣不等式組成立

其中:

并且有解矩陣Q，其中Q為正定矩陣，則系統(tǒng)(10)在任意切換律下，對于系統(tǒng)允許的參數(shù)不確定是二次穩(wěn)定的，且存在魯棒H∞次優(yōu)可靠控制器，控制器

證明:過程參照定理1.

注3:在設(shè)計(jì)控制器時(shí)，在控制器中都存在參數(shù)αi，可以通過參數(shù)調(diào)整使控制器滿足系統(tǒng)的要求，十分方便和靈活.

3 仿真算例

考慮由兩個(gè)子系統(tǒng)組成的不確定非線性切換系統(tǒng)(1)(i=1，2)

γ=1.5，Ω2=1，Ω1=2，μ1=2，μ2=3，ε1=13，ε1=8，ρ1=ρ2=2，η1=1，η2=4，α1=0.5，α2=0.3，ξ1=6，ξ2=7，β1=8，β2=5，ζ1=ζ2=1.當(dāng)執(zhí)行器發(fā)生故障時(shí)，由定理1的結(jié)論，利用LMI工具箱可求得控制器參數(shù)為

圖1 無故障時(shí)狀態(tài)曲線Fig.1 State responses without failure

圖2 有故障時(shí)狀態(tài)曲線Fig.2 State responses with failure

圖1和圖2分別給出了執(zhí)行器正常工作及故障兩種情況下，采用可靠控制器時(shí)的狀態(tài)響應(yīng)曲線.從圖中可以看出，兩種情況下切換系統(tǒng)均保證穩(wěn)定且無故障下的系統(tǒng)性能要略好于有故障下的系統(tǒng)性能.

根據(jù)推論1以及注2的步驟，利用LMI工具箱計(jì)算出最優(yōu)擾動(dòng)抑制性能，魯棒最優(yōu)可靠控制器為

4 結(jié)語

本文針對一類含有外部擾動(dòng)和所有系統(tǒng)矩陣含有不確定性的非線性切換系統(tǒng)，在執(zhí)行器發(fā)生故障使得系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況下，對系統(tǒng)的可靠控制問題進(jìn)行研究.利用公共李雅普諾夫法在任意隨機(jī)切換律下，以LMI的形式給出了系統(tǒng)執(zhí)行器故障信號(hào)輸出為零和不為零時(shí)的可靠控制器存在的充分條件，同時(shí)對系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制性能進(jìn)行了最優(yōu)化求解.最后仿真結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的控制器在執(zhí)行器正常工作和一些執(zhí)行器發(fā)生故障時(shí)是有效的.

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