秦新強，申曉利，胡鋼

西安理工大學理學院，西安710054

1 引言

曲線曲面的形狀修改一直是CAGD領域中一項基本的技術，對于曲線的實用化有著重要的意義，許多學者在這一領域已做了大量的研究工作[1-4]。C-Bézier曲線曲面[4-8]作為CAGD中一種新穎的造型曲線曲面，不僅保留了傳統(tǒng)Bézier曲線曲面的許多優(yōu)點，而且能夠方便、精確地構造常規(guī)的二次曲線曲面，還具有算法簡單，存儲空間小，參數(shù)選擇容易等特點，因此其在描述曲線曲面方面有著重要的作用。本文在分析四次C-Bézier曲線幾何模型[9]的基礎上，對四次C-Bézier曲線的形狀調整進行了研究，通過修改曲線的控制頂點和形狀參數(shù)，分別提出了兩種調整四次C-Bézier曲線形狀的有效新方法，并給出了具體的實例。

2 四次C-Bézier曲線的定義及性質

定義1 對任意的t∈[0，α]，α∈[0，2π]，稱為空間Φ=span{sin t，cos t，t2，t，1}上的一組正規(guī)B基[9]，式中u4(t)=t2-2 cos C(t)，S=sin C(α)=α-sinα，C=cos C(α)=1-cosα，cos C(t)=1-cos t，Z3(t)=sin C(t)/S。

定義2 設Pi(i=0，1，2，3，4)為曲線的控制頂點向量，α是任意實數(shù)，且0≤t≤α，0≤α≤2π，則曲線

稱為四次C-Bézier曲線[9]。其中bi(t)??(i=0，1，2，3，4)為式所定義的基函數(shù)。當α→0時，四次C-Bézier曲線逼近于四次Bézier曲線。由式（1）和（2）可以推出四次C-Bézier曲線具有凸包性、變差縮減性、保凸性，以及如下的端點性質。

由于形狀控制參數(shù)α的引入，使得四次C-Bézier曲線具有比傳統(tǒng)Bézier曲線更強的曲線表達能力。當曲線的控制頂點固定不變時，讓α在(0，2π)之間變化可產(chǎn)生一族四次C-Bézier曲線。圖1給出了一族α取不同值的四次C-Bézier曲線圖形，圖中曲線從上到下對應的參數(shù)依次取值為α=2，π，6，2π。

圖1 一族α取不同值的四次C-Bézier曲線

3 基于自身參數(shù)的四次C-Bézier曲線的形狀修改

四次C-Bézier曲線是由基函數(shù)和控制頂點混合生成的，由于其基函數(shù)中引入了的形狀控制參數(shù)α，所以增強了四次C-Bézier曲線的形狀控制能力。顯然，形狀參數(shù)α和控制頂點都會影響著曲線的整體形狀。

3.1 調節(jié)控制參數(shù)α修改曲線的形狀

假設控制頂點的位置保持不變，對于τ∈[0，1]，m，n分別為xlim(0，τ)和x(2π，τ)上的點，則可近似地認為α軌道上的點s(α，τ)在mn的連線上，且有

這一近似方法即可以將參數(shù)α對曲線的作用用直觀的形式表達出來，又可以為通過調節(jié)控制參數(shù)α來修改曲線的形狀提供了依據(jù)。

當α減小時，四次C-Bézier曲線逐漸靠近相應的四次代數(shù)多項式曲線xlim(0，τ)；當α增加時，四次C-Bézier曲線逐漸靠向相應的α=2π時的C曲線x(2π，τ)，(0＜τ≤1)。所以，參數(shù)α對整條曲線段的調節(jié)范圍便是xlim(0，τ)和x(2π，τ)之間的區(qū)域。

在實際的工程曲線設計中，經(jīng)常需要求一條曲線經(jīng)過某給定的點。設S為調節(jié)范圍內(nèi)的任一點，根據(jù)上面對α作用的分析，只要S位于xlim(0，τ)和x(2π，τ)之間的區(qū)域，就可以通過選擇合適的α使得四次C-Bézier曲線通過點S。

以下可分兩步完成，具體做法如下：

（1）求τ?？刹捎枚址ㄍㄟ^逐步求精反求τ。xlim(0，τ)和x(2π，τ)之間的直線段表示如下：

P1(k，τ)=kx(2π，τ)+(1-k)xlim(0，τ)，0≤k≤1

顯然希望找到τ0使得S在P1(k，τ0)上，具體算法為：

步驟1 取初值a=0，b=1；

步驟2 令τ0

步驟3 若S在P1(k，τ0)上，輸出τ0，否則轉步驟4；

步驟4 若S在P1(k，τ0)的左側，則令b=τ0，若S在P1(k，τ0)的右側，則a=τ0，轉步驟2。

通過此算法便可以求出τ0使得s(a，τ0)過已知點S。

（2）求α。由第（1）步求出的τ0可計算d1=d(S，x(2π，τ0))和d2=d(S，xlim(0，τ0))，因此由式（4）可得：

如果此時得到的α不滿足精度要求，還可以利用二分法，進一步提高精度直至滿足要求。具體步驟為：

步驟1 將α和τ0帶入四次C-Bézier曲線的方程得到點S′；

步驟2 若S′與S的近似精度滿足要求，則輸出S′，否則步驟3；

步驟3 若S′比S的更靠近xlim(0，τ)，則令反之令a=，轉步驟1。

3.2 調節(jié)控制頂點修改四次C-Bézier曲線的形狀

假設S為式（2）所定義的一條四次C-Bézier曲線Bα(t)上的某一點，其對應的變量t值為ts，要使S點移動到給定的T點，可通過調整控制頂點的位置來實現(xiàn)。不妨假設曲線各控制頂點Pi的位移矢量分別為δi(i=0，1，2，3，4)，則曲線上每點的位移量可表示為：

式中，0≤t≤1。

實際工程應用中常使用以下兩種方法：

（1）保持首末兩點的位置不變，采用約束優(yōu)化方法使整條曲線的變形最小。

首先，建立如下約束條件：

其目標函數(shù)為：

其次，為了使得上述目標函數(shù)取最小，由拉格朗日乘數(shù)法可以定義拉格朗日方程為：

式中，λ=[λx，λy，λz]為拉格朗日乘數(shù)向量。令

則可得如下方程組：

最后，解上述方程組式（7），便可求得中間3個控制頂點的位移為：

由此可見，采用約束優(yōu)化的方法移動中間3個控制頂點，控制頂點的位移方向與曲線上給定點的移動方向相同，其大小與相應的四次C-Bézier基函數(shù)成正比。

（2）保持首末點的位置和切矢方向不變。為了保證四次C-Bézier曲線段之間的G1連續(xù)，每段曲線在形狀修改時，首末點的位置和切矢方向都應保持不變，再使中間點P2位置不變，另外兩點P1、P3的位移δ1、δ2滿足：

式中，前兩個條件保證了調整控制頂點前后曲線的首末點的切矢方向不變。

上述方程組的幾何意義是將Δα在兩個方向(P1-P0)和(P4-P3)上分解成Δα1和Δα2，那么

式中，δ1、δ2分別為P1、P3的位移矢量。

圖2給出了一個通過移動曲線控制頂點來修改四次C-Bézier曲線形狀的實例。圖2中，曲線的形狀參數(shù)α=2π，而圖2（a）、圖2（b）和圖2（c）中分別移動的控制頂點個數(shù)分別為5個、3個和2個。

圖3給出了在保持端點性質條件下的四次C-Bézier曲線形狀修改的實例。圖3（a）保持了首末端點位置不變，而圖3（b）保持了首末點位置和切矢都不變。

圖2 移動控制頂點改變四次C-Bézier曲線形狀幾何造型

圖3 調節(jié)控制頂點來修改四次C-Bézier曲線的形狀

4 結論

基于四次C-Bézier曲線的幾何模型，分別通過修改曲線的控制頂點和形狀參數(shù)，提出了兩種調整四次C-Bézier曲線形狀的有效新方法。本文方法不僅增加了四次C-Bézier曲線造型方法的靈活性，在一定程度上克服了工程中該曲線形狀難以調節(jié)和控制的問題，而且還可以達到使曲線經(jīng)過給定目標點或滿足一定條件的近似表示的目的，在CAD/CAM工程中的應用也較為廣泛。

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