楊 梅，孫福芹

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

不連續(xù)治療策略下一類非線性SIR模型的全局穩(wěn)定性

楊 梅，孫福芹

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

研究一類具有不連續(xù)治療策略和非線性發(fā)生項的SIR模型。首先運用右端不連續(xù)的微分方程理論定義模型的Filippov解，然后證明該模型的全局行為由閾值R0確定，即當(dāng)R0≤1時，無病平衡點全局漸近穩(wěn)定。

Filippov解；不連續(xù)治療策略；基本再生數(shù)；全局漸近穩(wěn)定

用微分方程描述數(shù)學(xué)模型是研究傳染病動力學(xué)的一種經(jīng)典方法。Kermack和Mckendrick在1926年構(gòu)造了著名的SIR倉室模型，后于1932年提出了SIS倉室模型，并提出為傳染病動力學(xué)研究奠定基礎(chǔ)的“閾值理論”。近年來，對于帶有一般發(fā)生項的SIR模型，被許多學(xué)者廣泛研究，并獲得了閾值定理[1-5]。對有些傳染病，如流感、肺結(jié)核等，治療是控制它們傳播的一個重要因素。文獻[4]和文獻[5]分別研究了治療資源有限以及常值治療的情況下系統(tǒng)的全局性態(tài)。在文獻中，治療策略關(guān)于感染者人數(shù)都是連續(xù)的，而在流行病的傳播過程中，在各個時間區(qū)域內(nèi)，專業(yè)人員會根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)采取相應(yīng)的治療措施。因此，為提高流行病的防治效率，考慮具有不連續(xù)的治療策略的傳染病模型是必要并且具有實際意義的。然而這方面的研究結(jié)果相對較少，本文考慮將不連續(xù)的治療策略引入文獻[1-2]中經(jīng)典的SIR模型，給出了一類具非線性發(fā)生項的SIR模型的無病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性條件。

1 模型

文獻[1-2]中研究了經(jīng)典的具非線性發(fā)生項的連續(xù)SIR模型：

式中：S、I、R分別表示易感者、感染者、康復(fù)者在人口中所占的比例；μ＞0表示出生率，同時也表示死亡率；σ＞0表示感染者的自然康復(fù)率；f（S（t），I（t））表示非線性發(fā)生率。

本文討論非線性發(fā)生率f（S（t），I（t））為S·g（I）的形式，并將不連續(xù)治療率函數(shù)h（I）引入系統(tǒng)（1）得到的模型：

由于前2個方程與變量R（t）無關(guān)，因此僅需考慮下面的二維系統(tǒng)：

初始條件為：

在適當(dāng)假設(shè)下，引入系統(tǒng)（3）的基本再生數(shù)R0后，我們將證明當(dāng)R0≤1時，系統(tǒng)無病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性。

2 基本假設(shè)和主要結(jié)論

關(guān)于函數(shù)g，h，這里首先給出如下假設(shè)：

（H1）函數(shù)g（I）二次連續(xù)可微，滿足g（O）=0，當(dāng)I≥0時，g′（I）＞0，g″（I）≤0，且使得函數(shù)Φ（I）=g（I）/I有界。

（H2）h（I）=φ（I）·I，其中φ∶R+→R+為單調(diào)不減且分段連續(xù)的函數(shù)，即除了可數(shù)個孤立的點{ξk}外，在其它點處都連續(xù)，在這些孤立的點處的左右極限和滿足。并且，對R+的任意一個緊子集，φ在其上只有有限個不連續(xù)點，并假設(shè)φ在I=0處連續(xù)。

現(xiàn)給出系統(tǒng)（3）在初始條件（4）下的Filippov解的定義：

定義1[10]設(shè)定義在區(qū)間[0，T），T∈（0，+∞]上的向量函數(shù)（S（t），I（t））。若在[0，T）的任意子區(qū)間[t1，t2]上，（S（t），I（t））絕對連續(xù)，S（0）=S0≥0，I（0）=I0≥0，并且對幾乎所有的t∈[0，T），（S（t），I（t））都滿足如下微分包含：

由右端不連續(xù)微分方程的平衡點的定義，若常數(shù)解（S（t），I（t））=（S*，I*），t∈（0，+∞]為（3）的平衡點，當(dāng)且僅當(dāng)

由可測性選擇定理[6]易知，存在唯一的常數(shù)ξ*= S*g（I*）-（μ+σ）I*滿足

故要求出（3）的平衡點，只需求解如下微分包含：

在假設(shè)（H1）和（H2）下，根據(jù)文獻[7-10]，可證明如下引理：

引理1[7，8，10]設(shè)（S（t），I（t））為（3）滿足初始條件（4）的定義在區(qū)間[0，T），T∈（0，+∞]的解，則對?t∈[0，T），都有S（t）≥0，I（t）≥0。

引理2[9，10]在初始條件（4）下，模型（3）至少存在一個解（S（t），I（t）），并且，任意解都有界，從而在區(qū)間[0，+∞）上有定義。

記基本再生數(shù)為R0=g′（0）/[μ+σ+φ（0）]，關(guān)于無病平衡點E0=（1，0）的全局漸近穩(wěn)定性，有以下結(jié)論。

定理 當(dāng)R0≤1時，無病平衡點E0是全局漸近穩(wěn)定的。

3 定理的證明

易知R0＜1時，系統(tǒng)（3）的特征根全為負值，因此E0局部漸近穩(wěn)定。而當(dāng)R0＞1時，它變?yōu)椴环€(wěn)定。接下來考察當(dāng)R0≤1時，系統(tǒng)在E0處的全局漸近穩(wěn)定性。

將E0移到原點處，作變換x=S-1，則（5）變?yōu)椋?/p>

取Lyapunov函數(shù)：V（x，I）=x2/2+I，則V在第一象限內(nèi)是關(guān)于變量（x，I）的光滑且正定函數(shù)?？扇〕浞执蟮臄?shù)l，使集合｝有界。記

易知G為一具有非空緊凸像的上半連續(xù)集值映射。任取v=（v1，v2）∈G（x，I），由可測性選擇定理[6]，存在一個與（x（t），I（t））相對應(yīng)的可測函數(shù)η（t）∈，使得對幾乎所有的t∈[0，T），有

下面沿著系統(tǒng)（6）的解計算▽V（x，I）·v，

由于Φ′（I）=[g′（I）I-g（I）]/I2，由假設(shè)（H1）知g（0）=0，g″（I）≤0，因而Φ′（I）=[g′（I）I-g（I）]/I2≤0，進而知Φ（I）=g（I）/I單調(diào)遞減。又因為當(dāng)I＞0時，Φ（I）=g（I）/I有界，所以

又因為η（t）≥φ（0），所以

當(dāng)R0＜1時，集合當(dāng)R0=1時，若x=x（t）≡0，則有I=I（t）≡0。對?l＞0，ZV∩Ll的最大弱不變子集為{（0，0）}。所以，根據(jù)不變性原理及其推論（文獻[10]中定理4.3.1和推論4.3.2）可知，當(dāng)R0≤1時，（0，0）全局漸近穩(wěn)定，從而系統(tǒng)（3）的無病平衡點E0也是全局漸近穩(wěn)定的。

4 結(jié)束語

本文討論了一類具非線性發(fā)生項S·g（I），且具有不連續(xù)治療策略h（I）的SIR模型。結(jié)合不連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，證明了當(dāng)R0≤1時，無病平衡點E0的全局漸近穩(wěn)定性。將不連續(xù)治療策略引入經(jīng)典的傳染病模型，對于提高傳染病的防治效率以及減少花費，具有深遠意義，目前這一課題的研究結(jié)果相對較少，還需進一步研究。

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Global stability of SIR model with nonlinear incidence and discontinuous treatment

YANG Mei，SUN Fu-qin
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

A class of SIR model with discontinuous treatment and nonlinear incidence is proposed.Firstly，we define the Filippov solution of the system by using the theory of the differential equations with discontinuous right-hand side.We prove that the global dynamics of each discontinuous SIR model is fully determined by a single threshold parameter R0，which indicates that the unique disease-free equilibrium is globally asymptotical stable if R0≤1.

Filippov solution；discontinuous treatment strategies；basic reproduction number；globally asymptotical stability.

O175

A

2095－0926（2014）03－0036－03

2014-03-07

天津市科技發(fā)展基金資助項目（20081003）.

楊 梅（1989—），女，碩士研究生；孫福芹（1970—），男，教授，博士，研究方向為偏微分方程及其應(yīng)用、生物數(shù)學(xué)及動力系統(tǒng)等.