周建軍，林春生，趙建揚(yáng)

(海軍工程大學(xué) 兵器工程系，湖北 武漢430033)

0 引言

航空磁測技術(shù)被廣泛應(yīng)用于地質(zhì)調(diào)查、礦產(chǎn)勘探、組合導(dǎo)航和地球物理研究等領(lǐng)域，是航空地球物理的一種主要方法［1-3］。在飛行器背景下，補(bǔ)償飛行器背景磁干擾是航磁測量的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)。飛行器搭載磁傳感器測量時(shí)，飛行器的固有磁場以及飛行器機(jī)動時(shí)產(chǎn)生的磁干擾會對測量值產(chǎn)生較大的干擾。20 世紀(jì)40年代，文獻(xiàn)［4 -5］建立了飛行器的磁場模型。之后Bickel［6］提出了一種基于小幅度機(jī)動的模型求解方法，其提出的小信號模型要求飛行器在補(bǔ)償飛行器背景磁場前進(jìn)行四航向的機(jī)動學(xué)習(xí)飛行。但文獻(xiàn)［6］中并沒給出詳細(xì)的推導(dǎo)過程。學(xué)習(xí)飛行的航線示意圖如圖1所示［7］。此外，有報(bào)道指出，俄羅斯在學(xué)習(xí)飛行時(shí)選取的是一種圓周飛行的學(xué)習(xí)航線。

當(dāng)利用一些無人飛行器進(jìn)行航磁測量時(shí)，由于機(jī)動受限，要求飛行器做一個(gè)封閉的四航向?qū)W習(xí)飛行是非常困難的，為了解決無人飛行器在模型求解前的學(xué)習(xí)飛行問題，本文將封閉四航向的學(xué)習(xí)路徑改為折線飛行的學(xué)習(xí)路徑，對不同折線路徑的學(xué)習(xí)效果進(jìn)行了比較分析，同時(shí)分析了航向數(shù)對學(xué)習(xí)效果的影響。

1 飛行器背景磁場建模

飛行器背景磁場主要包括飛行器的剩余磁場、感應(yīng)磁場和渦流磁場3 部分。以飛行器上磁傳感器為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系如圖2所示，其中x 軸與飛行器縱軸平行，向前為正;y 軸與飛行器橫軸平行，向右為正;z 軸與飛行器的垂直軸平行，向下為正。Bd表示飛行器背景磁場矢量，Bo為地磁場矢量，Bc為磁傳感器測量的地磁場與飛行器背景磁場的合成磁場，即

α、β、γ 為x、y、z 軸與Bo的夾角。設(shè)u1=cos α，u2=cos β，u3=cos γ. 根據(jù)Tolles 和Lawson 提出的飛行器磁場模型，飛行器背景磁場［6］可以表示為

圖2 飛行器磁場模型坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate system of aircraft magnetic field model

式中:pi、aij和bij分別為飛行器的剩磁參數(shù)、感磁參數(shù)和渦磁參數(shù);u'j為方向余弦uj的導(dǎo)數(shù)。且aij=aji，a33=0，b33=0. 那么總的模型系數(shù)一共有16 項(xiàng)。

2 飛行器背景磁場模型求解

Tolles-Lawson 模型將飛行器背景磁場的物理模型轉(zhuǎn)化為了數(shù)學(xué)模型，但模型階數(shù)較高，方程存在較強(qiáng)的復(fù)共線性。為了精確求解出飛行器的背景磁場參數(shù)，美國學(xué)者Bickel 提出了“小信號模型”的概念，下面給出該模型的推導(dǎo)過程。

當(dāng)飛行器沿直線作小幅度機(jī)動，該直航向下地磁場Hd與x、y、z 軸的夾角為θi0，機(jī)動引起的角度變化量為Δθi(t)，那么近似有

因而ui(t)可以表示為

式中:Ui=cos(θi0)，Ui是與直航向有關(guān)的方向余弦穩(wěn)定量;vi(t)= -sin (θi0)Δθi(t)，vi是在對應(yīng)直航向上與飛行器機(jī)動有關(guān)的方向余弦變化量。當(dāng)機(jī)動角度Δθi(t)≤6°，(4)式的誤差≤0.5%.

將(4)式代入(2)式，并忽略vi的二階小項(xiàng)可以推導(dǎo)出由于飛行器機(jī)動引起的背景磁場變化量為

下面以中高緯度地區(qū)為例給出小信號模型的求解方法，在中高緯度地區(qū)，當(dāng)磁緯度大于30°，圖2中r ＜60°，因而U3≥0.5. 由于

將(4)式代入(6)式并忽略vi的二階小項(xiàng)可以推導(dǎo)得到

對(7)式求導(dǎo)可以得到

由(7)式與(8)式可以得到

將(9)式代入(5)式，飛行器機(jī)動引起的背景磁場變化量可以改寫為

式中:

Wi是與航向有關(guān)的參數(shù)，稱為航向參數(shù)，記不同航向下的航向參數(shù)為Wik，k 表示航向號;S(t)、vi是通過傳感器測量后濾波輸出的已知量。在k 航向下求解(10)式就可以求出航向參數(shù)Wik.

(11)式只與飛行器的剩磁參數(shù)與感磁參數(shù)有關(guān)，將(11)式改寫為矩陣形式可以得到如下形式的方程組

式中［U］2×8是與直航向上方向余弦有關(guān)的系數(shù)矩陣，表達(dá)式可由(11)式推導(dǎo)，其值可以通過傳感器測量得到。(13)式共有8 個(gè)未知量，因而至少采集4 個(gè)航向的飛行數(shù)據(jù)，由(13)式即可以求出飛行器的剩磁參數(shù)與感磁參數(shù)。

(12)式只與飛行器的渦磁參數(shù)有關(guān)，同理可知至少采集4 個(gè)航向的飛行數(shù)據(jù)，即可求出飛行器的渦磁參數(shù)。

當(dāng)飛行器做大范圍機(jī)動時(shí)，地磁場的空間梯度將對飛行器機(jī)動產(chǎn)生的背景磁場產(chǎn)生影響。地磁場主要在北向分量與垂直分量上具有較大的量值，因而主要考慮地磁場北向梯度kx與高度梯度kh的影響。在實(shí)際工程應(yīng)用中，可以通過飛行器沿南北航向飛行的磁場數(shù)據(jù)以及同航向上不同高度的磁場數(shù)據(jù)估算出kx與kh的均值，得到kx與kh后，在求解航向參數(shù)方程(10)式之前，只需要預(yù)先對空間磁場梯度進(jìn)行補(bǔ)償，即

式中:x 與h 分別為飛行器機(jī)動引起的北向位移與高度的變化量。然后由(15)式求出航向參數(shù)Wi，

3 飛行器學(xué)習(xí)路徑討論

在地磁測繪應(yīng)用中，飛機(jī)學(xué)習(xí)時(shí)是繞著一個(gè)封閉的四航向區(qū)域進(jìn)行飛行。針對一些機(jī)動性能較差的無人飛行器，要求飛行器做一個(gè)封閉的四航向?qū)W習(xí)飛行是非常困難的。為了同樣達(dá)到學(xué)習(xí)飛行的目的，探討將封閉的四航向?qū)W習(xí)路徑改為折線飛行的學(xué)習(xí)路徑，同時(shí)考慮航向數(shù)大于4 的情形。為了討論問題的方便，規(guī)定飛行器不能反向飛行，飛行器變換航向時(shí)一次性轉(zhuǎn)向角度假定飛行器改變航向時(shí)每次的轉(zhuǎn)向角度相同，改變一次航向后，需要在新航向上持續(xù)飛行一段時(shí)間?？紤]到地磁場在北向上具有較大的量值，規(guī)定飛行器在學(xué)習(xí)飛行時(shí)，折線飛行的朝向?yàn)闁|西方向。這里設(shè)定飛行器的初始航向?yàn)?0°，即朝東飛行，學(xué)習(xí)飛行后飛行器回到原來的初始航向上。定義飛行器從初始航向到恢復(fù)初始航向的飛行階段為學(xué)習(xí)飛行階段。

學(xué)習(xí)飛行的路徑示意圖如圖3所示。

圖3 飛行器折線飛行學(xué)習(xí)路徑Fig.3 Fold flight path of aircraft

由示意圖可知，飛行器從初始航向進(jìn)入學(xué)習(xí)飛行階段到恢復(fù)初始航向過程中的各條航線存在重復(fù)的航向，理論上重復(fù)的航向?qū)τ谇蠼饽Ｐ蛥?shù)是冗余的，因而對于重復(fù)的航向只需要選取其中的一條作為學(xué)習(xí)的航向即可。折線學(xué)習(xí)飛行時(shí)的最大航線數(shù)是與轉(zhuǎn)向角度θ 相關(guān)的，規(guī)定飛行器左轉(zhuǎn)時(shí)，θ 為正，下面對不同轉(zhuǎn)向角度θ 下的航線規(guī)劃進(jìn)行討論。

而獨(dú)立的航向數(shù)滿足

式中［］表示向下取整。

4 飛行器背景磁場參數(shù)的求解

在第2 節(jié)中推導(dǎo)得知，要求解飛行器的背景磁場參數(shù)，飛行器在學(xué)習(xí)飛行時(shí)至少要在4 個(gè)航向上做機(jī)動飛行，下面針對第3 節(jié)所規(guī)劃的飛行器學(xué)習(xí)路徑對背景磁場參數(shù)進(jìn)行求解，通過檢驗(yàn)求解的結(jié)果來驗(yàn)證能否通過本文所提出的折線飛行路徑進(jìn)行飛行器背景磁場參數(shù)的學(xué)習(xí)求解。

這里利用開發(fā)的飛行器背景磁場仿真軟件模擬飛行器的實(shí)際飛行過程，仿真軟件界面如圖4所示。

圖4 飛行器背景磁場仿真軟件界面Fig.4 Simulation software of aircraft’s background magnetic field

軟件包括3 個(gè)主要模塊:

1)參數(shù)設(shè)置模塊。如圖4所示，飛行器磁狀態(tài)參數(shù)表示了飛行器的磁狀態(tài)，對于特定的飛行器來說，其磁狀態(tài)參數(shù)在短期內(nèi)保持不變，因而通過設(shè)定磁狀態(tài)參數(shù)即可選定飛行器。通過飛行器運(yùn)動參數(shù)可以設(shè)定飛行器的飛行速度，以及機(jī)動時(shí)的角度幅值。通過地磁場參數(shù)可以設(shè)定飛行器飛行區(qū)域的磁場值、磁緯度、磁梯度，以及飛行器飛行的磁航向。通過設(shè)定三軸探頭參數(shù)模擬實(shí)際的非正交三軸探頭輸出。界面中，工作時(shí)間表示機(jī)動飛行的時(shí)間，采樣間隔表示傳感器的采樣率，中心頻率表示飛行器機(jī)動時(shí)的中心頻率。

2)飛行器背景磁場計(jì)算與數(shù)據(jù)保存模塊。根據(jù)當(dāng)前設(shè)置的參數(shù)，點(diǎn)擊“背景磁場計(jì)算”按鈕后，模擬生成飛行器在設(shè)定區(qū)域機(jī)動飛行時(shí)的背景磁場矢量。模擬產(chǎn)生的量還包括飛行器的機(jī)動角度、飛行高度、北向坐標(biāo)、地磁場的方向余弦。

3)顯示模塊?？梢愿鶕?jù)選擇顯示計(jì)算后的數(shù)據(jù)曲線。

這樣通過改變相關(guān)參數(shù)，利用開發(fā)的飛行器背景磁場軟件就可以模擬飛行器在不同航向下機(jī)動飛行產(chǎn)生的磁場矢量值。下面在不同飛行路徑條件下對飛行器的背景磁場參數(shù)進(jìn)行求解。

第1 步:設(shè)定飛行參數(shù)。首先選定飛行器，即設(shè)定飛行器磁狀態(tài)參數(shù)真值如表1所示。同時(shí)設(shè)定飛行器的速度v =100 m/s，機(jī)動時(shí)的俯仰角、滾動角、航向角幅值為4.5°，飛行器機(jī)動時(shí)的中心頻率為0.25 Hz，每次機(jī)動動作的時(shí)間為40 s，磁傳感器的采樣頻率均為20 Hz，不考慮三軸磁傳感器的非正交因素，學(xué)習(xí)區(qū)域的地磁傾角為45°，即飛行器在中高緯度飛行，學(xué)習(xí)區(qū)域的北向磁場梯度為kx=8.5 nT/km，高度梯度為kh= -19.52 nT/km. 飛行器進(jìn)入學(xué)習(xí)航向前的始點(diǎn)地磁場為51 000 nT.

表1 不同飛行路徑下計(jì)算的模型參數(shù)Tab.1 The calculated parameters in different flight path

第2 步:產(chǎn)生飛行器在不同航向下機(jī)動飛行時(shí)的背景磁場數(shù)據(jù)樣本。這里一共產(chǎn)生3 組數(shù)據(jù)樣本，第1 組數(shù)據(jù)按照圖1所示的0°、90°、180°、270°的封閉航向產(chǎn)生。第2 組數(shù)據(jù)按照圖3所示，當(dāng)轉(zhuǎn)向角θ 為45°時(shí)的航向產(chǎn)生，那么共有0°、45°、90°、135°、180° 5 條航向。第3 組數(shù)據(jù)按照圖3所示，當(dāng)轉(zhuǎn)向角θ 為30°時(shí)的航向產(chǎn)生，那么共有0°、30°、60°、90°、120°、150°、180° 7 條航向。產(chǎn)生的仿真數(shù)據(jù)樣本如圖5所示，圖示為預(yù)先對地磁梯度進(jìn)行補(bǔ)償后的磁場數(shù)據(jù)，其中Bx、By、Bz分別表示在飛行器上三軸磁通門測量值，B 表示光泵測量的磁場值。

圖5 飛行器背景磁場數(shù)據(jù)樣本Fig.5 Data samples of aircraft＇s background magnetic field

第3 步:利用產(chǎn)生的飛行器機(jī)動學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行模型參數(shù)的求解。

表1分別列出了設(shè)定的模型參數(shù)真值與利用3 組數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行求解的計(jì)算值。在計(jì)算模型參數(shù)時(shí)，將所有航向的數(shù)據(jù)都用于模型求解中。

由表1可以分別得到計(jì)算的剩磁參數(shù)、感磁參數(shù)、渦磁參數(shù)與真值的均方根誤差RMSE，如表2所示。

表2 模型參數(shù)的均方根誤差Tab.2 RMSE of calculated parameters

由計(jì)算的結(jié)果來看，3 組計(jì)算值均能夠趨向于模型參數(shù)的真值，比較每組計(jì)算參數(shù)與真值的均方根誤差可知，第1 組的剩磁參數(shù)更接近真值，而第2組的感磁參數(shù)更接近真值，第3 組的渦磁參數(shù)更接近真值。為了更為直觀地檢驗(yàn)所計(jì)算的模型參數(shù)能否達(dá)到補(bǔ)償飛行器背景磁場的目的，利用3 組計(jì)算的模型參數(shù)補(bǔ)償同一條飛行路徑下的背景磁場，該條飛行路徑按照同樣的方法仿真產(chǎn)生:飛行器磁航向?yàn)?5°，飛行時(shí)同時(shí)做俯仰、橫滾、搖擺機(jī)動，機(jī)動幅度均為1.5°. 圖6給出了補(bǔ)償結(jié)果。

圖6 補(bǔ)償后的飛行器磁干擾Fig.6 The aircraft’s magnetic field after compensation

從補(bǔ)償結(jié)果來看，3 組模型參數(shù)的補(bǔ)償效果相近。因而證明了飛行器按照折線路徑進(jìn)行學(xué)習(xí)飛行可以達(dá)到求解飛行器背景磁場參數(shù)的目的。事實(shí)上，為了模擬在飛行器艙內(nèi)進(jìn)行測量的情形，設(shè)定參數(shù)真值時(shí)，有意增大了飛行器的剩余磁場，x 軸方向上的剩余磁場達(dá)到405 nT. 在實(shí)際測量中，當(dāng)飛行器的剩余磁場過大，補(bǔ)償?shù)男Ч麑艿接绊懀@主要是由于剩余磁場疊加在磁通門傳感器測量值中，影響方向余弦的計(jì)算精度，同時(shí)也會增大光泵所測得的因飛行器機(jī)動引起的小量值。目前，利用Tolles-Lawson 模型進(jìn)行補(bǔ)償?shù)木瓤梢赃_(dá)到90% 以上［8］。如果飛行器剩余磁場過大，補(bǔ)償后的背景磁場仍會達(dá)到較大的量值，因而必須通過一些磁環(huán)境凈化方法減小飛行器的剩余磁場，或者對磁通門測量值進(jìn)行校正。

下面討論折線飛行時(shí)，學(xué)習(xí)的航向數(shù)對求解模型參數(shù)的影響，選取圖3所示，當(dāng)轉(zhuǎn)向角θ 為30°時(shí)的折線路徑。分別選取航向0°、30°、60°、90°;航向0°、30°、60°、90°、120°，航向0°、30°、60°、90°、120°、150°作為學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)的樣本。結(jié)合表1的第3 組學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)，就可以討論當(dāng)增加航向數(shù)時(shí)能否達(dá)到改進(jìn)模型參數(shù)的目的。表3給出了不同航向數(shù)下求解的模型參數(shù)。

表3 不同航向數(shù)計(jì)算的飛行器背景磁場模型參數(shù)Tab.3 The calculated parameters of aircraft’s magnetic field for different numbers of study lines

從求解的結(jié)果可以明顯的看出，當(dāng)增加航向數(shù)時(shí)，模型參數(shù)的求解值更加接近于真實(shí)值，另外分別將表3中的四航向求解值，五航向求解值與表1中的第1 組求解值、第2 組求解值相比較可知，在航向數(shù)相同的情況下，航向越相互垂直，求解的模型參數(shù)也更接近于真實(shí)值。

在實(shí)際飛行過程中，當(dāng)學(xué)習(xí)航向較為接近時(shí)，建立的學(xué)習(xí)方程組具有較強(qiáng)的復(fù)共線性，這樣對精確求解方程組不利，因而學(xué)習(xí)時(shí)盡量要求學(xué)習(xí)航向相互正交，但通過上述仿真可知，當(dāng)飛行器機(jī)動性能受限時(shí)，在精度允許的情況下，通過提出的折線飛行方法，適當(dāng)增加學(xué)習(xí)航向同樣可以達(dá)到學(xué)習(xí)求解模型參數(shù)的目的。

實(shí)際上從Tolles-Lawson 模型以及小信號模型的求解過程可知，提高模型求解的精度關(guān)鍵在于獲取的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)是否充分。增加航向數(shù)可以增加有效的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)樣本，關(guān)于俄羅斯采用的圓周飛行的學(xué)習(xí)路徑可以猜想是否為特定轉(zhuǎn)向角下的無窮多個(gè)航向的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)樣本的疊加。但這種猜想還缺乏依據(jù)。

上述仿真研究了航向數(shù)目和航向間的角度對模型求解精度的影響，為了研究航向誤差對補(bǔ)償精度的影響，仿真產(chǎn)生航向?yàn)?°、85°、175°、285°的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)樣本，計(jì)算出模型參數(shù)并與利用標(biāo)準(zhǔn)四航向0°、90°、180°、270°學(xué)習(xí)樣本計(jì)算的模型參數(shù)進(jìn)行對比。事實(shí)上，前一組航向可以認(rèn)為是在標(biāo)準(zhǔn)四航向上產(chǎn)生了5°的航向偏差，之所以選取5°，是考慮到飛行器做機(jī)動的角度一般小于6°. 表4和表5分別列出了標(biāo)準(zhǔn)四航向以及誤差航向下的模型參數(shù)計(jì)算值與均方根誤差。從計(jì)算結(jié)果來看，當(dāng)航向偏差在5°以內(nèi)時(shí)，與原來設(shè)定的航向相比，模型參數(shù)的偏差不大。分析原因，從模型自身的求解來看，只要獲取的數(shù)據(jù)相關(guān)性較小，航向偏差對模型求解的精度造成的影響也會較小。

表4 標(biāo)準(zhǔn)航向與誤差航向下計(jì)算的模型參數(shù)Tab.4 The calculated parameters under precise courses and courses with error

為了進(jìn)一步驗(yàn)證提出的折線飛行方法能否達(dá)到學(xué)習(xí)求解模型參數(shù)的目的，選取航磁測繪時(shí)的實(shí)際飛行數(shù)據(jù)求解模型參數(shù)。飛機(jī)在學(xué)習(xí)飛行時(shí)在同一塊區(qū)域先后進(jìn)行了圖1所示的0°、90°、180°、270°以及45°、135°、225°、315°兩組四航向的學(xué)習(xí)飛行，分別利用0°、90°、180°、270°四航向?qū)W習(xí)數(shù)據(jù)與0°、45°、90°、135°、180°五航向的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型參數(shù)的求解，圖7給出了一段實(shí)際航測數(shù)據(jù)的補(bǔ)償結(jié)果。

表5 標(biāo)準(zhǔn)航向與誤差航向下計(jì)算的模型參數(shù)均方根誤差Tab.5 RMSE of calculated parameters under precise courses and courses with error

圖7 實(shí)測飛機(jī)背景磁場的補(bǔ)償Fig.7 Compensation of real aircraft’s magnetic field

從補(bǔ)償結(jié)果可以看出，五航向補(bǔ)償效果與四航向補(bǔ)償效果接近，可以達(dá)到較好的補(bǔ)償效果，補(bǔ)償后的磁干擾幅值基本上在10 nT 以內(nèi)，且局部區(qū)域，五航向的補(bǔ)償效果甚至優(yōu)于四航向的補(bǔ)償效果。

綜合仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與實(shí)際飛行數(shù)據(jù)，在精度允許的情況下，飛行器可以通過折線飛行路徑達(dá)到學(xué)習(xí)飛行的目的。

5 結(jié)論

本文針對無人飛行器在模型求解前的學(xué)習(xí)飛行問題，在Tolles-Lawson 模型的基礎(chǔ)上考慮了地磁梯度的影響并提出了一種折線飛行的學(xué)習(xí)方法，并對學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行了規(guī)劃。對不同折線飛行路徑下模型參數(shù)的求解與補(bǔ)償效果進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)與實(shí)測飛行數(shù)據(jù)的驗(yàn)證，得到以下結(jié)論:

1)折線飛行路徑可以達(dá)到學(xué)習(xí)飛行的目的，求解的模型參數(shù)能夠較好地補(bǔ)償飛行器的背景磁干擾。

2)在折線學(xué)習(xí)飛行時(shí)，增加航向數(shù)有利于模型參數(shù)的精確求解。

3)在航向數(shù)相同的情況下，學(xué)習(xí)航向越相互垂直，模型參數(shù)求解的精度越高。

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