程廣利，張明敏

(海軍工程大學 電子工程學院，湖北 武漢430033)

0 引言

被動聲納的作用距離是其重要技術性能指標，也是決定潛艇在反潛作戰(zhàn)中能否奪取制勝權的重要要素之一。通常是基于聲納方程來估計被動聲納的作用距離［1］，如:將常見的優(yōu)質因數(shù)(FOM)當成被動聲納的距離指示。實際上，海洋環(huán)境嚴重影響被動聲納的作用距離，因而同一部聲納在不同海洋環(huán)境中，作用距離可能相差數(shù)倍。我國近海大都是淺海，受到多種環(huán)境因素的影響，海洋環(huán)境參數(shù)具有較強的不確定性［2］，對聲傳播影響很大，自然影響被動聲納作用距離的預估，從而影響指揮員的戰(zhàn)術決策［3］。因此，在不確定海洋環(huán)境中如何預報被動聲納的作用距離值得研究。

文獻［4］最早考慮被動聲納作用距離的不確定性問題，該方法(簡稱“方法1”)從聲納方程出發(fā)，利用傳播模型計算得到不同距離上的傳播損失(TL)，代入檢測概率方程，求得在每個距離上的檢測概率，然后在整個距離上對檢測概率積分，獲得“探測半徑”，認為它是此時被動聲納的“作用距離”。從本質上說，方法1 是對聲納作用距離的一階原點矩估計，優(yōu)點在于估計過程簡便、直觀，不足是由于它利用了矩估計方法，在某些情況下，如:當不確定環(huán)境參數(shù)ξ 滿足Cauchy 分布時不存在原點矩［6］，此時方法失效;而且方法1 沒有充分利用ξ 的概率密度函數(shù)(PDF)信息獲得被動聲納作用距離的概率分布。

文獻［5］在文獻［4］的基礎上，提出并定義了“概率D 條件下的可靠作用距離指標rD”，該方法(簡稱“方法2”)中，當D=1 時相當于取所有“某次實現(xiàn)的聲納作用距離rmax”中的最小值。從本質上說，方法2 是在方法1 的基礎上，通過選用閾值D 的大小來控制“可靠作用距離rD”，優(yōu)點是參數(shù)D 對rD的控制簡便、易行;但D 越大，對rD的估計越保守，易產生漏報;D 越小，則rD取值越大，易產生虛警。因此，方法2 的不足是無法確定定量選取D 的準則，只能依賴經驗人為決定。

值得說明的是，在不確定海洋環(huán)境中聲納的“作用距離”并非是指此時聲納的實際作用距離，只是聲納在此環(huán)境條件下對聲傳播距離覆蓋范圍的一種度量［4］。文獻［4］稱之為“探測半徑”，文獻［5］稱之為“可靠作用距離”，本文統(tǒng)稱之為“作用距離”。

針對方法1、方法2 的不足，本文在方法1 的基礎上，基于極大似然準則，提出一種度量被動聲納作用距離的計算方法，推導了單個和多個(以2 個參數(shù)為例)海洋環(huán)境參數(shù)不確定情況下估計被動聲納作用距離的過程，分析了方法的特性，給出了算例。

1 基本理論

預估不確定海洋環(huán)境中被動聲納作用距離的基本方法仍是利用聲納方程，此時的被動聲納方程為

式中:DT 為檢測閾;SL 為目標聲源級;TL(r，ξ)為考慮不確定性時不同距離r 上的聲傳播損失;NL 為背景噪聲級;DI 為接收陣指向性指數(shù)。

(1)式還可表示成FOM 形式，

式中:FOM=SL+DI-DT-NL.

則信號余量

考慮聲場中存在服從某種概率分布(如正態(tài)分布)的環(huán)境參數(shù)，對應的檢測概率

式中:δ 與給定距離r 處的信號檢測性能有關，反映了檢測區(qū)域和非檢測區(qū)域之間過渡的快慢。

某次實現(xiàn)的聲納作用距離［4］

將(4)式代入到(5)式中，得

可知rmax(ξ)也是一個不確定量，一般不易直接求得其解析表達式，但可求其近似數(shù)值解。rmax在ξ 的不確定性傳遞作用下必然也呈現(xiàn)出一定的概率分布，按照極大似然準則［6］，其中最大概率密度值對應的rmax就是極大似然估計值rMLE，即為此時被動聲納作用距離的估計值。

1.1 單個海洋環(huán)境參數(shù)不確定

如果rmax(ξ)嚴格單調且可微分，令單參數(shù)ξ 的概率分布為p(ξ)，則rmax的概率分布為

式中:g(rmax)為rmax(ξ)的反函數(shù)，即ξ = g(rmax);|·|表示取絕對值。

若rmax(ξ)并非嚴格單調，將rmax(ξ)分段為N個區(qū)間，在這些區(qū)間內分別滿足單調可微分，則rmax的概率分布可表示為

求解獲得p(rmax)最大值對應的距離，即為此時被動聲納的作用距離rMLE，其數(shù)學求解式為

1.2 多個海洋環(huán)境參數(shù)不確定

以兩個海洋環(huán)境參數(shù)不確定為例，研究度量多海洋環(huán)境參數(shù)不確定時被動聲納作用距離的極大似然估計法。

假設有兩個環(huán)境參數(shù)ε、η 不確定，二維隨機變量(ε，η)的聯(lián)合概率密度為p(ε，η)，當兩個隨機變量相互獨立時(海洋環(huán)境參數(shù)通?？蓾M足)，p(ε，η)=p(ε)p(η)，其中p(ε)、p(η)分別為ε、η 的PDF.

定義(ε，η)的變換(u，v)，其表達式為

且存在逆變換

則(u，v)的PDF 可表示為

式中:|J|為Jacobi 行列式，具體表達式為

rmax與環(huán)境參數(shù)(ε，η)之間存在映射關系，因此可將二維隨機變量(rmax，η)視為(ε，η)的變換，即令(10)式中u=rmax，v=η，則(rmax，η)的PDF 為

式中:

將(14)式對η 積分，得到rmax的概率分布

同樣，求解p(rmax)取最大值時對應的rmax，即為此時被動聲納的作用距離，2 個以上海洋環(huán)境參數(shù)不確定時可參照此過程計算。

2 仿真實驗與分析

2.1 單個海洋環(huán)境參數(shù)不確定

圖1所示為淺海環(huán)境Benchmark 模型。仿真條件:設海面是聲壓自由邊界，海深H =80 m，海底是半無限空間，海底參數(shù)c3=1 697 m/s，ρ3=1 866 kg/m3，α3=0.673 dB/λ;聲源深度為30 m，聲波頻率為400 Hz;接收深度為50 m;設溫躍層下限深度d2是不確定的，且服從均值為35 m、標準差為2 m的正態(tài)分布，c1=1 550 m/s，d1=20 m，c2=1 500 m/s;FOM =75 dB;聲納作用距離的搜索范圍為1 ～50 km;聲場計算模型為KRAKEN［7］。

圖1 淺海環(huán)境Benchmark 模型Fig.1 Benchmark model of shallow water environment

仿真產生10 000 個服從均值為35 m、標準差為2 m 的正態(tài)分布d2值，用聲場計算模型計算PL，如圖2所示。

當接收距離為30 km 時TL 的概率分布如圖3所示，可知在淺海環(huán)境中考慮了參數(shù)的不確定性時，在某個接收距離上TL 不再是一個確定值，而是滿足一定概率分布的不確定量，為聲納的作用距離估計帶來不確定性，同時從圖3可知此時TL 已不再服從正態(tài)分布，這也充分說明海水中的聲傳播是一個典型的非線性過程。

圖2 d2不確定范圍內的聲傳播損失Fig.2 Transmission loss within uncertain range of d2

圖3 接收距離為30 km 時聲傳播損失的概率分布Fig.3 PDF of transmission loss at the receiving range of 30 km

采用最小二乘法，擬合不確定環(huán)境參數(shù)d2與rmax之間關系表達式的曲線如圖4，由圖4可知二者一致性很高，擬合曲線即g(rmax)的表達式為

圖4 d2與rmax的擬合曲線Fig.4 Fitting curve between d2 and rmax

利用(18)式求出(7)式中的p［g(rmax)］和g'(rmax)，繼而利用(7)式求得rmax的概率分布p(rmax)，如圖5所示。由圖5可知概率密度最大時對應的距離為15.26 km，即為此時被動聲納的作用距離。

圖5 單參數(shù)不確定時rmax的概率分布Fig.5 PDF of rmax with single uncertain parameter

2.2 多個海洋環(huán)境參數(shù)不確定

仿真條件:假定有2 個參數(shù)不確定，一個是溫躍層下限深度d2，服從均值為35 m、標準差為2 m 的正態(tài)分布，另一個是海深H，在80 ～90 m 范圍內服從均勻分布，其他條件與算例1 中的一致。

p(rmax)計算結果見圖6，由圖可知概率密度最大時對應的距離rMLE=15.05 km.

圖6 兩個參數(shù)不確定時rmax的概率分布Fig.6 PDF of rmax with two uncertain parameters

3 結論

針對目前預報不確定海洋環(huán)境中被動聲納作用距離方法的不足，基于極大似然準則提出了一種估計不確定海洋環(huán)境中被動聲納作用距離的計算方法，推導了當單個和多個海洋環(huán)境參數(shù)不確定時預報被動聲納作用距離的過程，并分別給出了算例。

本文方法克服了現(xiàn)有方法的不足，利用不確定環(huán)境參數(shù)ξ 的概率密度信息，獲取rmax的概率分布，以極大似然準則確定被動聲納的作用距離rMLE. 本文方法對不確定海洋環(huán)境參數(shù)的概率分布不做特定要求，且無需設定用以確定作用距離的門限，該方法還可推廣至不確定海洋環(huán)境中主動聲納作用距離的預報中，為不確定海洋環(huán)境下的水下作戰(zhàn)提供聲納輔助決策信息。

References)

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