溫垚珂，徐誠，陳愛軍

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京210094;2.南京理工大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京210094)

0 引言

彈道明膠被廣泛應(yīng)用于槍彈和破片終點(diǎn)效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究中。它是由明膠粉末和水按一定比例混合后經(jīng)特殊工藝制成的一種物理響應(yīng)類似肌肉的高分子材料［1］。彈道明膠按所含明膠質(zhì)量百分比分為10%和20%兩種類型，其中質(zhì)量分?jǐn)?shù)10%的明膠由于與肌肉的性質(zhì)更相近，因此在國內(nèi)外終點(diǎn)效應(yīng)的研究中應(yīng)用更廣泛［2］。隨著有限元技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)值計(jì)算方法開始應(yīng)用于終點(diǎn)效應(yīng)的研究與評(píng)判中。要進(jìn)行合理正確的數(shù)值分析，首先要了解彈道明膠的物理特性并采用合適的本構(gòu)模型來描述其物理響應(yīng)。

Cronin 等［2-4］、Salisbury 等［5］采用自制的實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)質(zhì)量分?jǐn)?shù)10%彈道明膠(下文統(tǒng)稱10%彈道明膠)從低應(yīng)變率到高應(yīng)變率(0.01 ～1 550 s-1)的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)進(jìn)行了研究，實(shí)驗(yàn)表明彈道明膠是一種對(duì)應(yīng)變率和溫度較敏感的材料。Kwon 等［6］采用霍普金森壓桿實(shí)驗(yàn)裝置得到了10%彈道明膠在應(yīng)變率2 000 ～3 200 s-1下的應(yīng)力應(yīng)變曲線，但其結(jié)果與Cronin 等［2-4］、Salisbury 等［5］的不一致。Parker等［7］研究了溫度對(duì)10%彈道明膠物理性質(zhì)的影響，實(shí)驗(yàn)表明當(dāng)溫度上升到30.5 ℃時(shí)明膠開始從凝膠轉(zhuǎn)化為溶膠，而當(dāng)溫度降低到24.4 ℃時(shí)明膠開始從溶膠轉(zhuǎn)化為凝膠。同時(shí)，還給出了明膠體積聲速隨溫度的變化曲線。Nagayama 等［8］基于飛片實(shí)驗(yàn)得到了10%明膠的Hugoniot 曲線，實(shí)驗(yàn)表明彈道明膠質(zhì)點(diǎn)速度與體積聲速在一定壓力范圍內(nèi)存在近似線性關(guān)系，同時(shí)還給出了彈道明膠密度隨壓力的變化曲線。Appleby-Thomas 等［9］采用飛片實(shí)驗(yàn)研究了質(zhì)量分?jǐn)?shù)25%的明膠、肥皂和豬油在高速?zèng)_擊下的力學(xué)特性，研究表明隨著應(yīng)變率增加、25%的明膠呈現(xiàn)出流體彈塑性介質(zhì)的性質(zhì)，而肥皂和豬油則表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變率增強(qiáng)效應(yīng)。文獻(xiàn)［10］采用布里淵光譜散射技術(shù)測量了不同壓力狀態(tài)(環(huán)境壓力到12 GPa的壓力)下彈道明膠體積聲速和泊松比的變化情況。實(shí)驗(yàn)表明在一定壓力下10%彈道明膠的泊松比大約為0.37，而一些研究者在數(shù)值模擬中經(jīng)常將明膠考慮為類似橡膠的不可壓縮材料(泊松比0.5)［3，11］。由于彈道明膠是一種高分子材料且較軟，對(duì)其物理參數(shù)的實(shí)驗(yàn)測量技術(shù)還不夠成熟，已公開發(fā)表的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較少且存在不一致性，這給采用數(shù)值模擬技術(shù)進(jìn)行終點(diǎn)效應(yīng)研究帶來一定困難。

現(xiàn)有的材料模型只能描述彈道明膠在某一特定應(yīng)變率范圍內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)情況，根據(jù)研究問題不同，需要采用不同的本構(gòu)模型。文獻(xiàn)［12］建立了ABS 塑料球以低速(小于160 m/s)侵徹明膠的2D模型，該模型采用ALE 算法，將明膠考慮為簡單彈性體，以拉伸極限應(yīng)力作為明膠失效判斷準(zhǔn)則。針對(duì)手槍彈侵徹明膠的問題，Datoc［13］采用LS-DYNA中的彈塑性模型和粘彈性模型分別模擬彈道明膠，對(duì)明膠采用不同材料本構(gòu)的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。文獻(xiàn)［11］則采用LS-DYNA 中的不可壓縮橡膠模型來模擬彈道明膠在軟防護(hù)狀態(tài)下的物理響應(yīng)。Cronin［3］認(rèn)為考慮應(yīng)變率效應(yīng)的超彈性模型可以較好模擬彈道明膠在準(zhǔn)靜態(tài)和中等應(yīng)變率下的物理響應(yīng)，但是文中沒有給出該模型在高應(yīng)變率下的驗(yàn)證結(jié)果。Minisi 等［14］開展了槍彈、球形破片侵徹明膠的數(shù)值研究工作，他們認(rèn)為在高速侵徹下明膠可以看做流體，低速侵徹下明膠可以看做超彈性體，但是文獻(xiàn)中沒有給出具體的本構(gòu)關(guān)系和材料參數(shù)。溫垚珂等［15-16］采用流體彈塑性模型對(duì)鋼球和步槍彈侵徹彈道明膠的過程進(jìn)行了數(shù)值模擬，數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致性較好。目前，彈道明膠在高速?zèng)_擊下的數(shù)值模擬問題還罕有文獻(xiàn)報(bào)道，主要是缺少高應(yīng)變率下準(zhǔn)確的材料參數(shù)和合適的本構(gòu)模型。

本文在綜述彈道明膠物理性能的基礎(chǔ)上，對(duì)用于模擬彈道明膠的兩種不同本構(gòu)模型(應(yīng)變率相關(guān)的超彈性模型和流體彈塑性模型)進(jìn)行了深入分析，并得到了10%彈道明膠的狀態(tài)方程系數(shù)?；谇蛐螝咚偾謴貜椀烂髂z的實(shí)驗(yàn)研究，對(duì)比了兩種不同材料模型所得數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一致性;認(rèn)為在高應(yīng)變率下流體彈塑性模型能更好地模擬破片與明膠的相互作用過程。

1 彈道明膠本構(gòu)模型

1.1 應(yīng)變率相關(guān)的超彈性模型

結(jié)合相關(guān)實(shí)驗(yàn)得知，彈道明膠具有較敏感的應(yīng)變率效應(yīng)，且在準(zhǔn)靜態(tài)和中等應(yīng)變率下可以考慮為類似橡膠的不可壓縮材料。而LS-DYNA 中的181 號(hào)材料模型(MAT_SIMPLIFIED_ RUBBER/FOAM)正是用以描述這類性質(zhì)的較理想本構(gòu)模型［17］。

該模型采用Ogden 應(yīng)變能形式，即以主伸長率來表示應(yīng)變能函數(shù)［18-20］:

式中:μj和αj為材料常數(shù);K 為體積模量;J 為壓縮體積比;λ*i=λiJ-1/3，λi為主伸長率。由此得到主真實(shí)應(yīng)力的表達(dá)式:

定義函數(shù):

則主真實(shí)應(yīng)力的表達(dá)式可以寫成如下形式:

同時(shí)，該模型可以將不同應(yīng)變率下的單軸測試?yán)瓑簲?shù)據(jù)直接用于本構(gòu)模型。采用線性插值的方法得到實(shí)驗(yàn)應(yīng)變率范圍內(nèi)任意應(yīng)變率下的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)［19-20］。圖1為實(shí)驗(yàn)得到的10%彈道明膠在不同壓縮應(yīng)變率下的真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線［5］。由于明膠的拉伸實(shí)驗(yàn)技術(shù)還不夠成熟，有關(guān)10%彈道明膠拉伸性質(zhì)的文獻(xiàn)未見公開報(bào)道，因此假設(shè)明膠在拉伸和壓縮狀態(tài)下具有相同的性質(zhì)［3］。

圖1 10%彈道明膠在不同應(yīng)變率下的真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.1 True stress-strain curves of 10% ballistic gelatin at different strain rates

基于Feng 和Hallquist［21］提出的失效準(zhǔn)則如(5)式所示，該材料模型還可以模擬材料的失效過程。

式中:I1、I2、I3為右Cauchy-Green 變形張量的3 個(gè)不變量，對(duì)于不可壓縮材料I3=1;A、B、C 為由實(shí)驗(yàn)測得的材料常數(shù)。模型中通過損傷因子D 來考慮材料的應(yīng)力衰減行為，D 的計(jì)算方法如(6)式所示。當(dāng)D=1 時(shí)材料完全失效［17］。針對(duì)10%彈道明膠，Cronin［3］提出可以將(5)式簡化為(7)式的形式，并基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到C =5.7，h =0.2. (6)式中，h 用來判斷材料何時(shí)開始失效。

式中:

1.2 流體彈塑性模型

固體在動(dòng)態(tài)較高壓力下可以采用流體彈塑性模型來描述［17］。該模型不考慮應(yīng)變率效應(yīng)，但是結(jié)合狀態(tài)方程可以考慮彈道明膠可壓縮性的影響。流體彈塑性模型綜合考慮了材料強(qiáng)度效應(yīng)和可壓縮效應(yīng)，把變形視為形狀變形和體積變形兩部分之和。形狀變形部分用小彈塑性本構(gòu)方程描寫，而體積變形部分用線性多項(xiàng)式狀態(tài)方程描寫［22-23］。

式中:σij為總應(yīng)力張量;p 為靜水壓力;δij為單位張量;sij為應(yīng)力偏張量;μ =ρ/ρ0-1，ρ 和ρ0分別為現(xiàn)時(shí)密度和初始密度;C0、C1、C2和C3為材料常數(shù)，需要經(jīng)過實(shí)驗(yàn)測定和一定的理論推導(dǎo)才能得到。

Wilbeck［24］基于沖擊波陣面上的質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒條件，推導(dǎo)出面后壓力與密度存在如下關(guān)系:

式中:η=1 -ρ0/ρ =μ/(1 +μ);c0為體積聲速;k 為材料常速。c0和k 均需要通過實(shí)驗(yàn)測定。Nagayama等［8］通過實(shí)驗(yàn)得到了10%彈道明膠的Hugoniot 曲線，他們認(rèn)為沖擊波速us和質(zhì)點(diǎn)速度vp之間存在如下線性關(guān)系:

式中:c0=1 520 m/s;k=2.

(10)式可以改寫為如下的展開式:

當(dāng)μ 的范圍不是很大的時(shí)候，(12)式一般采用(9)式的近似表達(dá)形式。其中C0在初始?jí)毫ζ胶鈺r(shí)取0;C1=ρ0c20為體積模量;C2=(2k -1)C1;C3=(k-1)(3k-1)C1. 由此可以確定10%彈道明膠的狀態(tài)方程系數(shù)如表1所示。

表1 10%彈道明膠狀態(tài)方程系數(shù)Tab.1 The equation of state of ballistic gelatin

2 實(shí)驗(yàn)研究

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以檢驗(yàn)數(shù)值方法的可行性與準(zhǔn)確性，同時(shí)對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象觀察及分析有助于建立正確合理的數(shù)值模型。本文采用彈道槍以不同初速(700 ～1 000 m/s)發(fā)射直徑4.8 mm 的鋼球射擊10%彈道明膠(長× 寬× 高= 33 cm × 20 cm ×25 cm)，彈道方向?yàn)槊髂z長度方向;光電靶測速系統(tǒng)記錄鋼球侵入明膠前的速度;高速攝影系統(tǒng)記錄鋼球在明膠中的運(yùn)動(dòng)過程及明膠中的空腔變化情況。如圖2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.2 Schematic diagram of experimental setup

實(shí)驗(yàn)中觀察到的主要現(xiàn)象為明膠中空腔的膨脹、收縮及脈動(dòng)。觀察實(shí)驗(yàn)后的鋼球，發(fā)現(xiàn)無明顯變形。因此可以考慮在數(shù)值模擬中采用剛體模型來模擬鋼球，以提高運(yùn)算速度。從表2中可以看到，兩組入射速度下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致性較好。該彈道明膠的彈道極限速度大約為730 m/s. 通過對(duì)高速攝影結(jié)果的后處理，還可以得到侵徹過程中鋼球的速度衰減曲線及空腔膨脹周期等數(shù)據(jù)。

表2 φ4.8 mm 鋼球以不同速度侵徹彈道明膠的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.2 Experimental results of φ4.8 mm steel sphere penetrating into ballistic gelatin at different velocities

3 數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)對(duì)比

3.1 有限元模型

建立與實(shí)驗(yàn)對(duì)應(yīng)的有限元求解模型，考慮到對(duì)稱性及求解效率，只需建立1/4 模型。數(shù)值模型采用Lagrange 算法，全部用Solid164 實(shí)體單元建立，在鋼球與明膠之間采用面面侵蝕接觸算法。進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)，如圖3所示，鋼球與明膠的直接接觸區(qū)及附近劃分較密的網(wǎng)格，遠(yuǎn)離彈道的區(qū)域網(wǎng)格尺寸逐漸增大。鋼球采用剛體模型(MAT_RIGID)，設(shè)定入射速度分別為721 m/s 和948 m/s. 明膠分別采用考慮應(yīng)變率效應(yīng)的超彈性本構(gòu)和考慮可壓縮性的流體彈塑性本構(gòu)來模擬。

圖3 鋼球侵徹明膠的有限元模型Fig.3 The finite element model of steel sphere penetrating into ballistic gelatin

3.2 結(jié)果與討論

從圖4中可以看到，在兩個(gè)速度段上流體彈塑性模型的結(jié)果均與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較一致，而超彈性模型數(shù)值結(jié)果的誤差較大。從圖5中空腔形態(tài)的對(duì)比也可以明顯看出，流體彈塑性模型的數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)比較接近，而考慮應(yīng)變率的超彈性模型得到的瞬時(shí)空腔較小。在鋼球侵入彈道明膠1 000 μs后，超彈性模型得到的瞬時(shí)空腔直徑約為實(shí)驗(yàn)值的一半。

圖4 兩種材料模型計(jì)算得到的侵徹深度隨時(shí)間變化與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比曲線Fig.4 Comparison of computed and experimental time histories of the penetration depths

從對(duì)比結(jié)果可以得到，在高速侵徹下考慮可壓縮效應(yīng)的流體彈塑性模型比考慮應(yīng)變率效應(yīng)的超彈性模型能更好地模擬彈道明膠的物理響應(yīng)。這主要是由于彈道明膠在高應(yīng)變率下的物理響應(yīng)是由兩個(gè)互相競爭的因素來決定的:1)由應(yīng)變率增加導(dǎo)致的材料強(qiáng)化效應(yīng)［3-4，6］，2)由高壓引起的材料可壓縮效應(yīng)［2，7-9，24］。當(dāng)應(yīng)變率增加時(shí)可壓縮效應(yīng)逐漸占優(yōu)，當(dāng)應(yīng)變率降低時(shí)，應(yīng)變率強(qiáng)化效應(yīng)占優(yōu)。因此明膠在準(zhǔn)靜態(tài)和中等應(yīng)變率范圍內(nèi)可以采用應(yīng)變率相關(guān)的超彈性模型來模擬，但是在高應(yīng)變率范圍內(nèi)采用考慮可壓縮效應(yīng)的流體彈塑性本構(gòu)能更準(zhǔn)確地模擬其物理響應(yīng)。

圖5 鋼球以721 m/s 的速度入射明膠時(shí)仿真得到瞬時(shí)空腔與高速攝影拍攝到瞬時(shí)空腔對(duì)比Fig.5 Comparison of computed and experimental temporary cavity profiles at a strike velocity of 721 m/s

4 結(jié)論

本文針對(duì)彈道明膠物理性質(zhì)的實(shí)驗(yàn)研究情況及其在終點(diǎn)效應(yīng)數(shù)值模擬中的應(yīng)用，重點(diǎn)研究了可用于彈道明膠模擬的兩種不同本構(gòu)關(guān)系:應(yīng)變率相關(guān)的超彈性本構(gòu)和考慮可壓縮性的流體彈塑性本構(gòu)。結(jié)合相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)推導(dǎo)得到了彈道明膠狀態(tài)方程系數(shù)。隨后進(jìn)行了球形殺傷元高速侵徹彈道明膠的實(shí)驗(yàn)，并建立了對(duì)應(yīng)的有限元模型。最后將采用兩種不同本構(gòu)模型得到的數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較，得出流體彈塑性模型能更準(zhǔn)確地模擬彈道明膠在高應(yīng)變率下的物理響應(yīng)結(jié)論。為采用數(shù)值方法研究槍彈及破片的終點(diǎn)效應(yīng)提供了一定的借鑒。

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