石 文，余卓平，熊 璐

(1.同濟大學(xué)汽車學(xué)院，上海 201804；2.同濟大學(xué)新能源汽車工程中心，上海 201804；3.鋼鐵研究總院，北京 100081)

前言

1 車輛動力學(xué)模型的建立

1.1 3自由度車輛動力學(xué)模型

首先建立單軌車輛模型動力學(xué)方程組，并假定3自由度非線性微分方程組[3]代表了本文中研究車輛的實際動力學(xué)關(guān)系：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

車輛縱向加速度和質(zhì)心加速度之間的關(guān)系為

(6)

線性輪胎模型為

FyV=CaVαV

(7)

FyH=CaHαH

(8)

非線性輪胎模型采用魔術(shù)公式簡化形式[7,10]：

(9)

(10)

(11)

(12)

式(11)和式(12)表征了穩(wěn)定性控制所跟蹤的車輛側(cè)向動力學(xué)關(guān)系。在非勻速工況下，須聯(lián)立式(10)考慮車速變化對式(11)和式(12)解的影響。

車輛的運動學(xué)關(guān)系為

(13)

(14)

1.2 車輛瞬態(tài)穩(wěn)定性分析模型

(15)

其中：

(16)

(17)

(18)

其中：

(19)

線性化之后微分方程組的齊次通解可用以下結(jié)構(gòu)表示：

(20)

(21)

其中車輛瞬態(tài)轉(zhuǎn)向特性為

(22)

2 穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則的常用方法

2.1 跟蹤相平面穩(wěn)定區(qū)域方法

(23)

(24)

通常在使用相平面法作為穩(wěn)定性判據(jù)時，須對車輛在各個勻速工況下的受力和各項可變參數(shù)進行準(zhǔn)確分析，得到與該工況對應(yīng)的常微分系統(tǒng)方程。之后將各個常微分方程組所對應(yīng)相圖的穩(wěn)定區(qū)域特征信息進行綜合，建立查表數(shù)據(jù)庫，供穩(wěn)定性控制系統(tǒng)調(diào)用[7,13]。從理論上講，相平面法是一種定性判斷車輛側(cè)向動力學(xué)特性的方法，但該控制方法要求查表數(shù)據(jù)庫可以完整覆蓋車輛可能出現(xiàn)的各個勻速工況，且要求選用的理論模型具有足夠高的精度以準(zhǔn)確反映對應(yīng)工況下車輛的動力學(xué)特性。由此可知，基于相平面穩(wěn)定區(qū)域的判定準(zhǔn)則需要大量數(shù)據(jù)庫作為支撐，其判斷的準(zhǔn)確度與輪胎模型精度和數(shù)據(jù)量成正比。但是，車輛實際轉(zhuǎn)向過程中并不總能保證勻速行駛，某些情況，由于車輪切向力的變化，使得車輛出現(xiàn)縱向加速度或者減速度，并且耦合前后車軸載荷變換進而改變了前后車軸的側(cè)偏特性。瞬態(tài)下，可能使得由式(23)和式(24)得到的相圖發(fā)生本質(zhì)變化。由于縱向加速度會隨時間對車速產(chǎn)生影響，相平面軌線已不能準(zhǔn)確反映相關(guān)狀態(tài)變量的變化趨勢，須借助相空間分析方法。因此，這類基于勻速假設(shè)的相平面穩(wěn)定區(qū)域判據(jù)存在縱向動力學(xué)影響情況下的適用性問題，還須進一步研究[14]。

2.2 跟蹤線性參考模型方法

線性參考模型方法是一個相對簡單、實用且有效的方法。目前產(chǎn)品化的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)大多以此方法作為穩(wěn)定性控制的觸發(fā)判據(jù)。其理論依據(jù)[3-4,8]為

(25)

(26)

有一些廠商如MANDO[5]，通過前期試驗建立查表數(shù)據(jù)庫，用于限制不同路面摩擦因數(shù)情況下的理論橫擺角速度最大值。以上理論模型也可用前輪轉(zhuǎn)向角δV表示,須注意，此處并不考慮轉(zhuǎn)向系剛度對前軸側(cè)偏特性的影響：

(27)

在此主要關(guān)心由式(27)計算的橫擺角速度理論值所對應(yīng)的數(shù)學(xué)意義，及其與車輛側(cè)向動力學(xué)非線性微分方程組中心平衡點之間的關(guān)系。

統(tǒng)計表明，一般駕駛員在彎道行駛時，95%情況下所能達(dá)到的側(cè)向加速度不會超過4m/s2，即認(rèn)為在輪胎側(cè)偏特性的線性范圍[1]，如圖1所示。

(28)

(29)

通過對式(28)和式(29)中參數(shù)的標(biāo)定，可以使參考模型具有與所控車輛在輪胎側(cè)偏特性線性范圍內(nèi)基本一致的不足轉(zhuǎn)向性能。工業(yè)化應(yīng)用時，廠家還會通過微調(diào)穩(wěn)定性控制器敏感度等方法，增加參考模型對于參數(shù)變化影響的魯棒性，使穩(wěn)定性控制系統(tǒng)適應(yīng)于各種駕駛條件。并且針對多種多樣的道路條件和車輛條件(主要是載荷和輪胎變化對跟蹤模型精確性的影響)制定了上百種魯棒性測試[5]。

由于實際車輛的側(cè)向動力學(xué)關(guān)系具有高度的非線性因素，車輛彎道行駛過程中輪胎力的變化，可能會瞬時改變前后車軸側(cè)偏關(guān)系，從而改變中心平衡點在相平面上的位置和性質(zhì)，有可能使式(11)和式(12)微分方程組的特性發(fā)生質(zhì)的變化。由于式(11)和式(12)車輛側(cè)向動力學(xué)非線性微分方程組具有參數(shù)依賴方程組的典型特點，因此，行駛工況變化所引起的輪胎切向力、車軸載荷、行駛車速和前輪轉(zhuǎn)向角等參數(shù)切換均會改變車輛瞬態(tài)下常微分方程組的解析表達(dá)式。本文中研究的內(nèi)容側(cè)重于車輛瞬態(tài)情況下相平面全局特性的改變，分析式(11)和式(12)方程組中對應(yīng)的可變參數(shù)不難看出：由于車速是加速度的數(shù)值積分，車輪轉(zhuǎn)角的變化受到駕駛員操縱轉(zhuǎn)向盤頻率的影響，受到人體工程學(xué)極限的約束。所以，能夠在瞬態(tài)下改變微分方程組穩(wěn)定性質(zhì)的因素主要是輪胎力變化，即縱向加速度引起的載荷變化和輪胎所受切向力的變化等因素對前后車軸側(cè)偏特性的綜合影響。這種前、后車軸之間具體側(cè)偏關(guān)系的變化，既決定了車輛側(cè)向動力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定性變化的程度，也決定了不穩(wěn)定中心平衡點與之前相平面穩(wěn)定中心平衡點的偏離程度?？赏ㄟ^特定工況說明這種由于非線性微分方程組特性瞬態(tài)變化對線性判據(jù)有效性產(chǎn)生的影響。

3 載荷變化工況下的車輛瞬態(tài)穩(wěn)定性對現(xiàn)有判據(jù)有效性的影響

仿真工況取自彎道行駛車輛加速踏板松開所產(chǎn)生的載荷變化。選取思路是考慮到此工況出現(xiàn)的約-1m/s2減速度使得前軸加載、后軸減載，對于不同驅(qū)動方式車輛，該工況均拉近了前后車軸等效側(cè)偏關(guān)系，大多數(shù)車輛不足轉(zhuǎn)向程度降低甚至出現(xiàn)過多轉(zhuǎn)向以至于失去穩(wěn)定性。需要說明的是：由于減速度是由驅(qū)動輪制動力矩產(chǎn)生的切向反力(不考慮滾動阻力)與各種等效車身阻力(如空氣阻力和曲線行駛阻力)的合力產(chǎn)生，大多數(shù)情況下，驅(qū)動輪總的切向反力不會大于500N，因此，在干燥路面條件下，不同驅(qū)動方式的影響均小于車軸載荷變化對車軸側(cè)偏特性的影響[3]。車輛參數(shù)如表1所示。

表1 車輛參數(shù)

表2 車輛勻速圓周行駛時的數(shù)值計算結(jié)果

表3 載荷變化前后中心平衡點位置的變化

表4 3種前輪轉(zhuǎn)角情況下車輛瞬態(tài)穩(wěn)定性的變化過程

特定工況下，雖然車輛側(cè)向動力學(xué)非線性微分方程組特性發(fā)生質(zhì)的變化，即式(11)和式(12) 2自由度系統(tǒng)的中心平衡點特性由之前的穩(wěn)定焦點變?yōu)榘包c，但是其位置并沒有發(fā)生很大變化。由式(27)得到的橫擺角速度理論值與非線性系統(tǒng)中心平衡點所對應(yīng)的非穩(wěn)定穩(wěn)態(tài)橫擺角速度值接近。雖然穩(wěn)定性判據(jù)可能認(rèn)為此時車輛是穩(wěn)定的，但實際車輛的側(cè)向動力學(xué)特性不穩(wěn)定。由于線性參考模型方法不是跟蹤車輛系統(tǒng)自身穩(wěn)定性變化，因此，研究這一類工況中式(10)～式(12) 3自由度非線性微分方程組的特解在非穩(wěn)定中心平衡點連續(xù)統(tǒng)鄰域內(nèi)的變化規(guī)律，對于了解參考模型方法在該類工況下的有效性就具有積極的意義。

4 結(jié)論

相平面法可以定性研究車輛側(cè)向動力學(xué)系統(tǒng)特性和特解軌線的變化過程。在相平面法用于穩(wěn)定性判據(jù)時要求理論模型的精確性，且需要前期對各種勻速工況細(xì)分以建立盡可能完備的查表數(shù)據(jù)庫。不同于非線性系統(tǒng)方程數(shù)學(xué)意義上的穩(wěn)定性，車輛瞬態(tài)穩(wěn)定性變化需要一個過程。對于車輛實時穩(wěn)定性控制所跟蹤的最重要狀態(tài)變量橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角的數(shù)值增量，更是描述車輛瞬態(tài)穩(wěn)定性所對應(yīng)線性化微分方程組數(shù)值積分的結(jié)果，這兩個變量增量的變化具有明顯的連續(xù)性。因此，定性分析車輛側(cè)向動力學(xué)微分方程組解的穩(wěn)定區(qū)域作為控制判據(jù)和控制決策的方法不如跟蹤線性參考模型方法效率高。在某些考慮縱向動力學(xué)影響的臨界穩(wěn)定情況下，由于車輛穩(wěn)定性控制所跟蹤的狀態(tài)變量會在不穩(wěn)定中心平衡點連續(xù)統(tǒng)鄰域內(nèi)一段時間變化緩慢，且數(shù)值接近于線性參考模型理論值，可能使得穩(wěn)定性控制系統(tǒng)不能及時響應(yīng)而錯過最佳時機。因此，須針對此類工況特點，對線性參考模型參數(shù)或者誤差門限值進行調(diào)整，從而達(dá)到更好的控制效果。

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