魏道高，王子涵，張翼天，肖懷陽

(合肥工業(yè)大學(xué)機械與汽車工程學(xué)院，合肥 230009)

前言

汽車操縱穩(wěn)定性是轉(zhuǎn)向動力學(xué)性能中最主要的性能之一，是高速車輛的生命線。自20世紀(jì)30年代人們就開始進行汽車操縱穩(wěn)定性的研究，目前其線性范圍研究較為成熟[1-3]，而非線性范圍研究較為滯后，與線性范圍相比，其轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性相圖有多個平衡點，能較全面地反映車輛轉(zhuǎn)向行駛的本質(zhì)特性，避免了線性系統(tǒng)只取某一平衡點的鄰域構(gòu)建線性模型，用來描述車輛行駛動特性的局限性[4-5]。

然而，汽車是多自由度的非線性系統(tǒng)，隨著其設(shè)計與實際行駛速度的提高，車輛轉(zhuǎn)向行駛的非線性動力學(xué)行為變得更加明顯，在工程實際中，顯現(xiàn)出來的一系列問題也更加突出。對其問題國內(nèi)外學(xué)者展開了深入的研究，取得了一系列成果，并且為車輛轉(zhuǎn)向行駛非線性動力學(xué)的控制奠定了理論基礎(chǔ)。例如，文獻[6]中建立了前輪轉(zhuǎn)向的2自由度汽車轉(zhuǎn)向行駛非線性系統(tǒng)動力學(xué)模型，運用分岔理論對其動力學(xué)行為進行數(shù)值分析，提出了隨著車輛行駛速度和前輪轉(zhuǎn)向角的增加系統(tǒng)發(fā)生鞍-結(jié)分岔；文獻[7]中建立了四輪轉(zhuǎn)向的2自由度汽車轉(zhuǎn)向行駛非線性系統(tǒng)模型，運用共點軌跡的幾何分析法并結(jié)合相平面法對汽車轉(zhuǎn)向行駛穩(wěn)定性進行了數(shù)值分析，提出在極限工況下，系統(tǒng)除了發(fā)生鞍-結(jié)分岔，還會發(fā)生多種局部、全局分岔和極限環(huán)；文獻[8]中考慮車輛縱向速度的變化，建立了3自由度的汽車轉(zhuǎn)向行駛非線性系統(tǒng)動力學(xué)模型，對其進行數(shù)值分析，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運動。但是，以上學(xué)者的研究局限于輪胎非線性對轉(zhuǎn)向行駛穩(wěn)定性影響，而轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的間隙因素對汽車轉(zhuǎn)向行駛穩(wěn)定性的非線性動力學(xué)影響的研究未見報導(dǎo)。

在以上學(xué)者研究的基礎(chǔ)上，本文中考慮轉(zhuǎn)向系間隙非線性因素，建立了含車身側(cè)傾運動的4自由度汽車轉(zhuǎn)向行駛非線性動力學(xué)模型，對該系統(tǒng)進行數(shù)值計算與分析，以獲得間隙因素對汽車轉(zhuǎn)向行駛系統(tǒng)操縱穩(wěn)定性的影響，進一步豐富汽車轉(zhuǎn)向行駛系統(tǒng)非線性力學(xué)理論。

1 考慮轉(zhuǎn)向系間隙的操縱穩(wěn)定性動力學(xué)模型

1.1 考慮間隙的操縱穩(wěn)定性系統(tǒng)力學(xué)模型

在前人建立的汽車操縱穩(wěn)定性力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，本文中考慮轉(zhuǎn)向系間隙對操縱穩(wěn)定性的影響，建立了車輛操縱穩(wěn)定性力學(xué)模型和坐標(biāo)系,如圖1所示[9-10]。由于考慮轉(zhuǎn)向系間隙，忽略前輪定位參數(shù)影響，將汽車的轉(zhuǎn)向梯形機構(gòu)看作平面四連桿機構(gòu)，如圖2所示。為簡化分析過程，僅考慮主動梯形臂(左)和橫拉桿連接處有間隙，桿件均看作剛體。汽車以速度v進行等速轉(zhuǎn)向行駛，oxyz為固定于側(cè)傾中心的坐標(biāo)系，xoy與路面平行，x軸指向汽車行駛方向，z軸垂直向上，y軸按右手定則指向左側(cè)。

操縱穩(wěn)定性系統(tǒng)力學(xué)模型作如下假設(shè)：

(1)不計空氣阻力；(2)前后懸架側(cè)傾中心相同；(3)忽略前輪定位參數(shù)影響，轉(zhuǎn)向梯形機構(gòu)與xoy坐標(biāo)平面平行。

汽車操縱穩(wěn)定系統(tǒng)用4個自由度表示：橫擺角速度ω、質(zhì)心側(cè)偏角β、車身側(cè)傾角φ和前輪轉(zhuǎn)角δ。

1.2 考慮間隙的操縱穩(wěn)定性系統(tǒng)運動微分方程

根據(jù)以上圖1、圖2力學(xué)模型，運用達朗貝爾定理，建立系統(tǒng)運動微分方程。

1.2.1 操縱運動系統(tǒng)微分方程

(1)整車系統(tǒng)繞z軸的力矩平衡方程式

(1)

式中：Iz為繞z軸慣性矩；Ixz為慣性積；a、b分別為質(zhì)心到前后軸距離；Fy1、Fy2分別為前后輪側(cè)向力。

(2)整車系統(tǒng)沿y軸力平衡方程式

Fy1-Fy2=0

(2)

式中：M為整車質(zhì)量；Ms為懸架上質(zhì)量；h為車身質(zhì)心到整車側(cè)傾中心距離；v為汽車行駛速度。

(3)車身繞x軸側(cè)傾力矩平衡方程式

(3)

式中：Df、Dr分別為前后懸架側(cè)傾阻力系數(shù)；Cφ1、Cφ2為前后懸架側(cè)傾角剛度；Ix為繞x軸慣性矩。

(4)前主動轉(zhuǎn)向輪(左)繞主銷力矩平衡方程式

(4)

式中：T為轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)入力矩；i為轉(zhuǎn)向系傳動比；Is為轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)動慣量；Iω為前輪繞主銷轉(zhuǎn)動慣量；Dw為回正力臂；Mc為轉(zhuǎn)向梯形間隙碰撞力矩；kω為轉(zhuǎn)向系阻尼系數(shù)；α0為轉(zhuǎn)向柱與z軸夾角；θ為圖2所示轉(zhuǎn)向梯形中對應(yīng)夾角。

1.2.2 汽車輪胎側(cè)向力表達式

汽車輪胎側(cè)向力選用簡化的魔術(shù)公式為

Fy=Dsin(Cαtan(Bα(1-E)+Eαtan(Bα)))

(5)

(6)

(7)

式中：Fy為輪胎側(cè)向力；B為剛度因子；C為形狀因子；E為曲率因子；α為輪胎側(cè)偏角；αfl、αfr分別為前左右輪胎側(cè)偏角；δ1、δ2分別為前左右輪轉(zhuǎn)角(考慮左右輪轉(zhuǎn)角差)，魔術(shù)公式參數(shù)如表1所示。根據(jù)該表參數(shù)計算出樣車輪胎側(cè)向力與側(cè)偏角的關(guān)系曲線，如圖3所示。

表1 輪胎魔術(shù)公式參數(shù)

1.2.3 轉(zhuǎn)向梯形間隙碰撞力

根據(jù)圖2設(shè)間隙，沿x、y軸的分量分別為ex、ey，由幾何關(guān)系可得：

(8)

間隙接觸角θ1可表示為

(9)

間隙中軸銷相對軸套的法向與切向速度為：

(10)

(11)

(12)

在此假設(shè)軸銷和軸套狀態(tài)分為接觸和分離兩個狀態(tài)，軸套表面有彈性和阻尼，因而當(dāng)間隙副元素相接觸時，會有接觸力存在，為計算方便，把接觸表面力-位移特性線性化處理，簡化為彈簧-阻尼系統(tǒng)，其中軸套表面接觸時的阻尼系數(shù)為C、剛度系數(shù)為K。

間隙副碰撞力法向力Fn和切向力Ft分別為

(13)

式(13)在x、y方向的分量為

(14)

式中：vn、vt為接觸點軸銷相對軸套的法向、切向速度；Fx、Fy分別為碰撞力在圖2坐標(biāo)系中x、y方向分量；f為摩擦因數(shù)；Cl為間隙大小。

從而得到間隙對主銷的碰撞力矩Mc為

Mc=Fx(l1sin(γ-δ1)+ey)-Fy(l1cos(γ-δ1)-ex)

(15)

2 汽車轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性數(shù)值計算與分析

以國產(chǎn)某小型客車作為樣車，運用以上數(shù)學(xué)模型對間隙影響樣車轉(zhuǎn)向行駛穩(wěn)定性數(shù)值計算。針對分析目標(biāo)為轉(zhuǎn)向行駛穩(wěn)定性，本文中結(jié)合操縱穩(wěn)定性的典型工況，采用恒定車速下轉(zhuǎn)向盤階躍力矩輸入工況作為仿真工況進行離線仿真分析。計算所需樣車的數(shù)據(jù)，見表2，獲得間隙影響汽車轉(zhuǎn)向行駛穩(wěn)定性指標(biāo)橫擺角速度ω與質(zhì)心側(cè)偏角β，結(jié)果如圖4～圖6和表3所示。其中，圖4取汽車穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向時ω、β時域響應(yīng)計算間隙數(shù)值大小對其影響程度。

表2 樣車計算主要參數(shù)

(ω,β)①②③④⑤⑥間隙為0.1mm(0.79,-1.05)(0.81,-1.03)(0.81,-1.01)(0.83,-0.99)(0.83,-0.97)(0.85,-0.95)間隙為0.5mm(0.79,-1.05)(0.81,-1.03)(0.81,-1.01)(0.81,-0.99)(0.83,-0.97)(0.83,-0.95)間隙為2mm(0.77,-1.05)(0.77,-1.03)(0.79,-1.01)(0.81,-0.99)(0.81,-0.97)(0.83,-0.95)

圖4為汽車轉(zhuǎn)向行駛時不同間隙對轉(zhuǎn)向行駛橫擺角速度與質(zhì)心側(cè)偏角影響的時域圖。在圖4(a)中，間隙為Cl=0.1mm時對汽車轉(zhuǎn)向行駛時橫擺角速度與質(zhì)心側(cè)偏角時域圖響應(yīng)影響很??；在圖4(b)中，間隙為Cl=0.5mm時橫擺角速度ω穩(wěn)態(tài)振幅為2×10-3rad/s，質(zhì)心側(cè)偏角β穩(wěn)態(tài)振幅為3.5×10-4rad；在圖4(c)中，間隙為Cl=2mm時橫擺角速度ω穩(wěn)態(tài)振幅為1×10-2rad/s，質(zhì)心側(cè)偏角β穩(wěn)態(tài)振幅為1.7×10-3rad。

由此可見，存在間隙時ω與β穩(wěn)態(tài)值出現(xiàn)劇烈 波動，且隨著間隙增加橫擺角速度ω與質(zhì)心側(cè)偏角β穩(wěn)態(tài)振幅數(shù)值逐漸加大，影響了車輛轉(zhuǎn)向行駛的操縱穩(wěn)定性品質(zhì)。

圖5為不同間隙時橫擺角速度ω與質(zhì)心側(cè)偏角β相平面圖及其局部放大圖。由圖5可見，考慮轉(zhuǎn)向系間隙的汽車轉(zhuǎn)向行駛失穩(wěn)仍是鞍-結(jié)分岔[4,11]。間隙雖然沒有改變轉(zhuǎn)向行駛失穩(wěn)的性質(zhì)，但由圖5的局部放大圖和表3可見，隨著轉(zhuǎn)向機構(gòu)間隙Cl由0.1、0.5和2mm逐步加大時，樣車的ω-β相平面中穩(wěn)定區(qū)域逐漸減小，加大了車輛在一定工況下轉(zhuǎn)向行駛失穩(wěn)概率。

在表3中，序號①～⑥是局部放大相圖中的相點序號，即為穩(wěn)定臨界點的序號。每列有相同的縱坐標(biāo)橫擺角速度ω值，但隨間隙的增大，橫坐標(biāo)質(zhì)心側(cè)偏角β值不斷變小，表明臨界點內(nèi)移，在該工況下汽車轉(zhuǎn)向穩(wěn)定區(qū)域在減小。圖6為對應(yīng)表3的不同間隙時局部放大圖中相空間區(qū)域變化圖，各條線段代表不同間隙對應(yīng)穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域的分界線。分界線如圖6中箭頭所示隨著間隙增大而左移，表明ω-β穩(wěn)定區(qū)域隨間隙增大而減小。

3 結(jié)論

(1)建立了考慮轉(zhuǎn)向機構(gòu)間隙的4自由度汽車操縱穩(wěn)定性系統(tǒng)動力學(xué)模型。

(2)從橫擺角速度與質(zhì)心側(cè)偏角的時域圖和相圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著轉(zhuǎn)向機構(gòu)間隙增加，ω與β的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅加大，響應(yīng)品質(zhì)變差；在ω-β相圖中隨著間隙增加，穩(wěn)定區(qū)域逐減小。

(3)由以上數(shù)值分析可見，轉(zhuǎn)向機構(gòu)的間隙雖然沒有改變汽車轉(zhuǎn)向行駛時失穩(wěn)的鞍-結(jié)分岔性態(tài)，但惡化了轉(zhuǎn)向穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的品質(zhì)和減小了轉(zhuǎn)向行駛穩(wěn)定區(qū)域，因此，對轉(zhuǎn)向機構(gòu)的運動副間隙大小應(yīng)相應(yīng)控制，有利于提高車輛轉(zhuǎn)向行駛穩(wěn)定性。

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