嚴(yán)運(yùn)兵，吳 浩，趙 慧

(1.武漢科技大學(xué)汽車(chē)與交通工程學(xué)院，武漢 430081； 2.鄭州宇通客車(chē)股份有限公司新能源技術(shù)部，鄭州 450061；3.武漢科技大學(xué)機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院，武漢 430081)

前言

汽車(chē)防抱死制動(dòng)系統(tǒng)(ABS)是一種主動(dòng)安全裝置。它從防止制動(dòng)過(guò)程中車(chē)輪抱死的角度出發(fā)，避免車(chē)輛后輪側(cè)滑和前輪喪失轉(zhuǎn)向能力，提高車(chē)輛對(duì)地面附著系數(shù)的利用率，從而達(dá)到改善車(chē)輛制動(dòng)穩(wěn)定性、操縱性和縮短制動(dòng)距離等目的。

ABS控制方法是其核心技術(shù)，因易實(shí)現(xiàn)連續(xù)控制，提高ABS在制動(dòng)過(guò)程中的平順性，并最大限度地發(fā)揮其制動(dòng)性能，故以滑移率為控制目標(biāo)的各種ABS控制方法成為了研究的熱點(diǎn)[1-2]。文獻(xiàn)[3]中以滑移率為控制目標(biāo)，設(shè)計(jì)了ABS系統(tǒng)的PID控制器，且能基本達(dá)到控制要求。文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]中設(shè)計(jì)了基于閉環(huán)增益成形算法的魯棒控制器，對(duì)確定系統(tǒng)的控制較為有效。

ABS系統(tǒng)在實(shí)際使用時(shí)，往往會(huì)因?yàn)橥饨绲臄_動(dòng)(如汽車(chē)載人數(shù)量或載貨質(zhì)量的變化，制動(dòng)器因磨損導(dǎo)致的效能下降和輪胎氣壓與路面條件等因素的變化)，而使被控系統(tǒng)存在不確定性。這就需要在考慮不確定性的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)出能在一定程度上抑制擾動(dòng)的魯棒控制器。據(jù)此，本文中以滑移率為控制目標(biāo)，通過(guò)對(duì)ABS數(shù)學(xué)模型的建立和簡(jiǎn)化，對(duì)ABS系統(tǒng)進(jìn)行混合靈敏度H∞魯棒控制設(shè)計(jì)，以期實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)對(duì)不確定性參數(shù)攝動(dòng)的抑制，提高制動(dòng)的魯棒性能。

1 ABS數(shù)學(xué)模型及其簡(jiǎn)化

汽車(chē)ABS系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型由車(chē)輛動(dòng)力學(xué)、輪胎、制動(dòng)系統(tǒng)和滑移率計(jì)算4部分模型組成。

1.1 車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型

在不考慮復(fù)雜因素的情況下，單輪車(chē)輛模型的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，適合于汽車(chē)防抱死制動(dòng)系統(tǒng)性能的分析，如圖1所示。車(chē)輛的動(dòng)力學(xué)方程如下。

車(chē)輛運(yùn)動(dòng)方程：

(1)

車(chē)輪運(yùn)動(dòng)方程：

(2)

車(chē)輛縱向摩擦力：

Fx=μN(yùn)

(3)

式中：M為分配到車(chē)輪上的汽車(chē)質(zhì)量；R為車(chē)輪滾動(dòng)半徑；I為車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Tb為制動(dòng)轉(zhuǎn)矩；v為車(chē)輛速度；ω為車(chē)輪角速度；Fx為車(chē)輪和地面的摩擦力；μ為車(chē)輪與地面間的縱向附著系數(shù)；N為車(chē)輪所受的垂向載荷，N=Mg。

1.2 輪胎模型

輪胎模型是指制動(dòng)過(guò)程中輪胎附著力和其它各種參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，通常用輪胎附著系數(shù)與各種參數(shù)的函數(shù)關(guān)系來(lái)表示。本文中采用比較常用且相對(duì)精確的魔術(shù)公式來(lái)描述輪胎模型[6]。用魔術(shù)公式模型來(lái)模擬制動(dòng)時(shí)車(chē)輪縱向附著系數(shù)和車(chē)輪滑移率之間的關(guān)系，即

μ(S)=f+D·sin{C·arctan[B·S-E·(B·S-

arctan(B·S))]}

(4)

式中：S為滑移率；f相當(dāng)于車(chē)輪在純滾動(dòng)時(shí)的附著系數(shù)，一般情況下設(shè)為0；D、C、B、E都是與路面有關(guān)的常數(shù)，通過(guò)改變這些參數(shù)可模擬不同路面的附著系數(shù)。

1.3 制動(dòng)系統(tǒng)模型

制動(dòng)系統(tǒng)模型包括驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)模型和制動(dòng)器模型兩部分。目前，ABS的驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)一般采用電液控制，即用電磁閥來(lái)調(diào)節(jié)制動(dòng)系統(tǒng)的工作壓力。為了使系統(tǒng)簡(jiǎn)化，忽略電磁閥中彈簧等元件的非線(xiàn)性特性及壓力傳送的延遲，將驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化為1階慣性環(huán)節(jié)。

(5)

式中：p為制動(dòng)缸壓力，MPa；p0為初始制動(dòng)壓力，MPa；Tp為時(shí)間常數(shù)；s為拉普拉斯變換算子。

制動(dòng)器模型指制動(dòng)轉(zhuǎn)矩Tb與制動(dòng)輪缸壓力p之間的關(guān)系模型。為便于對(duì)控制過(guò)程進(jìn)行仿真，假設(shè)制動(dòng)器為理想元件，認(rèn)為其非線(xiàn)性特性較弱并忽略其滯后帶來(lái)的影響。因此，制動(dòng)器模型為

Tb=Ktp

(6)

式中Kt為制動(dòng)器效能因數(shù)。

1.4 滑移率計(jì)算模型

汽車(chē)制動(dòng)時(shí)，如果車(chē)輪線(xiàn)速度低于汽車(chē)行駛速度，輪胎和路面之間將產(chǎn)生滑移，此時(shí)滑移的程度常用滑移率表示[7]，其計(jì)算公式為

(7)

1.5 ABS數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)化

借鑒文獻(xiàn)[4]的模型簡(jiǎn)化方法，對(duì)ABS系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(8)

輸出方程為

(9)

汽車(chē)模型的仿真參數(shù)如表1所示。

代入仿真參數(shù)，將式(8)和式(9)轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)形式，得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

表1 汽車(chē)模型仿真參數(shù)

(10)

2 ABS的H∞魯棒控制設(shè)計(jì)

2.1 H∞混合靈敏度魯棒控制方法

H∞魯棒控制理論是在H∞空間(即Hardy空間)通過(guò)對(duì)性能指標(biāo)的無(wú)窮范數(shù)進(jìn)行優(yōu)化而獲得具有魯棒性能的控制器的一種理論。當(dāng)利用被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型G來(lái)設(shè)計(jì)控制器時(shí)，由于參數(shù)的變化和不確定性，并為便于設(shè)計(jì)與計(jì)算，往往把對(duì)象的模型簡(jiǎn)化，導(dǎo)致對(duì)象的數(shù)學(xué)模型G存在誤差ΔG。H∞控制的目的是：利用標(biāo)稱(chēng)模型G來(lái)設(shè)計(jì)控制器K，使K在穩(wěn)定被控對(duì)象的同時(shí)使某一目標(biāo)函數(shù)P的H∞范數(shù)最小[9]：

γ=min‖P(s)‖

混合靈敏度問(wèn)題是H∞控制的最典型問(wèn)題之一，在應(yīng)用H∞方法設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，為保證魯棒性和提高系統(tǒng)性能，通常將設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為混合靈敏度問(wèn)題?；旌响`敏度設(shè)計(jì)系統(tǒng)如圖2所示。其中r、e、n、d和y分別表示參考輸入、跟蹤誤差、測(cè)量噪聲、干擾輸入和系統(tǒng)輸出。W1、W2和W3為分別對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)性能、控制器輸出約束和魯棒性的權(quán)值。

設(shè)從r到e、u、y的傳遞函數(shù)分別為

U=(I+GK)-1

(11)

V=K(I+GK)-1

(12)

Q=GK(I+GK)-1

(13)

式中：U和Q分別為靈敏度函數(shù)和補(bǔ)靈敏度函數(shù)。則H∞混合靈敏度控制就是指在頻域內(nèi)選擇加權(quán)函數(shù)W1、W2、W3，使之滿(mǎn)足：

(14)

2.2 加權(quán)函數(shù)的選擇

加權(quán)函數(shù)的選擇是H∞混合靈敏度設(shè)計(jì)問(wèn)題中關(guān)鍵的一步。加權(quán)函數(shù)選擇的合適與否直接影響設(shè)計(jì)系統(tǒng)的性能。H∞混合靈敏度控制的設(shè)計(jì)過(guò)程在很大程度上是對(duì)U、V、Q的加權(quán)函數(shù)的選擇過(guò)程。在選擇和驗(yàn)證加權(quán)函數(shù)時(shí)必須滿(mǎn)足下列關(guān)系，作為加權(quán)函數(shù)的選擇依據(jù)[10-11]。

① 靈敏度函數(shù)U是閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)干擾抑制的度量，由式(10)可得：

② 若加性攝動(dòng)Δa和乘性攝動(dòng)Δm滿(mǎn)足：

則有：

④ 在低頻區(qū)有：

U=(1+GK)-1≈(GK)-1

V=KU≈G-1

Q=GKU≈I

在高頻區(qū)有：

U=(1+GK)-1≈I

V=KU≈K

Q=GKU≈GK

⑤ 對(duì)于幅值裕量GM和相位裕量θM有：

上述關(guān)系中，關(guān)系④最直觀且最易操作，因此本文中以關(guān)系④為主要原則來(lái)選取加權(quán)函數(shù)，并在此基礎(chǔ)上對(duì)其他幾個(gè)關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)。

2.3 ABS系統(tǒng)中加權(quán)函數(shù)的選擇

由式(10)可知，ABS系統(tǒng)的標(biāo)稱(chēng)模型是一個(gè)2階模型。據(jù)此可進(jìn)行加權(quán)函數(shù)的選擇[11]。

W1由系統(tǒng)的性能要求決定，通常應(yīng)具有積分特性或高增益低通特性。一般取W1(s)=k1/(s/ω1+1)。調(diào)整k1可有效擴(kuò)展系統(tǒng)頻寬，調(diào)整ω1可有效抑制系統(tǒng)超調(diào)量。為滿(mǎn)足系統(tǒng)的頻寬要求，獲得理想動(dòng)態(tài)過(guò)程，通過(guò)仿真，取W1(s)=100/(s+1)；W2由系統(tǒng)參數(shù)的攝動(dòng)范圍決定，也可用來(lái)約束控制器的輸出?；旌响`敏度設(shè)計(jì)中可通過(guò)對(duì)加權(quán)陣W2的選取來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)控制信號(hào)幅值的約束。為了不增加控制器的階次，通常取W2為一常數(shù)k2。為了約束控制器的輸出，保證系統(tǒng)頻寬的要求，取W2=0.000 05；W3可根據(jù)系統(tǒng)的高頻未建模動(dòng)態(tài)來(lái)選取。W3一般具有高通性質(zhì)，且W1和W3的頻帶不能重疊。W3的階次不宜取得太大，否則將影響迭代速度和控制器的階數(shù)，一般取W3(s)=k3s/(s/ω3+1)。W3也影響系統(tǒng)頻寬，通常ω3越大，系統(tǒng)的頻寬越寬。k3越大系統(tǒng)頻寬越窄。為滿(mǎn)足高通性質(zhì)，并保證系統(tǒng)頻寬要求，通過(guò)仿真實(shí)踐，取W3(s)=s/(s+1 000)。

2.4 H∞控制器求解和ABS系統(tǒng)仿真

本文中使用Matlab軟件中的魯棒控制工具箱進(jìn)行H∞魯棒控制設(shè)計(jì)，可大大減少計(jì)算量，只須進(jìn)行加權(quán)函數(shù)的選擇[12]。

在Matlab環(huán)境下，對(duì)ABS系統(tǒng)的標(biāo)稱(chēng)模型進(jìn)行加權(quán)，并使用hinf命令求解H∞魯棒控制器[13-15]，結(jié)果為一個(gè)4階模型：

3 仿真與結(jié)果分析

3.1 魯棒控制仿真

利用Matlab/Simulink工具建立ABS仿真模型，將求解得到的K(s)作為ABS的魯棒控制器進(jìn)行仿真，可得到單輪車(chē)輛模型基于H∞魯棒控制的ABS系統(tǒng)動(dòng)態(tài)仿真響應(yīng)過(guò)程。

圖3和圖4分別給出了ABS系統(tǒng)在魯棒控制器K(s)作用下輪速、車(chē)速與制動(dòng)距離的仿真結(jié)果和滑移率曲線(xiàn)。從圖3可以看出，在使用該ABS系統(tǒng)后，車(chē)速和輪速都在不斷減小，最后同時(shí)減為0，表明當(dāng)汽車(chē)制動(dòng)停止時(shí)車(chē)輪才抱死，提高了制動(dòng)過(guò)程中的操縱穩(wěn)定性，真正起到了制動(dòng)防抱死的作用。從圖4可以看出，整個(gè)制動(dòng)過(guò)程中，車(chē)輪滑移率基本上在期望滑移率附近變化，表明車(chē)輪充分利用了最大的地面附著力，獲得了較大制動(dòng)力，從而使汽車(chē)能在最短距離內(nèi)停車(chē)。

3.2 魯棒控制與傳統(tǒng)PID控制的對(duì)比

圖5和圖6給出了基于傳統(tǒng)PID控制的輪速、車(chē)速與制動(dòng)距離仿真結(jié)果和滑移率曲線(xiàn)。對(duì)比圖3和圖5，基于傳統(tǒng)PID控制的車(chē)速和輪速變化曲線(xiàn)不如魯棒控制的平滑，說(shuō)明魯棒控制的穩(wěn)定性更好；對(duì)比圖4和圖6，基于傳統(tǒng)PID控制的滑移率曲線(xiàn)需要一定的響應(yīng)時(shí)間，且在制動(dòng)結(jié)束時(shí)產(chǎn)生了振動(dòng)，而魯棒控制的滑移率曲線(xiàn)則一直保持平滑，說(shuō)明PID控制的控制精度、響應(yīng)時(shí)間和魯棒穩(wěn)定性都不如魯棒控制。

3.3 參數(shù)變化對(duì)魯棒控制仿真結(jié)果的影響分析

圖7和圖8給出了汽車(chē)載質(zhì)量改變后的仿真結(jié)果和改變前后滑移率變化的對(duì)比曲線(xiàn)，目的是驗(yàn)證控制系統(tǒng)的魯棒性能。對(duì)比圖3和圖7，仿真結(jié)果變化不大。從圖8可以看出，當(dāng)汽車(chē)質(zhì)量從725kg增加至1 000kg時(shí)，滑移率曲線(xiàn)變化很小，始終保持在0.19～0.20的區(qū)間內(nèi)，表明該控制系統(tǒng)不僅能達(dá)到較高的控制精度，而且系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性很好。

圖9和圖10給出了汽車(chē)制動(dòng)效能因數(shù)改變后的仿真結(jié)果和改變前后滑移率變化的對(duì)比曲線(xiàn)。對(duì)比圖3和圖9，仿真結(jié)果變化也較小。從圖10可以看出，當(dāng)制動(dòng)效能因數(shù)從500增加至1 000時(shí)，滑移率曲線(xiàn)依然變化很小，也始終保持在0.19～0.20的區(qū)間內(nèi)，再次表明該控制系統(tǒng)具有較高的控制精度和較好的魯棒穩(wěn)定性。

圖11和圖12分別給出了汽車(chē)在對(duì)接路面上行駛的車(chē)速、輪速與制動(dòng)距離的仿真結(jié)果和滑移率變化的曲線(xiàn)。設(shè)定在1.5s時(shí)刻，汽車(chē)由干瀝青路面過(guò)渡到濕滑路面行駛。從圖12可以看出，車(chē)輪滑移率并無(wú)較大變化，也保持在0.19～0.20的區(qū)間內(nèi)。說(shuō)明該ABS控制系統(tǒng)對(duì)路面條件的變化有很好的魯棒穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

(1) 建立和簡(jiǎn)化了ABS系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，得到了ABS系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。

(2) 采用經(jīng)典的混合靈敏度方法對(duì)ABS系統(tǒng)進(jìn)行H∞魯棒控制設(shè)計(jì)，得到了H∞魯棒控制器，并在Matlab/Simulink軟件平臺(tái)上進(jìn)行了仿真分析。

(3) 仿真結(jié)果分析表明，基于H∞魯棒控制的ABS系統(tǒng)不僅能夠達(dá)到較高的控制精度，而且能夠在一定范圍內(nèi)承受模型參數(shù)不確定性，具有較好的魯棒性，整體性能優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制，因此可在實(shí)際的ABS系統(tǒng)開(kāi)發(fā)中應(yīng)用。

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