胡 君， 崔文剛 ， 張玉彪

（1.貴州師范大學 地理與環(huán)境科學學院，貴州 貴陽550001）

貴陽市位于貴州省中部，東經(jīng)106° 07′E ～107°17′E，北緯26°11′N～27°22′N，屬于高原山地地形，平均高程1 175 m。根據(jù)高斯投影的長度變形原理可以發(fā)現(xiàn)，其投影變形超過2.5 cm/km[1,2]，因此建立了以北京54為基礎(chǔ)，取108°E經(jīng)線為中央子午線，將橢球面抬升至1 175 m的貴陽市城市獨立坐標系。建立獨立坐標系后，坐標值不再與國家坐標重合。由于各種需要，往往需要將貴陽市城市獨立坐標轉(zhuǎn)換成北京54等國家坐標系。平面坐標轉(zhuǎn)換模型較多，本文以同時具有城市獨立坐標系和北京54坐標系成果的某市政道路GPS控制網(wǎng)為例，分別采用3種常見的平面坐標轉(zhuǎn)換方法將貴陽市城市獨立坐標轉(zhuǎn)換為北京54坐標。將控制網(wǎng)的北京54坐標當成真值，將得到的坐標轉(zhuǎn)換成果與之進行比較，希望從中總結(jié)出不同平面坐標轉(zhuǎn)換模型的優(yōu)點與不足，作為平面坐標轉(zhuǎn)換工作的借鑒。

1 常見的平面坐標轉(zhuǎn)換方法

1.1 直接參數(shù)法

直接參數(shù)法是將已知公共點中的某點作為基準點，再通過已知公共點計算兩套坐標系之間的平移參數(shù)、尺度因子以及方位角旋轉(zhuǎn)參數(shù)，將其他待轉(zhuǎn)換的坐標轉(zhuǎn)換到新坐標。設(shè)X，Y為原坐標系，x，y為目標坐標系，其轉(zhuǎn)換模型如下[3]：

根據(jù)以上模型可以看出，直接參數(shù)法需要求兩個已知公共點，當有多余的公共點時，一般以其他公共點作為檢核條件，通過最小二乘法求取最合適的轉(zhuǎn)換參數(shù)。

1.2 相似變換法

相似變換是坐標轉(zhuǎn)換中最常用的一種方法 。三維坐標可以采用7參數(shù)模型，平面坐標則一般采用4參數(shù)模型。二維平面相似變換模型如下[4]：

式中，x0、y0為平移參數(shù)；α為旋轉(zhuǎn)參數(shù)；k為尺度參數(shù)；x、y表示轉(zhuǎn)換后所得坐標；X、Y表示原坐標系坐標。

相似變換能較好地解決不同坐標系之間定義上的差異。坐標系統(tǒng)局部形變系統(tǒng)性誤差往往未能反映到轉(zhuǎn)換模型中，相似變換法是將原坐標系經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)及伸縮而變換到新的坐標系統(tǒng)中，能保持原有坐標網(wǎng)的幾何形狀，避免轉(zhuǎn)換過程中因原坐標網(wǎng)變形而產(chǎn)生的網(wǎng)中坐標點的相對位置變化[5]。

1.3 多項式逼近法

設(shè)X、Y表示原坐標系坐標，x、y表示新坐標系坐標。為了便于計算，選取中央位置某點（x0，y0）作為坐標轉(zhuǎn)換的基點，以方便多項式計算與系數(shù)求解。

式（3）為2階多項式，有a0，a1，…，a5，b0，b1，…，b5共12個待定系數(shù)，至少需要6個已知公共點才能求解。當坐標轉(zhuǎn)換區(qū)域較大、已知公共點數(shù)量較多時，可以選擇階數(shù)較高的多項式進行擬合。對于式（1），若有m個公共點，可以列出誤差方程：

通過誤差方程可以解出待定系數(shù)a0，a1，…，a5，b0，b1，…，b5，代入式（1）即可列出坐標轉(zhuǎn)換多項式。當已知公共點數(shù)量超過必要公共點數(shù)量時，可采用最小二乘多項式擬合公共點。

多項式逼近法在于選取多項式逼近待求的新舊坐標變換函數(shù)。多項式逼近任意連續(xù)函數(shù)時，從理論上講，選擇適當?shù)亩囗検诫A數(shù)和系數(shù)，可以逼近到任意程度，并保證點與點之間一一對應(yīng)、連續(xù)變換的特性[7]。

2 算例分析

貴陽市某市政道路施工控制網(wǎng)的等級為公路4等，采用GPS進行布設(shè)，并與貴陽市城市CORS網(wǎng)及項目區(qū)附近國家B級點和C級點各1個進行聯(lián)測。嚴格按照交通部JTJ/T 066—98《公路全球定位系統(tǒng)（GPS）測量規(guī)范》進行內(nèi)外業(yè)操作，最終平差獲得貴陽市城市獨立坐標系及北京54坐標系成果，如表1。

表1 某市政道路施工控制網(wǎng)貴陽市城市獨立坐標與北京54部分公共點坐標

現(xiàn)將該成果中部分點作為已知點，分別采用“直接參數(shù)法”、“相似變換法”及“多項式逼近法”將貴陽市城市獨立坐標轉(zhuǎn)換成北京54坐標。假設(shè)GPS控制網(wǎng)北京54坐標成果是真值，用剩余公共點作為檢核條件，以分析坐標轉(zhuǎn)換精度。3種坐標轉(zhuǎn)換方法分別得到的坐標轉(zhuǎn)換成果及坐標轉(zhuǎn)換誤差如表2、表3所示（表中加粗數(shù)字為坐標轉(zhuǎn)換采用已知點，其余點為檢核點）。

表2 3種不同轉(zhuǎn)換方法轉(zhuǎn)換北京54坐標成果

表3 3種不同坐標轉(zhuǎn)換方法轉(zhuǎn)換誤差分析

3 結(jié) 語

經(jīng)過以上分析比較不難發(fā)現(xiàn)：

1）對于直接參數(shù)法，在坐標轉(zhuǎn)換已知點上其轉(zhuǎn)換成果與已知點重合。通過檢核點可以發(fā)現(xiàn)，小區(qū)域內(nèi)（一般指不大于20 km范圍）能夠滿足一般坐標轉(zhuǎn)換的精度需要。同時發(fā)現(xiàn)，其轉(zhuǎn)換誤差隨距離的增加而變大，當超過一定距離時誤差會成比例遞增，所以不適合大范圍的坐標轉(zhuǎn)換。

2）對于相似變換，2個坐標轉(zhuǎn)換已知點上都存在一定的間隙。同時，隨著距離的增加，坐標轉(zhuǎn)換精度呈現(xiàn)上升趨勢，但在小區(qū)域內(nèi)（一般指小于20 km）能夠滿足一般坐標轉(zhuǎn)換的精度要求。當坐標轉(zhuǎn)換范圍較大時，需先進行相似變換，然后對轉(zhuǎn)換結(jié)果中存在的間隙進行多項式擬合，減小坐標轉(zhuǎn)換誤差。

3）對于多項式逼近法，由于是采用解誤差方程獲得的結(jié)果，6個參與坐標轉(zhuǎn)換的公共點轉(zhuǎn)換成果與已知點都重合。6個公共點控制范圍內(nèi)的坐標轉(zhuǎn)換精度符合精度要求，且精度略高于直接參數(shù)法與相似變換成果；但是在轉(zhuǎn)換區(qū)域邊緣，由于6個公共點過于集中在項目區(qū)中央，導(dǎo)致項目區(qū)邊緣多項式的病態(tài)，使1308、9102、H087上誤差精度超限。

由前文實驗和分析，可以得出以下結(jié)論：

1）當坐標轉(zhuǎn)換范圍較小時，通過對已知公共點的合適選擇，直接參數(shù)法、相似變換法與多項式逼近法都能達到0.020 m以內(nèi)的轉(zhuǎn)換精度。但是，多項式逼近法根據(jù)擬合的階數(shù)要求的公共點數(shù)量較多，計算也較為復(fù)雜，直接參數(shù)法與相似變換法計算較為簡便。

2）當坐標轉(zhuǎn)換范圍較大時（一般指大于20 km），可以先采用相似變換法，解決坐標系統(tǒng)定義上的差異，再通過多項式擬合減小相似變換后存 在的間隙。也可以采用多項式逼近法，選取合適的多項式階數(shù)，同時合理選擇公共點的數(shù)量與分布。

3）無論采用哪種坐標轉(zhuǎn)換方法，都需要有多余的檢核條件，對坐標轉(zhuǎn)換的結(jié)果進行檢核，才能保證坐標轉(zhuǎn)換的準確性。

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