（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

貝葉斯決策方法及其應(yīng)用

王明輝

（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

風(fēng)險(xiǎn)決策存在于諸多的生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，在制定一項(xiàng)決策之前，應(yīng)注重其風(fēng)險(xiǎn)分析，合理地將風(fēng)險(xiǎn)中的信息加以利用.根據(jù)貝葉斯理論的基本原理，通過一個(gè)具體實(shí)例，給出了應(yīng)用貝葉斯理論的步驟和方法.

貝葉斯決策；后驗(yàn)性信息；期望損失；后驗(yàn)概率

貝葉斯決策就是在不完全信息下，對(duì)部分未知的狀態(tài)用主觀概率去估計(jì)，我們稱之為先驗(yàn)概率，然后再利用貝葉斯公式對(duì)先驗(yàn)概率進(jìn)行修正，得到后驗(yàn)概率，最后利用期望值和修正概率做出最優(yōu)決策［1］.貝葉斯決策是基于貝葉斯定理發(fā)展起來用于系統(tǒng)的闡述和解決統(tǒng)計(jì)問題的方法.一個(gè)完整的貝葉斯分析應(yīng)該包括數(shù)據(jù)分析，概率模型的構(gòu)造，先驗(yàn)信息和效應(yīng)函數(shù)的假設(shè)以及最后的決策.貝葉斯理論能夠有效地綜合模型信息、數(shù)據(jù)信息和先驗(yàn)信息等三類信息，使決策者能夠利用更多的信息做出最優(yōu)決策［2］.

1 驗(yàn)前分析

在貝葉斯決策中，人們首先要做的是進(jìn)行驗(yàn)前分析.決策者首先要清楚知道各種信息的自然狀態(tài)及其發(fā)生的概率，以及對(duì)不同自然狀態(tài)采用不同方案后的損益值，據(jù)此決策者可以做出初步選擇.

某企業(yè)對(duì)未來市場情況有三種預(yù)計(jì)，依次記為θ1,θ2,θ3，該企業(yè)也有三個(gè)可供選擇的行動(dòng)a1,a2,a3，三個(gè)行動(dòng)方案在不同市場情況下遭受的損失如表1.

表1 不同行動(dòng)方案對(duì)應(yīng)不同市場情況的損失值

按照該行業(yè)的歷史資料以及該項(xiàng)目本身的具體情況，初步估算不同市場情況下的發(fā)生概率，給出如下先驗(yàn)分布：

用此先驗(yàn)分布可以算得各行動(dòng)的先驗(yàn)期望損失：

其中,使先驗(yàn)期望損失達(dá)到最小的行動(dòng)a′,

就是先驗(yàn)期望準(zhǔn)則下的最優(yōu)行動(dòng).

2 預(yù)驗(yàn)分析

貝葉斯決策方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用是廣泛的，當(dāng)在人力、時(shí)間和財(cái)力不允許收集更加完整的信息時(shí)，決策者往往用驗(yàn)前分析的方法進(jìn)行決策.在貝葉斯決策中，驗(yàn)后分析是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的主要方法，決策者需要根據(jù)人力、時(shí)間、財(cái)力等各方面的因素去思考問題，從而付出代價(jià)α，最后進(jìn)行決策.在權(quán)衡這些信息之后，決策者根據(jù)驗(yàn)后分析做出決策的風(fēng)險(xiǎn)和收益出現(xiàn)的結(jié)果.所以驗(yàn)后分析牽扯到兩個(gè)問題，一是否需要對(duì)信息追加，另外，如果要追加信息，應(yīng)該采取什么樣的策略行動(dòng).

決策者知道客觀調(diào)查不可能是完全準(zhǔn)確的，但一般能估計(jì)出調(diào)查的準(zhǔn)確程度［3］.當(dāng)實(shí)際情況為θ1時(shí)，調(diào)查結(jié)果為θ1′的概率為p11，為θ2′的概率為p21，為θ3′的概率為p31，如表2所示.

表2 不同實(shí)際情況對(duì)應(yīng)不同預(yù)測情況的概率值

由全概率公式得出：

我們關(guān)心的是，當(dāng)可能的調(diào)查結(jié)果為已知時(shí)，實(shí)際三種市場情況的概率分別是多少，也就是要找出修正后的先驗(yàn)概率.

上述結(jié)果如表3所示.

表3不同預(yù)測情況對(duì)應(yīng)不同實(shí)際情況的概率值

由此可以算得各行動(dòng)的后驗(yàn)期望損失：

當(dāng)調(diào)查結(jié)果為θ1′時(shí)，取

當(dāng)調(diào)查結(jié)果為θ2′時(shí)，取j

當(dāng)調(diào)查結(jié)果為θ3′時(shí)，取

根據(jù)后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)愈小愈好的準(zhǔn)則，對(duì)調(diào)查結(jié)果的每個(gè)可能制定出最優(yōu)行動(dòng)，這樣就得到了最優(yōu)決策函數(shù)a″,

它表示使后驗(yàn)期望損失達(dá)到最小的行動(dòng)組合.

此時(shí)就可以解答關(guān)于收集追加信息的價(jià)值問題.先計(jì)算后驗(yàn)損失的期望值：

上式表示追加信息前后各用最優(yōu)行動(dòng)而使決策者蒙受期望損失的減少量，或者說是由追加信息給決策者帶來的增益.

3 驗(yàn)后分析

在從事經(jīng)濟(jì)活動(dòng)時(shí)，決策者對(duì)有關(guān)的自然狀態(tài)了解的愈多，收集到的信息愈多，據(jù)此做出的最優(yōu)決策愈可靠，其獲得的收益也會(huì)愈高.但要想獲得信息愈多，其付出的代價(jià)也可能愈高.只有當(dāng)采集新的信息是有益的，即Q＞α，決策者才會(huì)去收集新的信息，否則其只要選擇最優(yōu)的驗(yàn)前策略，便可以獲得更大的收益.

下面我們以一簡單問題為例進(jìn)行說明.

某工廠準(zhǔn)備生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，產(chǎn)量可以采取小批、中批、大批三種行動(dòng)，分別記為a1,a2,a3，市場銷售情況可為暢銷、一般、滯銷三種狀態(tài)，分別記為θ1,θ2,θ3.三種行動(dòng)在不同市場狀態(tài)下可獲利潤如表4.

表4不同產(chǎn)量對(duì)應(yīng)不同市場銷售情況的利潤值（單位：萬元）

同一問題的損失函數(shù)，如表5.

表5不同產(chǎn)量對(duì)應(yīng)不同市場銷售情況的損失值（單位：萬元）

假如市場銷售狀態(tài)的先驗(yàn)分布為：

從而可得各行動(dòng)的先驗(yàn)期望損失：

若在先驗(yàn)期望準(zhǔn)則下進(jìn)行決策，那么最優(yōu)行動(dòng)應(yīng)為a3，因其先驗(yàn)期望損失最小.

該工廠打算聘請(qǐng)一個(gè)咨詢公司來調(diào)查市場情況，這項(xiàng)調(diào)查的花費(fèi)為5 000元.這樣做將導(dǎo)致改變工廠對(duì)于市場情況預(yù)測的先驗(yàn)概率，該公司是否應(yīng)該選擇這一方式呢？該工廠查閱了咨詢公司的歷史業(yè)績記錄，其結(jié)果如表6所示.該表顯示當(dāng)市場實(shí)際為一般時(shí)，該咨詢公司60%的報(bào)告預(yù)見到了這一情況，同時(shí)20%的報(bào)告預(yù)見的是市場情況為暢銷，但也有20%的報(bào)告預(yù)測的是滯銷.表6中其它數(shù)據(jù)的含義與此類似.

表6不同實(shí)際銷售情況對(duì)應(yīng)不同預(yù)測銷售情況的概率值

由全概率公式得出：

修正后的先驗(yàn)概率如表7.

表7不同預(yù)測銷售情況對(duì)應(yīng)不同實(shí)際銷售情況的概率值

當(dāng)咨詢公司預(yù)測市場將會(huì)暢銷時(shí)，市場確實(shí)會(huì)暢銷的概率是0.86，增強(qiáng)了決策者對(duì)于未來市場的信心.對(duì)其他修正后的先驗(yàn)概率也可作類似的解釋.

各行動(dòng)的后驗(yàn)期望損失，詳見表8.

表8不同預(yù)測銷售情況對(duì)應(yīng)不同實(shí)際銷售情況的損失值（單位：萬元）

當(dāng)咨詢公司預(yù)測市場將會(huì)暢銷時(shí)，最優(yōu)行動(dòng)為a3；一般時(shí)，最優(yōu)行動(dòng)也為a3；滯銷時(shí)，應(yīng)采取行動(dòng)a2，這樣就得到了最優(yōu)決策函數(shù)：

后驗(yàn)期望損失值為：

由咨詢公司給工廠帶來的增益為：

此時(shí)，如果只做驗(yàn)前分析，不做進(jìn)一步咨詢研究時(shí)，應(yīng)采取行動(dòng)a3，可得先驗(yàn)損失的期望值為9.6萬元.如果做進(jìn)一步的咨詢研究，我們所知的信息就會(huì)增加，從而能使我們的決策更加有利，也即后驗(yàn)期望損失值能夠有所減少.當(dāng)采用新信息進(jìn)行研究時(shí)，該工廠有可能獲得的增益為6 852元,這個(gè)數(shù)值就是收集到的新信息的價(jià)值.

實(shí)際上，請(qǐng)咨詢公司的花費(fèi)為5 000元，小于6 852元，此時(shí)決策者收集信息才是值得的，若請(qǐng)咨詢公司的花費(fèi)大于6 852元，則只需要選擇最優(yōu)的驗(yàn)前策略即可.

4 結(jié)論

利用貝葉斯決策方法討論不同行動(dòng)方案對(duì)于不同自然狀態(tài)所產(chǎn)生的影響，先得到先驗(yàn)期望損失最小的決策方案，再通過追加新信息得到后驗(yàn)期望損失最小的決策方案，只有當(dāng)收集到的新信息是有益的，決策者才會(huì)去增加成本進(jìn)行新信息的采集，否則只需采用先驗(yàn)期望損失最小的決策方案即可.筆者根據(jù)期望損失最小得到?jīng)Q策方案，當(dāng)然也可根據(jù)期望收益最大得到?jīng)Q策方案，可以得到類似的結(jié)果.

［1］茆詩松.貝葉斯統(tǒng)計(jì)［M］.北京:中國統(tǒng)計(jì)出版社,1999.

［2］何江妮,王玟.淺談貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)決策分析［J］.新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,25(4):18-20.

［3］王玉珓,王燕珍.后驗(yàn)性信息與決策［J］.山西統(tǒng)計(jì),1995,15(7):47-48.

Bayesian decision method and its application

WANG Ming-hui
（School of Mathematics and Information Science,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

Risk decision-making exists in a number of productions and economic activities.Before making a decision,great attention should be paid to its risk analysis and advantage of the information be taken from the risk reasonably.This paper summarizes basic principles of the Bayesian theory,and proposes the steps and the method in applying the Bayesian decision based on a concrete case.

Bayesian decision;posteriori information;expected loss;posteriori probability

O212.8

：A

：1007-5348（2014）10-0008-05

（責(zé)任編輯：李婉）

2014-05-28

王明輝（1986-），男，山東濟(jì)寧人，韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教師，碩士，主要從事部分線性模型方面的研究.