劉碧玉，馮良文，胡順新，顏愛(ài)民，王曉麗，劉建剛

（1.中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410083；2.中南大學(xué)商學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410083；3.中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410083）

0 引 言

1 系統(tǒng)描述

考慮如下滿足Liptchitz條件且具有范數(shù)有界不確定性的非線性時(shí)滯系統(tǒng)

式中：x（t）∈Rn，u（t）∈Rm，z（t）∈Rm1，w（t）∈Rm2分別是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，控制輸入向量，被控輸出向量，干擾輸入向量，A，A d，B，C，D，D1為適當(dāng)維數(shù)的已知實(shí)常矩陣，ΔA，ΔA d，ΔB，ΔC，ΔD，ΔD1是具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)函數(shù)矩陣，表示系統(tǒng)的不確定性，且這些參數(shù)矩陣范數(shù)有界并滿足

式中：H1，H2，E1，E2，E3，E4是已知的具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣.M（t）∈Ri×j是一個(gè)具有Lebesgue可測(cè)元的未知矩陣函數(shù)，且滿足

式中：I表示適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣；d（t）為系統(tǒng)狀態(tài)滯后，且存在正實(shí)數(shù)τ，v，使得對(duì)所有的時(shí)間t滿足

引理1 函數(shù)f（x）是滿足條件的，即對(duì)任意的x∈Rn和∈Rn，都存在一個(gè)常數(shù)矩陣L，使得式（6）成立

引理3［13］設(shè)X，Y，Z是給定的k×k階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，滿足X0，且對(duì)xTZx0的所有非零向量x∈Rk，有

則存在常數(shù)λ0，使得式（7）成立

假設(shè)1 設(shè)計(jì)一個(gè)線性狀態(tài)反饋控制律

當(dāng)w（t）＝0時(shí)，得到系統(tǒng)（1）的閉環(huán)系統(tǒng)

定義1 （H∞－γ控制）對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)（9），尋找所有真的實(shí)有理控制器K，使閉環(huán)控制系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，且閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣T zw（s）的H∞范數(shù)小于一個(gè)給定的常數(shù)γ＜0，即

注：G（s）∈H∞為系數(shù)的傳遞函數(shù)矩陣，z＝G（s）w為系統(tǒng)的輸出.

2 主要結(jié)果

定理2.1 針對(duì)非線性不確定時(shí)滯系統(tǒng)（1），給定正標(biāo)量τ＞0和v＜1，如果存在n×n階正定對(duì)稱(chēng)矩陣P＝PT＞0，R1＝0，R2＝＞0，以及適當(dāng)維數(shù)矩陣N i，T i（i＝1，2，3，4），使得式（10）矩陣不等式成立

則稱(chēng)系統(tǒng)式（9）在滿足條件式（4）和式（5）下是魯棒二次穩(wěn)定的.其中

證明：構(gòu)造如下Lyapunov泛函

對(duì)于任意的w（t）∈L2［0，＋∞）且w（t）≠0時(shí)，有如下定理：

定理2.2 系統(tǒng)式（1）是具有H∞性能γ當(dāng)且僅當(dāng)存在適當(dāng)維數(shù)矩陣N i，T i，S i（i＝1，2，3，4，5），Q及正定對(duì)稱(chēng)矩陣P＝PT＞0，R1＝0，R2＝＞0和標(biāo)量α＞0，β＞0使得式（18）成立

而且如果式（18）滿足，則狀態(tài)反饋控制器

為一魯棒H∞－γ鎮(zhèn)定控制器.

證明 對(duì)任意滿足式（3）的不確定性M（t），構(gòu)造同定理2.1的Lyapunov泛涵，并且令

取Ψ＝zT（t）z（t）－γ2wT（t）w（t）＋V′（x（t））.

將式（12）～式（14）改動(dòng)如下

由schur補(bǔ)可知Θ等價(jià)于下面矩陣不等式

顯然，式（23）等價(jià)于任意具有適當(dāng)維數(shù)的非零向量ζ，式（24）滿足

其中標(biāo)稱(chēng)項(xiàng)

時(shí)式（24）左邊取最大值，此時(shí)需滿足

注：通過(guò)求解以下的凸優(yōu)化問(wèn)題，可以求得閉環(huán)系統(tǒng)最優(yōu)的H∞性能指標(biāo)γ＊以及相應(yīng)的魯棒H∞－γ控制器.

3 數(shù)值仿真

利用Matlab軟件求解凸優(yōu)化問(wèn)題（33）即可得到范數(shù)有界不確定性的非線性時(shí)滯系統(tǒng)的最優(yōu)H∞－γ控制器u＊＝－0.498 2x1＋0.001 8x2，相應(yīng)的干擾抑制度為γ＊＝1.340 636e－005.

4 結(jié) 論

本文結(jié)合自由權(quán)矩陣，牛頓－萊布尼茲公式，給出了范數(shù)有界不確定性系統(tǒng)的魯棒控制二次穩(wěn)定的充分條件，但是本文采用的是線性狀態(tài)反饋，而實(shí)際中的狀態(tài)反饋多為非線性的，此外本文中時(shí)滯的范圍有些寬，實(shí)際系統(tǒng)中時(shí)滯一般是大于零的，即時(shí)滯的范圍要小些，對(duì)于這些問(wèn)題還需進(jìn)一步研究.

［1］ Moon Y S，Park P，Kwon WH，et al.Delay－dependent robust stabilization of uncertain state－delayed sstems［J］Int.J.Control，2001，74（14）：1447－1455.

［2］ Han Qinglong，Gu Keqin.On robust stability of time－delay systems with norm－bounded uncertainty［J］.Automat.Contr.，2001，46（9）：1426－1431.

［3］ Saleh S.Delshad，Thomas Gustafsson，Andreas Johansson.Observer Design for uncertain Discrete－Time Nonlinear Delay Systems：LMI Optimization Approach［C］.20th Mediterranean Conference on Control ＆Automation，Barcelona，Spain，2012：592－597.

［4］ Fridman E，Shaked U.A descriptor system approach to control of time－delayed systems［J］.Auto.Contr.，2002，47（2）：253－279.

［5］ Fridman E.New Lyapunov－Krasovskii functionals fir stability of linear retard and neutral type systems［J］.Syst.Contr.Lett.，2001，43（4）：309－319.

［6］ Li X，de Souza C E.Criteria for robust stability of uncertain linear systems with time－varying state delays［C］.Proc.of 13th World Congress of IFAC，San Francisco，UAS，1996b，137－142，.

［7］ Yu L，Chu J.An LMI approach to guaranteed cost control of linear uncertain time－delay systems［J］.Automatica，1999，35（6）：1155－1160.

［8］ Choi H H，Chung MJ.Memoryless stabilization of uncertain dynamic systems with time－varying delayed states and controls［J］.Automatica，1995，31（9）：1349－1351.

［9］ Kim J H，Jeung E T，Park H B.Robust control for parameter uncertain delay systems in state and control input［J］.Automatic，1996，32（9）：1337－1339.

［10］ Su H Y，Chu J，Wang J C.A memoryless robust stability control for a class of uncertain linear time－delay systems［J］.Int，J.System Science，1998，29（2）：191－197.

［11］ Yu L，Chen G D，Memoryless stabilization of uncertain linear systems with time－varying state and control delays［J］.Advan.Mod.Ana，Series C，49（1）：27－34

［12］ 吳敏，桂衛(wèi)華，何勇.現(xiàn)代魯棒控制［M］.長(zhǎng)沙：中南大學(xué)出版社，2006.

［13］ 蘇宏業(yè)，褚健，魯仁全.不確定時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒控制理論［M］.北京：科學(xué)出版社，2007.