許崇麒

通常情況下可以講數(shù)學(xué)空間與圖形部分的知識(shí)分為三個(gè)系列：一是圖形認(rèn)識(shí)與論證部分，如一個(gè)圖形的認(rèn)識(shí)、一個(gè)圖形的要素認(rèn)識(shí)、一個(gè)圖形的性質(zhì)研究、兩個(gè)圖形的關(guān)系研究；二是圖形測(cè)量與計(jì)算，如一維長(zhǎng)度的認(rèn)識(shí)、測(cè)量工具和度量單位、平面圖形周長(zhǎng)的計(jì)算，二維面積的認(rèn)識(shí)、測(cè)量工具盒度量單位、平面圖形面積的計(jì)算，三維體積的認(rèn)識(shí)、測(cè)量工具盒度量單位、物體表面積和體積的計(jì)算；三是圖形位置與變換部分，如位置、方向、坐標(biāo)，平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中小學(xué)數(shù)學(xué)（第一學(xué)段、第二學(xué)段）“圖形與幾何”領(lǐng)域分割成圖形的認(rèn)識(shí)、測(cè)量、圖形的運(yùn)動(dòng)、圖形與位置四部分內(nèi)容。體積屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域中“測(cè)量”內(nèi)容。小學(xué)數(shù)學(xué)教材涵蓋：一維的測(cè)量（長(zhǎng)度），直邊圖形的測(cè)量（線段、常見直邊平面圖形邊長(zhǎng)及周長(zhǎng)的測(cè)量）、曲邊圖形的測(cè)量（圓的周長(zhǎng)）；二維的測(cè)量（面積），直邊圖形的面積（常見直邊平面圖形的面積、長(zhǎng)正方體的的表面積）、曲邊圖形的面積（圓的面積、圓柱的表面積）；三維的測(cè)量（體積），直邊圖形的體積（長(zhǎng)正方體的體積）、曲邊圖形的面積（圓柱的體積、圓錐的體積）。（注：本文暫不研究角度的測(cè)量。）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中初中（第三學(xué)段）數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域有圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)三部分內(nèi)容。其中小學(xué)“圖形的認(rèn)識(shí)”與初中“圖形的性質(zhì)”、小學(xué)“圖形的運(yùn)動(dòng)”與初中“圖形的變化”、小學(xué)“圖形與位置”與初中“圖形與坐標(biāo)”內(nèi)容上相互呼應(yīng)承接，但是中學(xué)階段沒有與小學(xué)的“測(cè)量”相對(duì)應(yīng)的內(nèi)容。

小學(xué)數(shù)學(xué)三維的測(cè)量（體積）主要研究長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和圓錐的體積。初中階段，沒有關(guān)于體積測(cè)量的新授知識(shí)。高中階段，必修課程“數(shù)學(xué)2：立體幾何初步、平面解析幾何初步”中，第一部分立體幾何初步的第一點(diǎn)“空間幾何體”板塊中會(huì)再次對(duì)柱體進(jìn)行研究，“了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）”研究，這一階段的研究是在小學(xué)研究了圓柱、圓錐等立體圖形的體積的基礎(chǔ)上，從“冪勢(shì)既同，則積不容異”（即祖暅原理）的角度論證柱體的體積計(jì)算公式。

可見，小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)圖形體積測(cè)量的研究?jī)?nèi)容不多、較為簡(jiǎn)單、理解樸素。在小學(xué)階段完成了體積測(cè)量最為基礎(chǔ)的知識(shí)學(xué)習(xí)與經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，這部分知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)將在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)作為重要的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)參與到后續(xù)的學(xué)習(xí)中。因此小學(xué)階段“體積測(cè)量”的相關(guān)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)還是較為重要的。

一、提出問題

首先，我們了解一下小學(xué)階段教材（人教版）中體積知識(shí)的編排體系。

體積的學(xué)習(xí)在小學(xué)階段分兩次學(xué)習(xí)。第一次學(xué)習(xí)是五年級(jí)下冊(cè)，建立“體積”的概念、認(rèn)識(shí)體積單位、計(jì)算體積大小并推導(dǎo)長(zhǎng)正方體體積計(jì)算公式；第二次學(xué)習(xí)是六年級(jí)下冊(cè)，認(rèn)識(shí)圓柱圓錐后，推導(dǎo)圓柱圓錐的體積計(jì)算公式?？梢钥闯?，小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)于體積方面只研究少數(shù)幾個(gè)圖形（4個(gè)）的體積；體積的學(xué)習(xí)是在建立在長(zhǎng)度測(cè)量的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上學(xué)習(xí)的；面積與體積的是穿插學(xué)習(xí)的，教材將長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和圓錐四個(gè)圖形的體積與四個(gè)立體圖形的體積分成兩組，中間穿插“圓”的周長(zhǎng)和面積。人教版教材編寫的這一特點(diǎn)與京版教材及師大版教材的編排規(guī)律時(shí)一致的，且在近一次的教材修訂都沒有改變這一編排順序，想必這是一種較為合理的安排，那么這樣編排的意義又何在呢？其次，在小學(xué)階段又應(yīng)該如何幫助學(xué)生建立“體積”的概念？概念理解到什么程度？

再有，在調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在課前已經(jīng)知道了長(zhǎng)正方體、圓柱和圓錐的體積公式，有的甚至能夠代入數(shù)值運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問題，這種情況下，是不是老師就不需要講了呢？是不是我們的課堂就沒有意義了呢？

二、分析問題

（一）關(guān)于體積概念的建立

“物體所占空間的大小，叫做物體的體積?！边@是教材對(duì)體積的定義。這句話對(duì)于理解體積的概念有多大幫助呢？把這句話背下來是否就是掌握了體積的概念了呢？答案當(dāng)然是否定的。很贊同張奠宙教授在《從體積的定義說起》文章中的觀點(diǎn)，首先這個(gè)定義不是嚴(yán)格的定義，另外“這樣的定義，可能越說越糊涂，把本來簡(jiǎn)單明白的事情搞復(fù)雜了”，所以這句話“不必背誦”。對(duì)體積的教學(xué)不要在“什么是體積”上做文章，可以通過挖掘體積的本質(zhì)特征以及數(shù)學(xué)活動(dòng)中來理解概念，如比較體積的大小、用體積單位度量體積大小、等積變形、體積公式推導(dǎo)等。

第一次建立體積概念的是五年級(jí)下冊(cè)第三單元認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方體和正方體之后學(xué)習(xí)的。

如何幫助學(xué)生有效的建立體積這一概念呢？追蹤課堂，我們總結(jié)出以下三點(diǎn)。

第一，建立良好的長(zhǎng)度和面積概念。長(zhǎng)度和面積是體積學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，良好的長(zhǎng)度概念和面積的概念對(duì)建立體積概念有著積極的作用。如果在長(zhǎng)度和面積的探究過程中就對(duì)長(zhǎng)度、面積、測(cè)量工具、測(cè)量單位、計(jì)算公式等有良好的經(jīng)驗(yàn)積累和深刻感受，那么在探究體積的概念時(shí)便會(huì)游刃有余。

換一個(gè)角度來說，長(zhǎng)度、面積概念的建立，直接影響著體積概念的建立。對(duì)比課改十幾年前后的課堂，我們發(fā)現(xiàn)了課堂教學(xué)的巨大變化。現(xiàn)在的教學(xué)十分重視對(duì)基礎(chǔ)概念的挖掘，重視讓學(xué)生通過操作活動(dòng)在動(dòng)手實(shí)踐中理解概念、領(lǐng)悟概念的本質(zhì)，因此學(xué)生對(duì)長(zhǎng)度、面積概念的建立良好。

例如在《面積的初步認(rèn)識(shí)》一課，教師設(shè)計(jì)了一系列的活動(dòng)幫助學(xué)生建立面積的概念：1.初步建立面積的概念。首先通過“摸一摸”引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)物體的表面，由“物體的表面的大小”感知面積；其次借助平面圖形比較同一個(gè)物體的兩個(gè)面面積的大小，由“封閉圖形的大小”感知面積。2.深入理解面積概念。比較長(zhǎng)方形和正方形的面積、三角形和長(zhǎng)方形面積時(shí)，通過“九個(gè)小圓片的面積就是這個(gè)大正方形的面積嗎？”“九個(gè)小正形的面積等于這個(gè)大正方形的面積嗎？”“四個(gè)小三角形的面積是不是大三角形的面積？”等問題，理解用面積單位密鋪后可得“面積”的大小。后續(xù)的“猜一猜”游戲中，啟示學(xué)生有了面積單位并不一定能確定面積的大小，也不一定能準(zhǔn)確比較面積的大小，要想確定面積的大小、準(zhǔn)確比較面積的大小對(duì)格子有一定的要求（統(tǒng)一面積單位），這個(gè)環(huán)節(jié)既是對(duì)“面積”概念的深入理解，也是為接下來《面積單位》的學(xué)習(xí)做好鋪墊。3.區(qū)分“周長(zhǎng)”和“面積”概念?！笆裁聪嗟龋裁床坏?？”將周長(zhǎng)和面積兩個(gè)概念在對(duì)比中鞏固，在對(duì)比中區(qū)分，避免混淆。4.生活中的面積。介紹生活中的面積，感受生活中的數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)為后續(xù)的面積單位、面積單位的換算作鋪墊。

這樣的課堂教學(xué)緊密聯(lián)系生活實(shí)際，在深入分析教材編寫意圖的基礎(chǔ)上，提供廣泛的學(xué)習(xí)資料，以積累豐富的表象；注重實(shí)踐操作，整節(jié)課貫穿動(dòng)手實(shí)踐與操作，學(xué)生在摸一摸、涂一涂、比一比等一連串的數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行思考、感悟，在觀察、操作、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理和交流的活動(dòng)中提升概念、方法；適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想，在比較面積大小的過程中，適時(shí)滲透“全等形等積”和“面積的可加性”等數(shù)學(xué)思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊。也正是這樣的課堂，既建立了正確的“面積”概念，同時(shí)也為學(xué)生學(xué)習(xí)“體積”奠定了良好的基礎(chǔ)。

第二，在自主探究中經(jīng)歷體積概念的形成過程。經(jīng)歷概念形成是建立數(shù)學(xué)概念的主要方式之一，概念形成主要經(jīng)歷“辨別刺激模式、分化屬性，概括共同屬性，確認(rèn)關(guān)鍵屬性，形成概念，符號(hào)表述”等過程。課堂教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷體積的形成過程，例如有的老師課堂設(shè)計(jì)《烏鴉喝水》的故事入課，接下來學(xué)生帶著問題“為什么把石子放到瓶子里，瓶子的水就上升了？”動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)水上升是因?yàn)槭^占有一定空間，瓶中放的石塊越大水上升就越多，感悟物體是占有空間的，占有的空間有大小之分，最終總結(jié)出物體占有的空間的大小就是我們常說的“體積”。

第三，在體積測(cè)量相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)過程中，逐步建立體積的概念。初步建立體積的概念后，后續(xù)的認(rèn)識(shí)測(cè)量單位、推導(dǎo)體積計(jì)算公式的過程，就能感受體積的可測(cè)、可分割、可累加。體積測(cè)量的本質(zhì)是體積單位的多少，也是建立體積概念不可分割的一部分，是在逐步地完善對(duì)體積的認(rèn)識(shí)，提升對(duì)體積概念的理解。

（二）關(guān)于體積公式的推導(dǎo)

體積的學(xué)習(xí)，圓柱體積是轉(zhuǎn)折點(diǎn)。圓柱體積之前的長(zhǎng)方體和正方體是規(guī)則的直邊（面）立體圖形，通過體積單位的累加，可以較為輕松地計(jì)算出體積、推導(dǎo)出體積公式，而圓柱和圓錐是含曲邊（面）的立體圖形，直接依托體積單位累加實(shí)現(xiàn)體積計(jì)算是十分困難的。這也就是解釋了為什么要將長(zhǎng)方體正方體、圓柱圓錐分成兩組來研究體積。

在此，我們重點(diǎn)研究圓柱體積公式推導(dǎo)。圓柱體積推導(dǎo)的關(guān)鍵是要“化曲為直”，將曲邊（面）的圓柱等積變形為直邊（面）的長(zhǎng)方體，從而求出圓柱的體積；進(jìn)而將長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬、高與圓柱的地面周長(zhǎng)、半徑、高建立對(duì)應(yīng)；最終推導(dǎo)出圓柱體積的計(jì)算公式。我們對(duì)比圓面積的推導(dǎo)過程，不難發(fā)現(xiàn)二者異曲同工，圓面積推導(dǎo)過程中所積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)成為圓柱體積公式推導(dǎo)的最重要、最直接的經(jīng)驗(yàn)。

學(xué)生在圓面積公式推導(dǎo)過程中積累了怎樣的經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？通過對(duì)北京東城（南片）的學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，分析發(fā)現(xiàn)：97%的學(xué)生都能回憶起公式推導(dǎo)過程，其中46%的學(xué)生能將圖形轉(zhuǎn)化等積變形、建立的對(duì)應(yīng)過程進(jìn)行詳實(shí)描述，可以看出，學(xué)生具備“化曲為直”將圓轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法有較好的體會(huì)。可見，學(xué)生通過曲邊圖形二維測(cè)量探究具備良好的思想方法的感悟和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。（如下圖）

圓柱對(duì)學(xué)生并不陌生，且調(diào)查顯示大多數(shù)學(xué)生都知道了圓柱體積公式，在學(xué)習(xí)前84%的學(xué)生都能準(zhǔn)確寫出圓柱體積的計(jì)算公式。但是“在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們?cè)趺粗朗裁础?（畢達(dá)哥拉斯語），繼續(xù)追問“圓柱的體積公式是如何推導(dǎo)出來的？”

35%的學(xué)生的回答閃著智慧的火花，我們對(duì)比來看會(huì)更明顯（見圖1、圖2），這些孩子不僅具備一定的知識(shí)及活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而且已將這些經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到解決新問題中來，他們已經(jīng)具備自主推導(dǎo)圓柱體積公式的可能性，只不過他們還沒有實(shí)施過自己設(shè)想的方案。49%的學(xué)生表示不會(huì)（見圖3），這部分學(xué)生具備良好的圓面積的知識(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、知道圓柱公式，他們的思維是卡“等積變形”這個(gè)節(jié)點(diǎn)，只要喚醒“圓面積公式推導(dǎo)”的經(jīng)驗(yàn)，然后借助直觀學(xué)具或同伴的啟發(fā)將經(jīng)驗(yàn)與新問題進(jìn)行有效的對(duì)接，便可突破這個(gè)節(jié)點(diǎn)。16%的學(xué)生的答案也并不是天馬行空，只不過處于猜想的初期（見圖4），這要幫助學(xué)生根據(jù)原有的圓柱、圓柱體積、圓面積推導(dǎo)等知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行合理猜想，就能找到問題解決的突破口。

圖1

圖2

圖3

圖4

可見，前期知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累以及將新問題與已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的對(duì)接在圓柱體積公式推導(dǎo)中顯得尤為重要。

在教學(xué)實(shí)踐中，在提供足夠的學(xué)具支持下，可以充分發(fā)揮這35%的學(xué)生的主體性，啟發(fā)帶動(dòng)49%的學(xué)生進(jìn)行自主探究，同時(shí)共同影響16%的學(xué)生參與到探究過程中，逐漸構(gòu)建知識(shí)間的聯(lián)系，完成探究過程。

三、解決問題

總之，在進(jìn)行體積教學(xué)中要注意以下幾點(diǎn)：

（一）構(gòu)建知識(shí)之間聯(lián)系，激活已有經(jīng)驗(yàn)

“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在‘做’的過程中和‘思考’的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中逐步積累的?！保ā读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》P46）

課前，積極調(diào)取原有知識(shí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。長(zhǎng)方體和正方體體積是圓柱體積的知識(shí)基礎(chǔ)，圓柱體積是圓錐體積的知識(shí)基礎(chǔ)，圓面積是圓柱體積的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。在體積的探究過程中，要注重挖掘面積與體積概念的本質(zhì)聯(lián)系，將新知識(shí)與舊知識(shí)建立聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新意識(shí)，使知識(shí)融會(huì)貫通，讓學(xué)生更加系統(tǒng)透徹地理解。激活已有經(jīng)驗(yàn)解決新問題的過程，又是經(jīng)歷一個(gè)新的解決問題的過程，也便于積累新的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，后續(xù)面對(duì)同類數(shù)學(xué)問題時(shí)便能調(diào)取此次積累的經(jīng)驗(yàn)。

每次探究和嘗試的過程，就是一次經(jīng)驗(yàn)積累的過程，不僅要注重建立知識(shí)間的聯(lián)系激活已有經(jīng)驗(yàn)，更要注重積累新的經(jīng)驗(yàn)。課中，創(chuàng)設(shè)活動(dòng)幫助學(xué)生積累必要的思考和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。探究問題的過程是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程，積累問題解決的經(jīng)驗(yàn)；在自主探究環(huán)節(jié)，通過完整的探究過程積累探究方法的經(jīng)驗(yàn)；在科學(xué)驗(yàn)證環(huán)節(jié)，通過經(jīng)歷豐富測(cè)量體積的動(dòng)手實(shí)踐過程積累測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)，通過自主推導(dǎo)公式的過程積累公式推導(dǎo)的經(jīng)驗(yàn)。課后，在總結(jié)提升環(huán)節(jié)，通過回顧舊知、發(fā)現(xiàn)聯(lián)系、繼續(xù)大膽猜想等思維過程，積累學(xué)習(xí)方法和思維習(xí)慣層面的經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)知識(shí)的延伸、拓展奠定基礎(chǔ)。

（二）重視公式推導(dǎo)過程，滲透數(shù)學(xué)思想方法

體積計(jì)算公式的學(xué)習(xí)，推導(dǎo)出公式的這一結(jié)果并不是重點(diǎn)，在推導(dǎo)公式過程中發(fā)展學(xué)生的推理能力才是重點(diǎn)。推理思想是小學(xué)數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)思想之一（抽象、推理、模型），推理能力是小學(xué)階段培養(yǎng)的技能之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用合情推理進(jìn)行探索問題，提出猜想，再利用特例驗(yàn)證猜想，幫助學(xué)生歸納數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)結(jié)論。在體積公式推導(dǎo)的過程中，要給予充足的時(shí)間讓學(xué)生參與猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、分析、推導(dǎo)等活動(dòng)，經(jīng)歷探究推導(dǎo)的全過程，發(fā)展學(xué)生的推理能力；給予充分的空間讓學(xué)生在合作、交流、質(zhì)疑、補(bǔ)充、討論的過程感受推導(dǎo)過程的嚴(yán)謹(jǐn)性，感悟推理的魅力在于“謂以情推，不用籌算”；引導(dǎo)學(xué)生回顧、反思、延展，讓學(xué)生感悟推理的重要價(jià)值和應(yīng)用的廣泛性。此外，體積的學(xué)習(xí)過程中滲透等積變形、對(duì)應(yīng)、極限等數(shù)學(xué)思想方法都有著十分重要的意義。

（三）發(fā)揮學(xué)生主體效能，引發(fā)自主探究

《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010-2020年）》工作方針中指出，“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)，充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性”，“促進(jìn)每個(gè)學(xué)生主動(dòng)地、生動(dòng)活潑地發(fā)展”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中強(qiáng)調(diào)“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體”，“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程”。在體積測(cè)量的教學(xué)中，在已有的良好的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維習(xí)慣的基礎(chǔ)上，要充分發(fā)揮學(xué)生的主體性效能，在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的每個(gè)環(huán)節(jié)中，最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生的自主性和主動(dòng)性，給學(xué)生以廣泛的空間，充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性，從而以激發(fā)學(xué)生的主體性引發(fā)學(xué)生的自主探究。

總之，在體積教學(xué)中，“為什么”比“是什么”更重要，探究過程比探究結(jié)果更有價(jià)值，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)比學(xué)會(huì)知識(shí)更有意義。課堂教學(xué)激活學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生的自主探究，才是教學(xué)的根本。