楊星星

宿州學院數學與統(tǒng)計學院，安徽宿州，234000

目前，開采原油廣泛使用的是有桿抽油系統(tǒng)。電機旋轉運動轉化為抽油桿上下往返周期運動，帶動設置在桿下端的泵的兩個閥相繼開閉，從而將地下上千米深處蘊藏的原油抽到地面上來。

通過懸點示功圖可以初步診斷油井的工作狀況，如產量、氣體影響、閥門漏液、沙堵等。要精確診斷油井的工作狀況，最好采用泵功圖。然而，泵在地下深處，使用儀器測試其示功數據實現(xiàn)困難大、成本高。因此，通過數學建模把懸點示功圖轉化為桿上任意點的示功圖并最終確定泵功圖，以準確診斷油井的工作狀況，是一個很有價值的研究課題。

電機旋轉運動通過四連桿結構轉變?yōu)槌橛蜅U的垂直運動[1]。經分析四連桿機構簡圖，發(fā)現(xiàn)求解懸點的運動規(guī)律可以轉化為求解驢頭點的運動規(guī)律。但經過計算，由于各條線段間的幾何關系，電機旋轉不可能實現(xiàn)圓周運動，這里假設各個連接點處有間隙量，可保證電機的圓周運動。因此，可在不同的假設條件下，通過以下三種方法進行求解：(1)將驢頭B點的運動規(guī)律簡化為簡諧運動，此模型比較簡單，但結果較為粗略，只能用于定性分析及近似計算。(2)若把驢頭B點繞游梁支點的弧線運動近似地看作直線運動[2]，則驢頭B點的運動模型簡化為曲柄滑塊機構運動。(3)通過幾何分析精確求出B點運動規(guī)律的表達式，最后將驢頭點的運動規(guī)律轉化為懸點的運動規(guī)律：位移函數、速度函數、加速度函數。

1 模型假設

(1)抽油桿在垂直井中工作，抽油桿不與油管發(fā)生摩擦或摩擦載荷不計；(2)油管內充滿液體，且液體密度均勻；(3)電機旋轉運動為勻速運動，且可實現(xiàn)全周旋轉；(4)抽油機的油管是錨定的，不考慮抽油管的長度變化；(5)抽油桿柱截面為圓形；(6)將原油粘度、原油密度、油壓視為常數，不隨壓力而變化；(7)忽略游動閥和固定閥漏失、游動閥關閉遲緩和上、下碰泵等情況。

2 符號說明

SE表示懸點位移；vE表示懸點速度；aE表示懸點加速度；φ表示曲柄轉角，rad；w表示曲柄角速度，rad/s；u(x,t)表示抽油桿在x斷面不同時間t的位移函數，m；E表示抽油桿的彈性模量，N/m3；Ar表示抽油桿截面積，m2；Dt、Dr分別表示油管內徑、抽油桿直徑，mm；Q表示油井的實際產量，m3/d；ηv表示混合物的體積系數，m3/m3；SPE表示柱塞有效沖程，m；NS表示抽油機的沖次，min-1；r表示混合液密度，kg/m3；p表示井下壓力，M/Pa；θ表示井下溫度，θ=1.8t+32，F(xiàn)；Qp表示理論產量，t/d；Q表示泵功圖法計算的產量，t/d；A表示泵功圖面積，cm2；Ap表示理論泵功圖面積，cm2；μ表示油管內液體的動力粘度，Pa·s；c表示粘滯阻尼系數，s-1；L表示抽油桿的長度，m；D表示泵徑，mm；S表示沖程，m；n表示沖次，min-1；α表示應力波在抽油桿中的傳播速度，一般取4 960 m/s。

3 曲率模型的建立

取連續(xù)曲線上任意一點，將其曲率K定義為夾角α對弧度S的變化率，并等于曲率半徑R的倒數，如下所示：

(1)

由于泵功圖曲線由一系列離散點組成，其解析函數無法得到，故無法由式(1)直接求得泵功圖上任一點的曲率。

本文將相鄰三點圓弧近似為連續(xù)曲線來求泵功圖各離散點的曲率K，即利用泵功圖上任意離散點Xi(xi,yi)及其前一離散點Xi-1(xi-1,yi-1)和后一離散點Xi+1(xi+1,yi+1)三點之間的幾何關系，計算出點Xi(xi,yi)的曲率,如圖1所示。

圖1 離散點曲率求解模型

由三角幾何關系容易得出：

(2)

將Ki=1/R進行整理，可得到：

(3)

式中，R為點Xi到點Xi+1圓弧段的曲率半徑，m；α為點Xi到點Xi+1圓弧段的夾角，rad；Li-1為點Xi-1和點Xi之間的線段長度，m；Li為點Xi和點Xi+1之間的線段長度，m；Li+1為點Xi+1和點Xi-1之間的線段長度，m；SΔ為任意三角形ΔXi-1XiXi+1的面積，m2。

將式(2)代入式(3)可得：

(4)

式(4)即為求某一離散點曲率的數學模型，其中任意三角形的面積SΔ由海倫[3]公式求得：

(5)

4 模型的建立與求解

有桿抽油系統(tǒng)是以游梁支點和曲柄中心的連線作固定桿，以曲柄、連桿和游梁后臂為三個活動桿所構成的四連桿機構[4]。

4.1 簡諧運動模型

若抽油機的r/l→0及r/b→0，即認為曲柄半徑r比連桿長度l和游梁后臂b小得多，以至它與l和b的比值可以忽略。此時，可將橋梁和連接點B點的運動簡化為簡諧運動，即認為B點的運動規(guī)律和D點作圓周運動時在垂直中心線上的投影(C點)的運動規(guī)律相同，則B點經過t時間(曲柄轉角φ)時的位移SB為：

SB=r(1-cosφ)=r(1-coswt)

(1)

因此，運動模型的懸點位移SE、速度vE、加速度αE分別為：

(2)

(3)

(4)

簡化為簡諧運動的模型比較簡單，但結果較為粗略，只能用于定性分析及近似計算。

4.2 曲柄滑塊模型

實際抽油機的r/l值是不可忽略的，特別是沖程長度較大時，忽略后會引起很大誤差。為此，取r/l的值為有限值，當抽油機的0

圖2 曲柄滑塊模型

圖2中，下死點(φ=0°)B點在B′位置，上死點(φ=180°)B點在B″位置，則B′B″=2r。因此B點經過t時間(曲柄轉角φ)時的位移為：

SB=B′B=B′O′-BO′

=l+r-(BC+CO′)

=l+r-(lcosψ+rcosφ)

(5)

(6)

因此，運動模型的懸點位移SE、速度vE、加速度αE分別為：

(7)

(8)

(9)

4.3 精確方法

以下給出抽油機懸點運動規(guī)律的精確解。

圖3 精確方法示意圖

如圖3所示，任意時刻游梁與水平線之間的夾角σ為：

(10)

(11)

(12)

(13)

游梁擺動時的最小夾角即t=0時刻AB水平時，此時σmin=0。

任意時刻游梁的角位移Δσ為：

Δσ=σ-σmin

(14)

因此，運動模型的懸點位移SE、速度vE、加速度αE分別為：

SE=SA=αΔσ

(15)

(16)

(17)

考慮到抽油機四連桿機構存在如下幾何關系[5]：

(18)

可得懸點運動速度和加速度的另一種較為簡便的表達式：

(19)

(20)

4.4 仿真分析

對簡諧運動、曲柄滑塊機構以及精確求解時懸點位移函數進行仿真分析，如圖4所示。

圖4 位移函數曲線

懸點E的位移函數如圖4所示，圖4(a)是根據已知材料中懸點位移數據描點畫出的位移函數曲線，圖4(b)、圖4(c)和圖4(d)是根據三種不同的模型得到的位移函數曲線。圖4(b)是基于簡諧運動模型的，圖4(c)是基于曲柄滑塊模型的，圖4(d)是根據精確的幾何計算模型得到的。通過比較，不難發(fā)現(xiàn)，用三種模型計算得到的位移曲線與根據實測數據繪制出的位移曲線是相近的，盡管同一時間下的數值不同，但其變化趨勢是類似的，從而驗證了模型的有效性。由于每種計算模型都是基于一定假設的，因此會與實測數據有少許偏差。

[1]張琪.基于泵功圖分析的有桿泵井故障診斷系統(tǒng)[D].大連：大連理工大學研究生院,2011：24-26

[2]岳廣韜.抽油機井地面示功圖量油技術研究[D].北京：中國石油大學石油工程學院，2011:11-20

[3]董世民，崔曉華.計算抽油泵充滿系數的新方法[J].石油機械，2002，30(1)：37-39

[4]吳偉，陳國定，何焱，基于人工神經網絡和灰度矩陣的泵功圖診斷[J].西安石油大學學報：自然科學版，2007,22(3)：31-33

[5]爨瑾，基于灰色理論的抽油井泵功圖診斷技術研究[J].微電子學與計算機，2005,22(3)：7-13